具体描述
本书是一部百年经典，在20世纪初奠定了数学分析课程的基础。书中对数学分析这一基础课程的重要内容——微积分学进行了 系统的阐述，对很多经典的数学给出了严谨的证明方法，是Hardy数学思想智慧的结晶。另外，书中收集了许多极富思考价值的练习题，值得一提的是，还收集了当年英国剑桥大学荣誉学位考试所采用的试题。
作者简介
G. H. Hardy （1877—1947）英国数学界和英国分析学派的领袖，享誉世界的数学大师，在数论和分析学方面有着巨大的贡献和深远影响。培养和指导了众多数学大家， 其中包括印度数学奇才拉马努金和我国数学家华罗庚等。其他著作有《数论导引》、《不等式》和《一个数学家的自白》等。
目录信息
有理数 1
用直线上的点表示有理数 1
无理数 2
无理数(续) 6
无理数(续) 7
无理数(续) 9
无理数(续) 10
实数 11
实数之间的大小关系 12
实数的代数运算 13
实数的代数运算(续) 15
数sqrt 2 15
二次根式 16
关于二次根式的某些定理 17
连续统 20
连续的实变量 22
实数的分割 22
极限点 24
Weierstrass定理 25
第1章 杂例 26
第2章 实变函数 35
函数的概念 35
函数的图形表示 37
极坐标 39
函数和它们的图的表示的进一步 的例子 39
有理函数 42
有理函数(续) 43
显式代数函数 44
隐式代数函数 45
超越函数 47
其他的超越函数类 50
一元方程的图形解 52
二元函数及其图形表示 53
平面曲线 54
空间中的轨迹 55
第2章杂例 58
第3章 复数 63
沿直线和在平面上的位移 63
位移的等价与位移的数乘 64
位移的加法 65
位移的乘法 68
位移的乘法(续) 69
复数 70
复数(续) 72
方程 i ^2=-1 72
用i作乘法的几何解释 73
方程 z^2+1=0,az^2+2bz+c =0 73
Argand图 75
De Moivre定理 76
几个关于复数的有理函数的定理 78
复数的根 89
方程 z^n=a 的解 90
De Moivre定理的一般形式 92
第3章杂例 92
第4章 正整变量函数的极限 99
一个正整变量的函数 99
插值 100
有限类和无限类 101
当 n 很大时 n 的函数所具有的性质 101
当 n 很大时 n 的函数所具有的性质(续) 102
习用语`` n 趋向无穷大'' 103
当 n 趋向无穷大时, n 的函数Φ( n) 的性状 104
当 n 趋向无穷大时, n 的函数phi(n) 的性状(续) 106
极限的定义 106
极限的定义(续) 107
极限的定义(续) 108
关于定义的几个要点 108
振荡函数 111
某些关于极限的一般性的定理 115
定理I的附属结果 116
B. 两个性状已知的函数的乘积之性状 117
C. 两个性状已知的函数的差以及商的性状 119
定理V 119
定理V(续) 120
以 n 为变量且与 n 一起递增的函数 121
对定理的说明 122
第19节中Weierstrass定理的另一证明 123
当 n 趋向∞ 时 x^n 的极限 124
( 1 +1/n)^n 的极限 127
某些代数引理 127
n( sqrt[n]x - 1) 的极限 129
无穷级数 130
关于无穷级数的一般性定理 132
无穷几何级数 133
用极限来表示一元连续实变函数 138
有界集合的界 140
有界函数的界 141
一个有界函数的不定元的极限 141
有界函数收敛的一般原理 143
无界函数 144
复函数以及复项级数的极限 145
定理的推广 146
z^n 当 n→∞ 时的极限, z 是任意的复数 147
当 bm z 为复数时的几何级数 1 + z + quad z^2 +cdots 148
符号 O,o,sim 149
第4章杂例 151
第5章 一个连续变量的函数之极限, 连续函数和不连续函数 159
x 趋向 ∞ 时的极限 159
当 x 趋向 -∞ 时的极限 161
与第 4 章第 63sim 69 节的结论相对应的定理 161
当 x 趋向 0 时的极限 161
当 x 趋向 a 时的极限 163
递增以及递减的函数 164
不定元的极限以及收敛原理 164
不定元的极限以及收敛原理(续) 166
符号 O,o,sim ：小量和大量的阶 169
一个实变量的连续函数 171
一个实变量的连续函数(续) 172
连续函数的基本性质 175
连续函数的进一步的性质 177
连续函数的取值范围 178
函数在区间中的振幅 179
第 103 节定理 2 的另外的 证明 180
直线上的区间集合, Heine-Borel 定理 181
连续函数的振幅 183
多元连续函数 184
隐函数 185
反函数 187
第5章杂例 189
第6章 导数和积分 193
导数或者微分系数 193
某些一般性的注解 194
某些一般性的注解(续) 197
微分法的某些一般法则 198
复函数的导数 200
微分学的记号 200
标准形式 202
有理函数 204
代数函数 206
超越函数 207
高阶导数 210
关于导数的某些一般性的 定理 213
极大和极小 215
极大和极小(续) 216
极大和极小(续) 217
中值定理 223
中值定理(续) 225
Cauchy中值定理 225
Darboux的一个定理 226
积分 226
实际的积分问题 228
多项式 229
有理函数 230
有理函数的实际积分法的 注记 233
代数函数 234
换元积分法和有理化积分法 234
与圆锥曲线有关的积分 235
积分∫dx /sqrt (ax^2 + 2bx + c) 236
积分∫（λx +μ ）/sqrt ( ax^2 + 2bx + c) d x 236
积分∫（λx +μ ）sqrt ( ax^2+2bx+c) d x ! 237
分部积分 237
一般的积分∫( x,y) d x , 其中 y^2 = ax^2 + 2bx + c 240
超越函数 243
以 x的倍数的余弦以及正弦为 变量的多项式 244
积分∫x^n cos x dx , ∫x^nsin xd x 以及与之相关联的积分 244
cos x 和sin x 的有理函数 245
包含arcsin x,arctan x 以及;log x 的积分 247
平面曲线的面积 248
平面曲线的长度 249
第6章杂例 252
第7章 微分学和积分学中另外一些定理 265
更高阶的中值定理 265
Taylor定理的另一形式 269
Taylor级数 271
Taylor定理的应用, A. 极大 与极小 273
B. 某些极限的计算 273
C. 平面曲线的切触 276
多元函数的微分法 280
二元函数微分法 282
二元函数的微分(续) 284
二元函数的中值定理 285
微分 287
定积分和面积 292
定积分 294
圆的扇形面积, 三角函数 295
由定积分的和式极限的定义计算 定积分 298
定积分的一般性质 299
分部积分法和换元积分法 303
用分部积分法证明Taylo 2 定理 306
余项的Cauchy形式对于二项 级数的应用 307
定积分的近似公式, Simpson 公式 308
单实变复函数的积分 310
第7章杂例 311
第8章 无穷级数和无穷积分的 收敛性 322
引言 322
正项级数 322
正项级数(续) 323
这些判别法的首批应用 323
比值判别法 323
一个重要定理 326
正项级数的乘法 327
进一步的收敛与发散判别法 328
Abel(或者Pringsheim)定理 329
Maclaurin(或者Cauchy)积分 判别法 330
级数∑n^-s 332
Cauchy并项判别法 334
进一步的比值判别法 334
无穷积分 335
Φ(x) 取正值的情形 337
换元积分法以及分部积分法对 无穷积分的应用 339
其他类型的无穷积分 342
其他类型的无穷积分(续) 344
在用变量代换法时需要小心 从事 348
有正负项的级数 349
绝对收敛的级数 350
Dirichlet定理对绝对收敛级数 的推广 351
条件收敛的级数 352
条件收敛级数的收敛判别法 352
交错级数 353
Abel收敛判别法与Dirichlet收敛判别法 356
复数项级数 358
幂级数 359
幂级数(续) 360
幂级数的收敛域, 收敛圆 360
幂级数的唯一性 362
级数的乘法 363
绝对收敛和条件收敛的无穷 积分 365
第8章 杂例 366
第9章 单实变对数函数、指数函数和三角函数 376
引言 376
log x 的定义 377
log x 所满足的函数方程 378
当 x 趋向无穷时log x 趋向无穷 的方式 379
当 x→∞ 时 x^ -alpha log x→0 的 证明 380
当 x→+ 0 时log x 的性状 380
无穷大的尺度, 对数尺度 380
数e 382
指数函数 383
指数函数的主要性质 384
一般的幂 a^x 385
e ^x 表示为极限 386
log x 表示成极限 388
常用对数 388
级数和积分收敛的对数 判别法 394
与指数函数以及对数函数有关 的级数, 用Taylor定理 展开e ^x 399
对数级数 402
反正切函数的级数 403
二项级数 406
建立指数函数和对数函数理论 的另一种方法 408
三角函数的解析理论 410
三角函数的解析理论(续) 412
由第225节的(1)以及第224 节的(4)得到 414
第9章杂例 415
第10章 对数函数、指数函数以及三角函数的一般理论 425
单复变函数 425
单复变函数(续) 426
实的和复的曲线积分 426
Logζ 的定义 427
mboxLogζ 的值 428
指数函数 432
expζ 的值 433
expζ 所满足的函数方程 433
一般的幂 a^ζ 434
a^ζ 的一般的值 435
正弦和余弦的指数的值 438
sin ζ和 cos ζ 对于 ζ 的所有值 的定义 438
推广的双曲函数 439
与cos(ξ+iη),sin(ξ+iη) 等有 关的公式 440
对数函数与反三角函数之间的 联系 443
exp z 的幂级数 445
cos z 和sin z 的幂级数 446
对数级数 448
对数级数(续) 449
对数级数的某些应用, 指数 极限 452
二项定理的一般形式 453
第10章杂例 456
附录1 H"o lder不等式和Minkowski不等式 465
附录2 每个方程都有一个根的证明 471
附录3 关于二重极限问题的一个注记 478
附录4 分析与几何中的无穷 481
索引
· · · · · · (收起)
读后感
这本书是英国“第一本”分析书 哈代是一位纯粹的数学家。这本书说“我未做任何努力去迎合工科学生，或兴趣主要不在数学的那些学生的需要” 书中讲授的内容编排和国内的书也有很大的不同，可以在学分析时借鉴。 习题都在内容之间穿插着。很多习题都是剑桥考试题
评分书名是A Course of Pure Mathematics， 实际上名不副实，因为书里只讲了基本的分析学原理，没有其他的数学内容（除了那几个附录讲了些别的主题，比如怎么证明代数基本定理）。 哈代是个优秀的数学家。在哈代之前，剑桥大学拥有许多杰出的应用数学家，比如Green，Stokes还有Max...
评分这本书是英国“第一本”分析书 哈代是一位纯粹的数学家。这本书说“我未做任何努力去迎合工科学生，或兴趣主要不在数学的那些学生的需要” 书中讲授的内容编排和国内的书也有很大的不同，可以在学分析时借鉴。 习题都在内容之间穿插着。很多习题都是剑桥考试题
评分这本书是英国“第一本”分析书 哈代是一位纯粹的数学家。这本书说“我未做任何努力去迎合工科学生，或兴趣主要不在数学的那些学生的需要” 书中讲授的内容编排和国内的书也有很大的不同，可以在学分析时借鉴。 习题都在内容之间穿插着。很多习题都是剑桥考试题
评分书名是A Course of Pure Mathematics， 实际上名不副实，因为书里只讲了基本的分析学原理，没有其他的数学内容（除了那几个附录讲了些别的主题，比如怎么证明代数基本定理）。 哈代是个优秀的数学家。在哈代之前，剑桥大学拥有许多杰出的应用数学家，比如Green，Stokes还有Max...
用户评价
《纯数学教程》的阅读体验，说实话，并不尽如人意。我原本设想的是，一本“教程”应该像一位循循善诱的老师，能够引导我一步步地认识和理解数学的奥秘。然而，这本书的叙述方式，更多地像是在“宣告”数学的真理，而不是“传授”知识。每个定理的提出都显得非常突兀，缺乏必要的铺垫和背景介绍。例如，在讲到黎曼几何时，书中直接给出了黎曼流形的定义和曲率张量的计算公式，但对于黎曼几何的起源、其在广义相对论中的作用，以及更基础的微分几何概念，都一笔带过。这种“空中楼阁”式的讲解，让人难以建立起完整的知识体系。更让人费解的是，书中很多章节的难度梯度设置不合理，有的地方讲解得过于简略，有的地方又过于深奥，缺乏一个平滑的学习曲线。我希望能够在一本教程中找到能够解答我“为什么”的答案，而这本书似乎更关注“是什么”。它提供了一大堆数学工具，但没有告诉我这些工具是如何被发明出来的，以及它们能够解决哪些问题。
评分就个人而言，我总觉得《纯数学教程》在“深度”与“广度”的权衡上，更偏重于前者，但这种“深度”并非是对学习者友好的“深度”。它提供的内容非常学术化，很多证明过程都十分冗长和复杂，而且中间几乎没有省略，要求读者必须具备非常扎实的数学基础。例如，在关于代数几何的部分，书中直接引入了概形的概念，并详细介绍了层和层模，但对于这些概念的几何直观解释，以及它们在解决代数几何问题中的作用，并没有做充分的说明。我原本期望的是一本能够“入门”纯数学的书，但这本书的门槛似乎设置得太高了。它更像是一本为已经具备一定数学背景的学生准备的参考书，而非一本能够从零开始引导任何人进入纯数学世界的大门。书中的语言风格也比较生硬，充斥着大量的专业术语，即使有定义，也往往非常抽象，缺乏生活化的类比或者易于理解的例子。我需要的是那种能够让我感受到数学的趣味和美感，而不是仅仅让我记住一堆晦涩难懂的符号和公式。
评分《纯数学教程》给我的感觉，更像是一本“数学概念汇编”，而非真正意义上的“教程”。它提供了大量数学概念的定义、性质和定理，但缺乏对这些概念背后逻辑和思想的深入剖析。例如，在讲解函数分析时，书中提到了巴拿赫空间、希尔伯特空间等概念，并给出了它们的形式化定义，但对于这些空间为何重要，它们在解微分方程、量子力学等领域的应用，却一带而过。这种“知其然，不知其所以然”的讲解方式，让我难以真正掌握这些高级数学工具。我更倾向于一本能够解释“为什么”的书，能够让我理解数学家们是如何一步步构建起这些庞大而精密的理论体系的。这本书的内容虽然丰富，但却缺乏足够的“教学”元素，例如，它很少提供引导性的问题，也很少有章节末的练习题来巩固所学知识。感觉作者只是把我带到了数学知识的殿堂门口，但并没有真正教我如何走进大门，如何探索其中的每一个房间。
评分当我尝试阅读《纯数学教程》时，我发现它提供的内容虽然“纯粹”，但却显得有些“冰冷”。这本书的叙述方式极其严谨，每个定义都力求精确，每个定理的证明也都一丝不苟，这固然是纯数学的要求，但却让我在阅读时感到一种疏离感。例如，在关于数论的部分，书中介绍了二次互反律，并给出了详细的证明，但这种证明过程往往非常抽象，缺乏直观的几何解释或者易于理解的例子，让我难以真正领会其精妙之处。同样，在涉及微积分的严谨基础，例如ε-δ语言的运用时，书中也仅仅是给出形式化的定义和证明，而没有深入探讨这些定义为何如此重要，以及它们如何克服了早期微积分的“不严谨”之处。我期望一本教程能够帮助我建立起数学的“直觉”，能够让我不仅仅是记住公式和证明，更能理解它们背后所蕴含的思想。这本书的内容虽然“纯粹”，但却缺乏“温度”，未能真正打动我，让我对其产生浓厚的兴趣。
评分《纯数学教程》的阅读体验，在我看来，更像是在“鉴赏”一份精美的数学“地图”，但却没有提供任何“导航”服务。书中的内容极为全面，几乎囊括了纯数学的各个重要领域，从集合论到近世代数，再到拓扑学和微分几何，都有涉及。然而，这种“全面”是以牺牲“易懂性”为代价的。书中很多定理的表述都非常精炼，但背后的推导过程却异常复杂，而且常常省略了中间的关键步骤，要求读者自行补充。例如，在介绍群同态的性质时，书中直接给出了多个定理，但缺乏对这些定理是如何推导出来的过程的详细说明。这让我感觉，作者是假设读者已经具备了深厚的数学功底，能够自行完成这些推理。我更希望一本教程能够像一位经验丰富的向导，不仅告诉我目的地在哪里，还能告诉我如何一步步地到达那里，沿途有哪些风景可以欣赏。这本书更多地像是一份“资料汇编”，虽然内容详实，但缺乏一种引导性的力量，无法真正激发我去深入学习和探索。
评分当我翻开《纯数学教程》，我满怀期待地想找到一条清晰的学习路径，能够帮助我深入理解纯数学的各个分支。然而，我发现这本书的内容虽然包罗万象，但更像是一份详尽的数学知识清单，而非一条能够引领我探索的道路。书中关于集合论的部分，虽然列举了康托尔的对角线论证，但对于集合论的公理化基础，如策梅洛-弗兰克尔公理系统，则没有深入讲解，这让我对集合论的严谨性理解不够透彻。紧接着，它又跳到了群论，介绍了一些基本的群结构，如循环群、对称群，但对于同态、同构等概念的讲解，也只是停留在定义层面，缺乏更多具体的例子来帮助我理解它们在代数世界中的意义。最令我感到遗憾的是，本书对于数学史和思想演进的介绍几乎为零。我希望一本教程不仅仅是知识的堆砌，还能让我感受到数学思想的魅力和发展过程。这本书的编写风格，更像是把各个数学领域的精华提炼出来，但却没有将它们有机地串联起来，形成一个引人入胜的故事。
评分《纯数学教程》的阅读过程，让我感觉像是置身于一个庞大的数学博物馆，展品琳琅满目，但却缺乏导览。书中的内容涵盖了数学的许多分支，如逻辑、集合论、代数、几何、拓扑等，而且每个分支都介绍了一些核心的概念和定理。然而，这种“广”的特点，也导致了“深”度的不足。例如，在讲解线性代数时，书中提到了向量空间、线性变换、特征值等概念，但对于矩阵的几何意义，向量空间基的选取如何影响表示，以及这些概念在实际问题中的具体应用，都没有进行深入的阐述。我期待的是一本能够引导我理解数学“思维方式”的教程，能够帮助我建立起解决数学问题的“策略”，而不是仅仅罗列一堆枯燥的定义和定理。这本书的编写风格，更像是一种“陈述”，而不是一种“教学”。它提供了大量事实，但却很少引导我进行思考，很少给我提供练习的机会来巩固和检验我所学的知识，从而导致学习效果大打折扣。
评分坦白讲，作为一本“纯数学教程”，我期待它能提供更具操作性的指导，能够帮助我理解数学概念的由来和发展脉络。然而，《纯数学教程》给我的感觉，更像是对数学各个分支的“速写”和“概览”。书中的每一页都塞满了各种定义、定理和符号，虽然这些内容本身是正确的，但对于一个希望真正“学习”数学的人来说，这些信息往往是零散的，缺乏清晰的指引。例如，在介绍抽象代数中的群、环、域时，书中给出了严谨的定义和一些例子，但对于这些代数结构之间的内在联系，以及它们在数学研究中的重要性，并没有进行充分的阐述。同样，在涉及拓扑学时，虽然提到了度量空间、完备空间等概念，但缺乏对这些概念几何意义的直观解释，以及它们在分析学和几何学中的应用场景。我需要的是那种能够激发我对数学产生兴趣，让我能够主动去探索的教程，而不是一本仅仅提供知识点列表的书。总觉得这本书在“教”和“述”之间，更偏向于后者，内容很丰富，但“怎么学”的指导却相对薄弱。
评分这本书的内容真的太过于宽泛了，简直就像是把整个数学世界一股脑儿地塞进了这本《纯数学教程》。我原本以为它会像其他教程一样，聚焦于某个特定的领域，比如代数、几何或者微积分，然后深入浅出地讲解。结果呢？它涉及的知识点从最基础的集合论、逻辑学，一直延伸到抽象代数、拓扑学、微分几何，甚至还触及了部分数论和复分析。这种“包罗万象”的风格，对于初学者来说，简直就是一座难以逾越的大山，信息量之大，足以让任何人感到眩晕。很多章节的讲解，感觉只是点到为止，没有深入地展开，更没有提供足够多的例子来帮助理解。比如在讲解群论的部分，虽然列举了一些群的定义和性质，但对于如何构造群、如何判断一个集合是否构成一个群，以及群在实际问题中的应用，都显得不够详尽。我翻到关于拓扑学的章节时，更是感到一阵茫然。空间、开集、闭集、连续性这些概念，在书中被快速地带过，缺乏足够的几何直观解释，让人难以把握其精髓。虽然理论上是全面的，但从学习者的角度来看，这种广而不深的讲解方式，反而增加了学习的难度，使得真正掌握其中的知识变成了一项艰巨的任务。感觉作者似乎是想一次性把所有纯数学分支都囊括其中，却忽略了学习者需要循序渐进的过程。
评分我不得不说，《纯数学教程》在某种程度上，更像是一本数学的“百科全书”而非“教程”。它像是一位博学的学者，在向你展示数学的广阔图景，但却没有真正教你如何一步步地行走在这片土地上。每个章节都像是一个独立的知识点集合，虽然条理清晰，但缺乏一条贯穿始终的学习主线。我尝试着从头开始阅读，希望能够构建起一个完整的数学知识体系，但很快就发现，这本书的内容跳跃性太强了。例如，在讲到数理逻辑时，虽然定义了命题、谓词和量词，但并没有详细说明这些概念如何用于构建严谨的数学证明，也没有提供足够多的逻辑推理练习。紧接着，它又跳到了函数论，讲解了函数的定义、性质和一些基本定理，但对于函数的可导性、积分的可积性等关键概念的深入分析却显得不够充分。最令我感到困惑的是，书中很多章节之间的衔接不够自然，仿佛是不同作者在不同时期写下的独立篇章被拼凑在了一起。这种割裂感，极大地影响了阅读的流畅性和知识的系统性。我期待的是一本能够引导我思考、培养我数学直觉的书，而不是一本仅仅罗列定义和定理的“参考书”。
评分可以。
评分是一首美妙的诗，但观点不高，感觉有些浪费时间
评分戴德金分割有趣又容易理解，第二章的函数论看不下去
评分最好的应该是第一章
评分翻译有点儿问题。
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