具体描述
《复分析:可视化方法》是复分析领域的一部名著，开创了数学领域的可视化潮流，自首次出版以来，已重印了十多次，深受世界读者好评。
《复分析:可视化方法》用一种真正不同寻常的、独具创造性的视角和可以看得见的论证方式解释初等复分析的理论，公开挑战当前占统治地位的纯符号逻辑推理。作者通过大量的图示使原本比较抽象的数学概念，变得直观易懂，读者在透彻理解理论的同时，还能充分领略数学之美。
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目录
第1章 几何和复算术. 1
1.1 引言 1
1.1.1 历史的概述 1
1.1.2 庞贝利的＂奇想＂ 3
1.1.3 一些术语和记号 5
1.1.4 练习 6
1.1.5 符号算术和几何算术的等价性 7
1.2 欧拉公式 8
1.2.1 引言 8
1.2.2 用质点运动来论证 9
1.2.3 用幂级数来论证 10
1.2.4 用欧拉公式来表示正弦和余弦 12
1.3 一些应用 12
1.3.1 引言 12
1.3.2 三角 13
1.3.3 几何 14
1.3.4 微积分 17
1.3.5 代数 19
1.3.6 向量运算 24
1.4 变换与欧氏几何 26
1.4.1 克莱因眼中的几何 26
1.4.2 运动的分类 30
1.4.3 三反射定理 32
1.4.4 相似性与复算术 34
1.4.5 空间复数 37
1.5 习题 3
第2章 作为变换看的复函数 47
2.1 引言 47
2.2 多项式 49
2.2.1 正整数幂 49
2.2.2 回顾三次方程 50
2.2.3 卡西尼曲线 51
2.3 幂级数 54
2.3.1 实幂级数的神秘之处 54
2.3.2 收敛圆 57
2.3.3 用多项式逼近幂级数 60
2.3.4 唯一性 61
2.3.5 对幂级数的运算 62
2.3.6 求收敛半径 64
2.3.7 傅里叶级数 67
2.4 指数函数 69
2.4.1 幂级数方法 69
2.4.2 这个映射的几何意义 70
2.4.3 另一种方法 71
2.5 余弦与正弦 73
2.5.1 定义与恒等式 73
2.5.2 与双曲函数的关系 74
2.5.3 映射的几何 76
2.6 多值函数 78
2.6.1 例子：分数幂 78
2.6.2 多值函数的单值支 80
2.6.3 与幂级数的关联 82
2.6.4 具有两个支点的例子 83
2.7 对数函数 85
2.7.1 指数函数的逆 85
2.7.2 对数幂级数 87
2.7.3 一般幂级数 88
2.8 在圆周上求平均值 89
2.8.1 质心 89
2.8.2 在正多边形上求平均值 91
2.8.3 在圆周上求平均值 94
2.9 习题 96
第3章 默比乌斯变换和反演 106
3.1 引言 106
3.1.1 默比乌斯变换的定义和意义 106
3.1.2 与爱因斯坦相对论的联系 107
3.1.3 分解为简单的变换 107
3.2 反演 108
3.2.1 初步的定义和事实 108
3.2.2 圆周的保持 110
3.2.3 用正交圆周构作反演点 112
3.2.4 角的保持 114
3.2.5 对称性的保持 115
3.2.6 对球面的反演 116
3.3 反演应用的三个例子 118
3.3.1 关于相切圆的问题 118
3.3.2 具有正交对角线的四边形的一个奇怪的性质 119
3.3.3 托勒密定理 120
3.4 黎曼球面 121
3.4.1 无穷远点 121
3.4.2 球极射影 121
3.4.3 把复函数转移到球面上 124
3.4.4 函数在无穷远点的性态 125
3.4.5 球极射影的公式 127
3.5 默比乌斯变换：基本结果 129
3.5.1 圆周.角度和对称性的保持 129
3.5.2 系数的非唯一性 130
3.5.3 群性质 131
3.5.4 不动点 132
3.5.5 无穷远处的不动点 132
3.5.6 交比 134
3.6 默比乌斯变换作为矩阵 136
3.6.1 与线性代数的联系的经验上的证据 136
3.6.2 解释:齐次坐标 138
3.6.3 特征向量与特征值 139
3.6.4 球面的旋转作为默比乌斯变换 141
3.7 可视化与分类 143
3.7.1 主要思想 143
3.7.2 椭圆型.双曲型和斜驶型变换 144
3.7.3 乘子的局部几何解释 146
3.7.4 抛物型变换 147
3.7.5 计算乘子 149
3.7.6 用特征值解释乘子 150
3.8 分解为2个或4个反射 151
3.8.1 引言 151
3.8.2 椭圆型情况 151
3.8.3 双曲型情况 152
3.8.4 抛物型情况 154
3.8.5 总结 154
3.9 单位圆盘的自同构 155
3.9.1 计算自由度的数目 155
3.9.2 用对称原理来求公式 156
3.9.3 最简单的公式的几何解释 157
3.9.4 介绍黎曼映射定理 158
3.10 习题 159
第4章 微分学：伸扭的概念 166
4.1 引言 166
4.2 一个令人迷惑的现象 166
4.3 平面映射的局部描述 168
4.3.1 引言 168
4.3.2 雅可比矩阵 168
4.3.3 伸扭的概念 170
4.4 复导数作为伸扭 170
4.4.1 重新考察实导数 170
4.4.2 复导数 171
4.4.3 解析函数 173
4.4.4 简短的总结 174
4.5 一些简单的例子 175
4.6 共形=解析 176
4.6.1 引言 176
4.6.2 在整个区域中的共形性 177
4.6.3 共形性与黎曼球面 179
4.7 临界点 179
4.7.1 挤压的程度 179
4.7.2 共形性的破坏 180
4.7.3 支点 181
4.8 柯西－黎曼方程 182
4.8.1 引言 182
4.8.2 线性变换的几何学 183
4.8.3 柯西－黎曼方程 184
4.9 习题 185
第5章 微分学的进一步的几何研究 190
5.1 柯西－黎曼的真面目 190
5.1.1 引言 190
5.1.2 笛卡儿形式 190
5.1.3 极坐标形式 191
5.2 关于刚性的一个启示 192
5.3 log(z)的可视微分法 195
5.4 微分学的各法则 196
5.4.1 复合 196
5.4.2 反函数 197
5.4.3 加法与乘法 198
5.5 多项式.幂级数和有理函数 198
5.5.1 多项式 198
5.5.2 幂级数 199
5.5.3 有理函数 201
5.6 幂函数的可视微分法 201
5.7 exp(z)的可视微分法 203
5.8 E'=E的几何解法 204
5.9 高阶导数的一个应用：曲率 206
5.9.1 引言 206
5.9.2 曲率的解析变换 207
5.9.3 复曲率 209
5.10 天体力学 212
5.10.1 有心力场 212
5.10.2 两类椭圆轨道 213
5.10.3 把第一种椭圆轨道变为第二种 215
5.10.4 力的几何学 216
5.10.5 一个解释 216
5.10.6 卡斯纳－阿诺尔德定理 217
5.11 解析拓展 218
5.11.1 引言 218
5.11.2 刚性 219
5.11.3 唯一性 220
5.11.4 恒等式的保持 222
5.11.5 通过反射作解析拓展 223
5.12 习题 227
第6章 非欧几何学 236
6.1 引言 236
6.1.1 平行线公理 236
6.1.2 非欧几何的一些事实 238
6.1.3 弯曲曲面上的几何学 239
6.1.4 内蕴几何与外在几何的对立 241
6.1.5 高斯曲率 241
6.1.6 常曲率曲面 243
6.1.7 与默比乌斯变换的联系 244
6.2 球面几何 245
6.2.1 球面三角形的角盈 245
6.2.2 球面上的运动：空间旋转和反射.. 246
6.2.3 球面上的一个共形映射 249
6.2.4 空间旋转也是默比乌斯变换 252
6.2.5 空间旋转与四元数 256
6.3 双曲几何 259
6.3.1 曳物线和伪球面 259
6.3.2 伪球面的常值负曲率 260
6.3.3 伪球面上的一个共形映射 261
6.3.4 贝尔特拉米的双曲平面 263
6.3.5 双曲直线和反射 266
6.3.6 鲍耶－罗巴切夫斯基公式 269
6.3.7 保向运动的三种类型 271
6.3.8 把任意保向运动分解为两个反射 275
6.3.9 双曲三角形的角盈 277
6.3.10 庞加莱圆盘 279
6.3.11 庞加莱圆盘中的运动 282
6.3.12 半球面模型与双曲空间 285
6.4 习题 289
第7章 环绕数与拓扑学 29
7.1 环绕数 298
7.1.1 定义 298
7.1.2 “内”是什么意思? 299
7.1.3 快速地求出环绕数 299
7.2 霍普夫映射度定理 301
7.2.1 结果 301
7.2.2 环路作为圆周的映射 301
7.2.3 解释 303
7.3 多项式与辐角原理 303
7.4 一个拓扑辐角原理 304
7.4.1 用代数方法来数原象个数 304
7.4.2 用几何方法来数原象个数 306
7.4.3 解析函数在拓扑上有何特殊 307
7.4.4 拓扑辐角原理 309
7.4.5 两个例子 310
7.5 鲁歇定理 311
7.5.1 结果 311
7.5.2 代数的基本定理 312
7.5.3 布劳威尔不动点定理 313
7.6 最大值与最小值 313
7.6.1 最大模原理 313
7.6.2 相关的结果 315
7.7 施瓦茨－皮克引理 315
7.7.1 施瓦茨引理 315
7.7.2 刘维尔定理 318
7.7.3 皮克的结果 319
7.8 广义辐角原理 321
7.8.1 有理函数 321
7.8.2 极点与本性奇点 323
7.8.3 解释 325
7.9 习题 326
第8章 复积分：柯西定理 334
8.1 引言 334
8.2 实积分 335
8.2.1 黎曼和 335
8.2.2 梯形法则 336
8.2.3 误差的几何估计 337
8.3 复积分 339
8.3.1 复黎曼和 339
8.3.2 一个可视化技巧 341
8.3.3 一个有用的不等式 342
8.3.4 积分法则 342
8.4 复反演 343
8.4.1 一个圆弧 343
8.4.2 一般环路 344
8.4.3 环绕数 346
8.5 共轭映射 347
8.5.1 引言 347
8.5.2 用面积来解释 347
8.5.3 一般环路 349
8.6 幂函数 349
8.6.1 沿圆弧的积分 349
8.6.2 复反演作为极限情况 351
8.6.3 一般回路和形变定理 351
8.6.4 定理的进一步推广 353
8.6.5 留数 353
8.7 指数映射 355
8.8 基本定理 356
8.8.1 引言 356
8.8.2 一个例子 356
8.8.3 基本定理 357
8.8.4 积分作为原函数 359
8.8.5 对数作为积分 361
8.9 用参数作计算 362
8.10 柯西定理 363
8.10.1 一些预备知识 363
8.10.2 解释 364
8.11 一般的柯西定理 366
8.11.1 结果 366
8.11.2 解释 367
8.11.3 一个更简单的解释 368
8.11.4 回路积分的一般公式 369
8.12 习题 370
第9章 柯西公式及其应用 377
9.1 柯西公式 377
9.1.1 引言 377
9.1.2 第一种解释 377
9.1.3 高斯平均值定理 378
9.1.4 第二种解释和一般柯西公式 379
9.2 无穷可微性和泰勒级数 380
9.2.1 无穷可微性 380
9.2.2 泰勒级数 381
9.3 留数计算 383
9.3.1 以极点为中心的罗朗级数 383
9.3.2 计算留数的一个公式 384
9.3.3 对实积分的应用 385
9.3.4 用泰勒级数计算留数 387
9.3.5 在级数求和上的应用 388
9.4 环形域中的罗朗级数 390
9.4.1 一个例子 390
9.4.2 罗朗定理 391
9.5 习题 394
第10章 向量场：物理学与拓扑学 398
10.1 向量场 398
10.1.1 复函数作为向量场 398
10.1.2 物理向量场 399
10.1.3 流场和力场 400
10.1.4 源和汇 402
10.2 环绕数与向量场 403
10.2.1 奇点的指数 403
10.2.2 庞加莱怎样看指数 406
10.2.3 指数定理 407
10.3 闭曲面上的流 408
10.3.1 庞加莱－霍普夫定理的陈述 408
10.3.2 定义曲面上的指数 410
10.3.3 庞加莱－霍普夫定理的解释 411
10.4 习题 413
第11章 向量场与复积分 417
11.1 流量与功 417
11.1.1 流量 417
11.1.2 功 419
11.1.3 局部流量和局部功 420
11.1.4 散度和旋度的几何形式 422
11.1.5 零散度和零旋度向量场 423
11.2 从向量场看复积分 425
11.2.1 波利亚向量场 425
11.2.2 柯西定理 427
11.2.3 例子：面积作为流量 428
11.2.4 例子：环绕数作为流量 429
11.2.5 向量场的局部性态 430
11.2.6 柯西公式 431
11.2.7 正幂 432
11.2.8 负幂和多极子 433
11.2.9 无穷远处的多极子 435
11.2.10 罗朗级数作为多极子展开 435
11.3 复位势 436
11.3.1 引言 436
11.3.2 流函数 437
11.3.3 梯度场 439
11.3.4 势函数 440
11.3.5 复位势 441
11.3.6 例 444
11.4 习题 445
第12章 流与调和函数 448
12.1 调和对偶 448
12.1.1 对偶流 448
12.1.2 调和对偶 451
12.2 共形不变性 453
12.2.1 调和性的共形不变性 453
12.2.2 拉普拉斯算子的共形不变性 454
12.2.3 拉普拉斯算子的意义 456
12.3 一个强有力的计算工具 457
12.4 回顾复曲率 459
12.4.1 调和等势线的几何性质 459
12.4.2 调和等势线的曲率 460
12.4.3 关于复曲率的进一步计算 463
12.4.4 复曲率的其他几何性质 464
12.5 绕障碍物的流 466
12.5.1 引言 466
12.5.2 一个例子 466
12.5.3 镜像法 470
12.5.4 把一个流映为另一个流 476
12.6 黎曼映射定理的物理学 478
12.6.1 引言 478
12.6.2 外映射和绕障碍物的流 479
12.6.3 内映射和偶极子 481
12.6.4 内映射.涡旋和源 483
12.6.5 一个例子：圆盘的自同构 485
12.6.6 格林函数 487
12.7 狄里希莱问题 491
12.7.1 引言 491
12.7.2 施瓦茨的解释 492
12.7.3 圆盘的狄里希莱问题 494
12.7.4 诺依曼和波歇的解释 496
12.7.5 一般的格林公式 501
12.8 习题 504
参考文献 507
译后记... 514
作者简介
Tristan Needham 旧金山大学数学系教授，理学院副院长。牛津大学博士，导师为Roger Penrose（与霍金齐名的英国物理学家）。因本书被美国数学会授予Carl B. Allendoerfer奖。他的研究领域包括几何、复分析、数学史、广义相对论。
目录信息
第1章 几何和复算术. 1
1.1 引言 1
1.1.1 历史的概述 1
1.1.2 庞贝利的＂奇想＂ 3
1.1.3 一些术语和记号 5
1.1.4 练习 6
1.1.5 符号算术和几何算术的等价性 7
1.2 欧拉公式 8
1.2.1 引言 8
1.2.2 用质点运动来论证 9
1.2.3 用幂级数来论证 10
1.2.4 用欧拉公式来表示正弦和余弦 12
1.3 一些应用 12
1.3.1 引言 12
1.3.2 三角 13
1.3.3 几何 14
1.3.4 微积分 17
1.3.5 代数 19
1.3.6 向量运算 24
1.4 变换与欧氏几何 26
1.4.1 克莱因眼中的几何 26
1.4.2 运动的分类 30
1.4.3 三反射定理 32
1.4.4 相似性与复算术 34
1.4.5 空间复数 37
1.5 习题 3
第2章 作为变换看的复函数 47
2.1 引言 47
2.2 多项式 49
2.2.1 正整数幂 49
2.2.2 回顾三次方程 50
2.2.3 卡西尼曲线 51
2.3 幂级数 54
2.3.1 实幂级数的神秘之处 54
2.3.2 收敛圆 57
2.3.3 用多项式逼近幂级数 60
2.3.4 唯一性 61
2.3.5 对幂级数的运算 62
2.3.6 求收敛半径 64
2.3.7 傅里叶级数 67
2.4 指数函数 69
2.4.1 幂级数方法 69
2.4.2 这个映射的几何意义 70
2.4.3 另一种方法 71
2.5 余弦与正弦 73
2.5.1 定义与恒等式 73
2.5.2 与双曲函数的关系 74
2.5.3 映射的几何 76
2.6 多值函数 78
2.6.1 例子：分数幂 78
2.6.2 多值函数的单值支 80
2.6.3 与幂级数的关联 82
2.6.4 具有两个支点的例子 83
2.7 对数函数 85
2.7.1 指数函数的逆 85
2.7.2 对数幂级数 87
2.7.3 一般幂级数 88
2.8 在圆周上求平均值 89
2.8.1 质心 89
2.8.2 在正多边形上求平均值 91
2.8.3 在圆周上求平均值 94
2.9 习题 96
第3章 默比乌斯变换和反演 106
3.1 引言 106
3.1.1 默比乌斯变换的定义和意义 106
3.1.2 与爱因斯坦相对论的联系 107
3.1.3 分解为简单的变换 107
3.2 反演 108
3.2.1 初步的定义和事实 108
3.2.2 圆周的保持 110
3.2.3 用正交圆周构作反演点 112
3.2.4 角的保持 114
3.2.5 对称性的保持 115
3.2.6 对球面的反演 116
3.3 反演应用的三个例子 118
3.3.1 关于相切圆的问题 118
3.3.2 具有正交对角线的四边形的一个奇怪的性质 119
3.3.3 托勒密定理 120
3.4 黎曼球面 121
3.4.1 无穷远点 121
3.4.2 球极射影 121
3.4.3 把复函数转移到球面上 124
3.4.4 函数在无穷远点的性态 125
3.4.5 球极射影的公式 127
3.5 默比乌斯变换：基本结果 129
3.5.1 圆周.角度和对称性的保持 129
3.5.2 系数的非唯一性 130
3.5.3 群性质 131
3.5.4 不动点 132
3.5.5 无穷远处的不动点 132
3.5.6 交比 134
3.6 默比乌斯变换作为矩阵 136
3.6.1 与线性代数的联系的经验上的证据 136
3.6.2 解释:齐次坐标 138
3.6.3 特征向量与特征值 139
3.6.4 球面的旋转作为默比乌斯变换 141
3.7 可视化与分类 143
3.7.1 主要思想 143
3.7.2 椭圆型.双曲型和斜驶型变换 144
3.7.3 乘子的局部几何解释 146
3.7.4 抛物型变换 147
3.7.5 计算乘子 149
3.7.6 用特征值解释乘子 150
3.8 分解为2个或4个反射 151
3.8.1 引言 151
3.8.2 椭圆型情况 151
3.8.3 双曲型情况 152
3.8.4 抛物型情况 154
3.8.5 总结 154
3.9 单位圆盘的自同构 155
3.9.1 计算自由度的数目 155
3.9.2 用对称原理来求公式 156
3.9.3 最简单的公式的几何解释 157
3.9.4 介绍黎曼映射定理 158
3.10 习题 159
第4章 微分学：伸扭的概念 166
4.1 引言 166
4.2 一个令人迷惑的现象 166
4.3 平面映射的局部描述 168
4.3.1 引言 168
4.3.2 雅可比矩阵 168
4.3.3 伸扭的概念 170
4.4 复导数作为伸扭 170
4.4.1 重新考察实导数 170
4.4.2 复导数 171
4.4.3 解析函数 173
4.4.4 简短的总结 174
4.5 一些简单的例子 175
4.6 共形=解析 176
4.6.1 引言 176
4.6.2 在整个区域中的共形性 177
4.6.3 共形性与黎曼球面 179
4.7 临界点 179
4.7.1 挤压的程度 179
4.7.2 共形性的破坏 180
4.7.3 支点 181
4.8 柯西－黎曼方程 182
4.8.1 引言 182
4.8.2 线性变换的几何学 183
4.8.3 柯西－黎曼方程 184
4.9 习题 185
第5章 微分学的进一步的几何研究 190
5.1 柯西－黎曼的真面目 190
5.1.1 引言 190
5.1.2 笛卡儿形式 190
5.1.3 极坐标形式 191
5.2 关于刚性的一个启示 192
5.3 log(z)的可视微分法 195
5.4 微分学的各法则 196
5.4.1 复合 196
5.4.2 反函数 197
5.4.3 加法与乘法 198
5.5 多项式.幂级数和有理函数 198
5.5.1 多项式 198
5.5.2 幂级数 199
5.5.3 有理函数 201
5.6 幂函数的可视微分法 201
5.7 exp(z)的可视微分法 203
5.8 E'=E的几何解法 204
5.9 高阶导数的一个应用：曲率 206
5.9.1 引言 206
5.9.2 曲率的解析变换 207
5.9.3 复曲率 209
5.10 天体力学 212
5.10.1 有心力场 212
5.10.2 两类椭圆轨道 213
5.10.3 把第一种椭圆轨道变为第二种 215
5.10.4 力的几何学 216
5.10.5 一个解释 216
5.10.6 卡斯纳－阿诺尔德定理 217
5.11 解析拓展 218
5.11.1 引言 218
5.11.2 刚性 219
5.11.3 唯一性 220
5.11.4 恒等式的保持 222
5.11.5 通过反射作解析拓展 223
5.12 习题 227
第6章 非欧几何学 236
6.1 引言 236
6.1.1 平行线公理 236
6.1.2 非欧几何的一些事实 238
6.1.3 弯曲曲面上的几何学 239
6.1.4 内蕴几何与外在几何的对立 241
6.1.5 高斯曲率 241
6.1.6 常曲率曲面 243
6.1.7 与默比乌斯变换的联系 244
6.2 球面几何 245
6.2.1 球面三角形的角盈 245
6.2.2 球面上的运动：空间旋转和反射.. 246
6.2.3 球面上的一个共形映射 249
6.2.4 空间旋转也是默比乌斯变换 252
6.2.5 空间旋转与四元数 256
6.3 双曲几何 259
6.3.1 曳物线和伪球面 259
6.3.2 伪球面的常值负曲率 260
6.3.3 伪球面上的一个共形映射 261
6.3.4 贝尔特拉米的双曲平面 263
6.3.5 双曲直线和反射 266
6.3.6 鲍耶－罗巴切夫斯基公式 269
6.3.7 保向运动的三种类型 271
6.3.8 把任意保向运动分解为两个反射 275
6.3.9 双曲三角形的角盈 277
6.3.10 庞加莱圆盘 279
6.3.11 庞加莱圆盘中的运动 282
6.3.12 半球面模型与双曲空间 285
6.4 习题 289
第7章 环绕数与拓扑学 29
7.1 环绕数 298
7.1.1 定义 298
7.1.2 “内”是什么意思? 299
7.1.3 快速地求出环绕数 299
7.2 霍普夫映射度定理 301
7.2.1 结果 301
7.2.2 环路作为圆周的映射 301
7.2.3 解释 303
7.3 多项式与辐角原理 303
7.4 一个拓扑辐角原理 304
7.4.1 用代数方法来数原象个数 304
7.4.2 用几何方法来数原象个数 306
7.4.3 解析函数在拓扑上有何特殊 307
7.4.4 拓扑辐角原理 309
7.4.5 两个例子 310
7.5 鲁歇定理 311
7.5.1 结果 311
7.5.2 代数的基本定理 312
7.5.3 布劳威尔不动点定理 313
7.6 最大值与最小值 313
7.6.1 最大模原理 313
7.6.2 相关的结果 315
7.7 施瓦茨－皮克引理 315
7.7.1 施瓦茨引理 315
7.7.2 刘维尔定理 318
7.7.3 皮克的结果 319
7.8 广义辐角原理 321
7.8.1 有理函数 321
7.8.2 极点与本性奇点 323
7.8.3 解释 325
7.9 习题 326
第8章 复积分：柯西定理 334
8.1 引言 334
8.2 实积分 335
8.2.1 黎曼和 335
8.2.2 梯形法则 336
8.2.3 误差的几何估计 337
8.3 复积分 339
8.3.1 复黎曼和 339
8.3.2 一个可视化技巧 341
8.3.3 一个有用的不等式 342
8.3.4 积分法则 342
8.4 复反演 343
8.4.1 一个圆弧 343
8.4.2 一般环路 344
8.4.3 环绕数 346
8.5 共轭映射 347
8.5.1 引言 347
8.5.2 用面积来解释 347
8.5.3 一般环路 349
8.6 幂函数 349
8.6.1 沿圆弧的积分 349
8.6.2 复反演作为极限情况 351
8.6.3 一般回路和形变定理 351
8.6.4 定理的进一步推广 353
8.6.5 留数 353
8.7 指数映射 355
8.8 基本定理 356
8.8.1 引言 356
8.8.2 一个例子 356
8.8.3 基本定理 357
8.8.4 积分作为原函数 359
8.8.5 对数作为积分 361
8.9 用参数作计算 362
8.10 柯西定理 363
8.10.1 一些预备知识 363
8.10.2 解释 364
8.11 一般的柯西定理 366
8.11.1 结果 366
8.11.2 解释 367
8.11.3 一个更简单的解释 368
8.11.4 回路积分的一般公式 369
8.12 习题 370
第9章 柯西公式及其应用 377
9.1 柯西公式 377
9.1.1 引言 377
9.1.2 第一种解释 377
9.1.3 高斯平均值定理 378
9.1.4 第二种解释和一般柯西公式 379
9.2 无穷可微性和泰勒级数 380
9.2.1 无穷可微性 380
9.2.2 泰勒级数 381
9.3 留数计算 383
9.3.1 以极点为中心的罗朗级数 383
9.3.2 计算留数的一个公式 384
9.3.3 对实积分的应用 385
9.3.4 用泰勒级数计算留数 387
9.3.5 在级数求和上的应用 388
9.4 环形域中的罗朗级数 390
9.4.1 一个例子 390
9.4.2 罗朗定理 391
9.5 习题 394
第10章 向量场：物理学与拓扑学 398
10.1 向量场 398
10.1.1 复函数作为向量场 398
10.1.2 物理向量场 399
10.1.3 流场和力场 400
10.1.4 源和汇 402
10.2 环绕数与向量场 403
10.2.1 奇点的指数 403
10.2.2 庞加莱怎样看指数 406
10.2.3 指数定理 407
10.3 闭曲面上的流 408
10.3.1 庞加莱－霍普夫定理的陈述 408
10.3.2 定义曲面上的指数 410
10.3.3 庞加莱－霍普夫定理的解释 411
10.4 习题 413
第11章 向量场与复积分 417
11.1 流量与功 417
11.1.1 流量 417
11.1.2 功 419
11.1.3 局部流量和局部功 420
11.1.4 散度和旋度的几何形式 422
11.1.5 零散度和零旋度向量场 423
11.2 从向量场看复积分 425
11.2.1 波利亚向量场 425
11.2.2 柯西定理 427
11.2.3 例子：面积作为流量 428
11.2.4 例子：环绕数作为流量 429
11.2.5 向量场的局部性态 430
11.2.6 柯西公式 431
11.2.7 正幂 432
11.2.8 负幂和多极子 433
11.2.9 无穷远处的多极子 435
11.2.10 罗朗级数作为多极子展开 435
11.3 复位势 436
11.3.1 引言 436
11.3.2 流函数 437
11.3.3 梯度场 439
11.3.4 势函数 440
11.3.5 复位势 441
11.3.6 例 444
11.4 习题 445
第12章 流与调和函数 448
12.1 调和对偶 448
12.1.1 对偶流 448
12.1.2 调和对偶 451
12.2 共形不变性 453
12.2.1 调和性的共形不变性 453
12.2.2 拉普拉斯算子的共形不变性 454
12.2.3 拉普拉斯算子的意义 456
12.3 一个强有力的计算工具 457
12.4 回顾复曲率 459
12.4.1 调和等势线的几何性质 459
12.4.2 调和等势线的曲率 460
12.4.3 关于复曲率的进一步计算 463
12.4.4 复曲率的其他几何性质 464
12.5 绕障碍物的流 466
12.5.1 引言 466
12.5.2 一个例子 466
12.5.3 镜像法 470
12.5.4 把一个流映为另一个流 476
12.6 黎曼映射定理的物理学 478
12.6.1 引言 478
12.6.2 外映射和绕障碍物的流 479
12.6.3 内映射和偶极子 481
12.6.4 内映射.涡旋和源 483
12.6.5 一个例子：圆盘的自同构 485
12.6.6 格林函数 487
12.7 狄里希莱问题 491
12.7.1 引言 491
12.7.2 施瓦茨的解释 492
12.7.3 圆盘的狄里希莱问题 494
12.7.4 诺依曼和波歇的解释 496
12.7.5 一般的格林公式 501
12.8 习题 504
参考文献 507
译后记... 514
· · · · · · (收起)
读后感
数学的历史，似乎孕育着它的未来。 除了第12章的最后和物理相关的章节，其他内容做过细致推导。 很难理解，本书从前言开始，一直在强调是牛顿方法的产物，大家都在说黎曼，包括齐民友，不知道是为什么。 真正体现牛顿方法的地方是5.3，8.2.3，9.2，作者对整本书方法的辩护，来...
评分我们国家的教材，就缺少这样语言和结构。 我一直不明白，为什么国内教材就不能写得活泼有趣一些，总是像机器人在说话，以至于我不得不猜测数学教授们的语言表达能力是否有缺陷。国内很难找到一本独树一帜、耳目一新的数学教材，目前我只看到中科大龚昇教授的《简明微积分》还算...
评分数学的历史，似乎孕育着它的未来。 除了第12章的最后和物理相关的章节，其他内容做过细致推导。 很难理解，本书从前言开始，一直在强调是牛顿方法的产物，大家都在说黎曼，包括齐民友，不知道是为什么。 真正体现牛顿方法的地方是5.3，8.2.3，9.2，作者对整本书方法的辩护，来...
评分数学的历史，似乎孕育着它的未来。 除了第12章的最后和物理相关的章节，其他内容做过细致推导。 很难理解，本书从前言开始，一直在强调是牛顿方法的产物，大家都在说黎曼，包括齐民友，不知道是为什么。 真正体现牛顿方法的地方是5.3，8.2.3，9.2，作者对整本书方法的辩护，来...
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用户评价
在我眼中，《复分析》这本书最吸引我的地方在于它传递出的一种“智慧的光芒”。它的封面设计非常独特，并非传统的硬壳装订，而是采用了那种稍软但又极具韧性的环保材质，颜色是浅浅的青灰色，如同平静的湖面。书名《复分析》的字体，采用的是一种流线型的艺术字体，仿佛水波荡漾，又像是复杂的函数曲线，充满了动感和美感。我轻轻翻开书，扑鼻而来的是一种淡淡的、混合着植物清香的纸张味道，这让我感到非常舒心。书页的纸张是那种带有微弱纹理的，触感非常细腻，而且颜色不是纯白，而是略带一点暖调，这有助于减少长时间阅读时的视觉疲劳。我注意到书中某些公式的标注，采用了高亮的方式，这无疑是为了突出重要的定义和定理，极大地提高了阅读效率。我还没有深入阅读，但从其整体的呈现方式来看，这本书的设计者和作者都充满了对数学的热爱和对读者的尊重，力求将最纯粹的数学知识以最优雅的方式呈现出来。
评分当我第一次看到《复分析》这本书时，它的外观设计立刻吸引了我。封面采用了深邃的宝蓝色，如同夜空中最亮的星辰，上面用银色的字体勾勒出书名，字体之间仿佛有某种奇妙的联系，充满了数学的神秘感。书的纸张质感非常细腻，触摸起来有一种丝滑的感觉，而且颜色是一种柔和的米白色，非常护眼。我翻开书，发现它的内页排版非常清晰，字体大小适中，行间距也恰到好处，即使阅读长篇幅的数学推导，也不会感到拥挤或费力。我尤其留意到，书中对数学符号的运用非常规范，每一个符号的含义都清晰明了，这对于理解抽象的数学概念至关重要。此外，我注意到书中的插图虽然不多，但每一张都精心绘制，旨在帮助读者更好地理解复杂的几何图形和函数图像。这本书的设计风格，既不失学术的严谨，又充满艺术的灵动，让我对即将展开的复分析之旅充满了好奇和期待。
评分从书的整体触感和视觉呈现来看，《复分析》这本书就给我一种“沉稳”的感觉。它采用了暗红色的硬壳封面，封面中央印着烫金的“复分析”三个大字，字体方正有力，自带一种庄重感。书的重量拿在手里，是那种扎实的、有分量的感觉，让我觉得它里面一定承载了深厚的数学内容。我翻开书，发现它的纸张是那种略带复古感的米黄色，厚实且有韧性，摸上去有一种细腻的磨砂感，这种纸张非常适合长时间的阅读，而且不容易反光。书的内页排版非常工整，字迹清晰，公式的排版也极其规范，即使是复杂的数学表达式，也显得条理分明，易于辨认。我注意到书中在介绍一些概念时，会在旁边留出一定的空白区域，这很可能是为读者预留了做笔记和思考的空间。这本书没有过多的花哨设计，它的每一个细节都透露着一种严谨和专业，让我对接下来的内容充满了信心。
评分我在书店里偶然翻到了这本书，第一眼就被它的标题所吸引。“复分析”，这个词本身就带着一种神秘和高级感，让我想到了那些在数学殿堂里闪耀着的智慧结晶。我不是数学专业的学生，但一直对数学的抽象美有着浓厚的兴趣。拿起这本书，我首先感受到的是它传递出来的那种严谨和学术气息。书的纸张泛着淡淡的米黄色，触感细腻，即使长时间阅读，眼睛也不会感到过于疲劳。封面上的设计简洁大气，没有过多的装饰，反而突出了书名本身的力量。我仔细地翻看了几页，虽然很多数学符号和公式我并不完全理解，但作者的叙述逻辑清晰，仿佛在引导我一步步走进一个全新的数学世界。那些概念的引入，像是精心布置的引子，勾起了我深入探究的欲望。我尤其喜欢它在介绍一些基本概念时，会附带一些简短的解释或例子，这对于非专业读者来说，无疑是一道重要的指引。我能够感受到作者在编写这本书时所投入的精力，力求将复杂的数学理论以一种清晰易懂的方式呈现出来。书的整体质量也非常出色，拿在手里沉甸甸的，预示着里面包含了丰富的知识。我还在犹豫是否要立刻购买，但那种想要了解更多的心情已经开始在我心中滋生。
评分在我寻找一本能够深入理解复分析的书籍时，《复分析》这本书如同黑暗中的一盏明灯，吸引了我。它的外观设计非常内敛，没有华丽的装饰，却有一种沉静的力量。书封采用了素雅的米白色，上面仅有书名和作者的姓名，字体是经典的衬线体，透露着一种传统的学术风范。当我轻轻翻开书页，扑面而来的是一种淡淡的油墨香，让人心旷神怡。纸张的质感非常好，略带磨砂感，触摸起来很舒适，而且颜色是那种柔和的暖黄色，对眼睛非常友好，即使长时间阅读也不会感到疲劳。我尤其欣赏这本书的排版设计，每一个公式、每一个定理的呈现都清晰明了，结构严谨，让人能够轻松地跟随作者的思路。书中的插图和图表，虽然我还没有仔细研究，但从其位置和风格来看，无疑是为了更好地辅助理解那些抽象的数学概念。这本书不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的导师，引导着读者一步步走进复分析的奇妙世界。我对手中的这本书充满了敬意，它所蕴含的知识能量，以及作者在编撰过程中所付出的心血，都足以让我对它报以最高的期待。
评分这本书的封皮设计着实令人印象深刻，采用了那种深邃的蓝色，上面点缀着几许抽象的金色线条，仿佛星辰在宇宙中划过的轨迹，又像是某种神秘的数学公式在纸面上跃动。拿在手里，触感是那种哑光的纸质，略带磨砂感，非常舒服。书的整体分量适中，不会过于沉重，但又能感觉到内涵的厚实。我特意翻看了目录，尽管对内容本身还知之甚少，但那些章节标题，如“复数域”、“解析函数”、“柯西积分定理”、“留数定理”、“调和函数”等等，光是听名字就充满了学究气的吸引力。我知道复分析涉及的数学概念会非常抽象，尤其是那些涉及到了复数、复变函数以及它们的积分、微分等运算，这本身就充满了挑战性。但这本书的排版，看得出是经过精心设计的，字体大小适中，行间距也比较合理，不会让人在阅读过程中感到拥挤或疲惫。封面上的书名“复分析”三个字，用的是一种略显古朴却又充满力量的字体，与整体风格非常契合。我特别留意了书的装订，看起来非常牢固，即使经常翻阅，应该也不会出现散页的情况。包装也考虑到了运输过程中的保护，书角没有丝毫磕碰的痕迹，这一点非常棒。这本书散发着一种知识的厚重感，让我迫不及待地想沉浸其中，去探索那些隐藏在数字和符号背后的奥秘。光是这份前期的准备和体验，就让我对这本书充满了期待。
评分这本书的封面设计是一种非常经典的风格，没有采用当下流行的各种花哨元素，而是以一种深邃的紫色作为底色，上面用银色的字体印着书名《复分析》。这种设计立刻给我一种庄重而又神秘的感觉，仿佛预示着里面隐藏着深刻的数学智慧。我拿起书，感受到它的分量，并不是很轻，但也不会过于沉重，恰到好处，让人觉得它内涵丰富。书的纸张质感非常好，摸上去有一点点粗糙但又不失细腻，这种触感让我觉得非常舒服。翻开书页，里面的印刷质量很高，字迹清晰，排版整齐，我注意到它采用了多种字体和字号的组合，使得不同的信息层级分明，非常便于阅读。即使是公式，也印刷得非常规整，没有出现模糊不清的情况。我浏览了目录，看到了一些我比较熟悉的数学分支的影子，比如微积分、线性代数，这让我觉得这本书是建立在一定的数学基础之上的，并且会带领我走向更深层次的探索。这本书的整体设计和细节处理都体现了一种专业和严谨，让我对它充满了信任感。
评分当我拿到这本《复分析》时，首先映入眼帘的是它那简洁而又充满力量的封面。深沉的藏蓝色，搭配着书名《复分析》的书写，采用的是一种独特的、略带棱角的字体，仿佛是数学公式在黑板上被书写出来的那种感觉。这种设计既低调又极具辨识度，让我一眼就记住了它。书的封皮材质非常特别，不是普通的硬壳，而是一种略带纹理的仿皮质感，摸上去有种温润而又坚实的感觉，拿在手里，透露着一种低调的奢华。书页的纸张是那种偏向于象牙白的颜色，厚实且富有弹性，翻动的时候，能够听到清晰的“沙沙”声，这是一种久违的、令人安心的声音。我凑近闻了一下，有淡淡的纸浆香味，没有刺鼻的油墨味，这说明它的印刷质量非常高。我仔细观察了书的装订，线装的设计，使得书本能够完全摊平，这对于需要经常查阅和做笔记的读者来说，简直是福音。我翻看了几页，注意到书中对数学符号的运用非常规范，而且公式的排版也十分讲究，每一个细节都体现了专业性和严谨性。
评分刚拿到这本《复分析》，就被它厚重的质感和精致的装帧所吸引。封面采用了深邃的墨绿色，配以烫金的书名，低调却又不失格调，散发着一种沉静的学术氛围。翻开书页，纸张的触感非常柔滑，而且有一定的厚度，印刷清晰，墨色浓郁，给人一种高级感。我并没有立刻钻研书中的具体内容，而是先浏览了一下目录和前言。目录的编排逻辑性很强，从基础的概念到深入的定理，层层递进，让人能够清晰地感受到学习的脉络。前言部分，我能体会到作者想要通过这本书传递的数学思想和研究方法，字里行间充满了对数学的热情和严谨的态度。书的整体排版非常考究，字体大小适中，段落清晰，即使是阅读复杂的数学公式，也不会感到眼花缭乱。我注意到书中有不少插图和图示，虽然还没仔细看，但预感它们在帮助理解抽象概念方面会起到关键作用。这本书拿在手里，有一种扎实的感觉，仿佛捧着的是一座知识的宝库。我还没有开始真正的学习，但仅仅是初次的接触，就已经让我对这本书产生了浓厚的兴趣和极高的评价。
评分从封面设计上看，《复分析》这本书就给我一种沉静而又专业的印象。它采用了大面积的白色，上面是简洁的黑色字体，书名《复分析》的字体非常方正，如同数学中的公理般不容置疑。这种极简的设计风格，反而让我觉得它更加聚焦于内容本身，不带任何杂质。书的纸张触感是那种略带光滑的哑光质感，手指滑过时，能够感受到一种细腻的阻力，不会有廉价的塑料感。拿在手里，它的重量适中，给人一种充实感，让我觉得里面装载了丰富的知识。我翻阅了目录，看到了一些我曾经在本科阶段接触过的数学概念，比如函数、极限、导数，这让我觉得这本书的起点应该不会太高，容易入门。而且，目录的结构也非常清晰，从基础到进阶，有着清晰的学习路径。我注意到书中某些章节的标题，使用了小标题，这对于梳理复杂的数学内容非常有帮助，能够让我快速地抓住核心要点。这本书的整体感觉就是一种“朴实无华，内涵深厚”，让我对接下来的阅读充满了期待。
评分读到这本书，我都要crazy了，这不是数学，这是艺术，这是美，当形象化的东西演变为符号的时候，我要跳起来，数学？这不是数学，这是智慧！ 这本书要和《什么是数学》配合着看和读。。。。 这本书其实讲了一个关于黎曼映射的故事 读这本书已经两年了，现在读起来依然是那样的美妙，特别是关于场部分的写作。每一章都有新的思想太棒了
评分拉格朗日自豪地宣布:我已经发明了一种纯数学方法，可以取代牛顿力学，我的求解过程里没有一个图。楼下回复:没图你说个J8
评分牛顿/庞加莱风格教材。注重几何，全书亮点无数。
评分可以。
评分从齐民友到豆瓣的各种评论，不知道都读的是什么。整本书的起源是牛顿的几何方法，作者从前言到微分积分误差的几何分析，拼了命的展示，大家视而不见，非要说这是黎曼的思想，简直匪夷所思。牛顿当年没能搞定微积分的逻辑基础，作者展示了牛顿的几何分析能走多远，首要问题不应该是比较这个方法和后来严格的逻辑分析的区别么？
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