具体描述
《复分析》作者、数学家特里斯坦·尼达姆新作
写给本科生的微分几何入门
◎ 编辑推荐
235幅自绘插图，直观展现令人惊奇的几何现象
五幕数学剧，符合莎士比亚戏剧的经典结构
详尽的历史注记，讲述微分几何学的发展始末
◎ 书籍推荐
古希腊人关于平行公理的争论讲到爱因斯坦发现时空的弯曲，从自由落体的数学讲到黑洞的几何、引力波的数学。本书讲法特别，用形象化的描述和两百多幅插图实现了可视化，并加入了作者自己设计的数学实验，把微分几何教科书里描述得非常抽象的内容（例如平行移动、和乐性等）讲得通俗易懂，看得见、摸得着。
——译者 刘伟安
这本书有五百页雄辩的篇幅，充满了数学智慧和深厚的历史底蕴。微分几何确实是可视的，通过柚子、榴梿、南瓜、土豆和牙签描绘了平行移动、曲率和测地线。我真希望当我还是学生的时候就有尼达姆的这本书。
——物理学家 迈克尔·贝里（Michael V. Berry）
这本书用真正的几何可视化方法讲述了微分几何，精彩且成功，许多解释对我来说非常新颖。尼达姆文笔恢宏，学术水平无可挑剔。他在本书中还出色地论述了广义相对论，而这也许是微分几何最引人注目的应用。在我所知的文献中，没有任何作品能与这本书相比。
——数学家 弗兰克·摩根（Frank Morgen）
◎ 内容简介
本书以五幕数学剧的形式直观地讲述微分几何和微分形式，包括“空间的本质”“度量”“曲率”“平行移动”和“微分形式”。在前四幕中，古典几何被重新引入微分几何，使用235幅作者自绘插图，运用牛顿的几何方法对经典结果提供几何解释。在第五幕中，本书特别向本科生介绍微分形式，以直观和几何的方式处理进阶主题。学习本书只需要基本的微积分和几何学知识，高等院校数学专业学生及数学研究者均可阅读。
作者简介
特里斯坦·尼达姆（Tristan Needham）
旧金山大学数学系教授，理学院副院长。牛津大学博士，导师为Roger Penrose（与霍金齐名的英国物理学家）。1995年被美国数学学会授予Carl B. Allendoerfer奖，他的研究领域包括几何、复分析、数学史、广义相对论。
目录信息
第1章 欧几里得几何与非欧几何 2
1.1 欧几里得几何与双曲几何 2
1.2 球面几何 5
1.3 球面三角形的角盈 8
1.4 曲面的内蕴几何与外在几何 9
1.5 通过“直性”来构作测地线 12
1.6 空间的本质 15
第2章 高斯曲率 18
2.1 引言 18
2.2 圆的周长和面积 20
2.3 局部高斯–博内定理 24
第3章 序幕和第一幕的习题 26
第二幕 度量
第4章 曲面映射：度量 34
4.1 引言 34
4.2 球面的投影地图 36
4.3 一般曲面上的度量 38
4.4 度量曲率公式 41
4.5 共形地图 43
4.6 讲一点儿可视化的复分析 45
4.7 球面的共形球极地图 49
4.8 球极平面投影公式 53
4.9 球极平面投影的保圆性 55
第5章 伪球面和双曲平面 57
5.1 贝尔特拉米的洞察 57
5.2 曳物线和伪球面 58
5.3 伪球面的共形地图 61
5.4 贝尔特拉米–庞加莱半平面 62
5.5 利用光学来求测地线 65
5.6 平行角 68
5.7 贝尔特拉米–庞加莱圆盘 71
第6章 等距变换和复数 74
6.1 引言 74
6.2 默比乌斯变换 76
6.3 主要结果 82
6.4 爱因斯坦的时空几何学 84
6.5 三维双曲几何 90
第7章 第二幕的习题 96
第三幕 曲率
第8章 平面曲线的曲率 110
8.1 引言 110
8.2 曲率圆 112
8.3 牛顿的曲率公式 113
8.4 作为转向率的曲率 115
8.5 例子：牛顿的曳物线 119
第9章 三维空间中的曲线 121
第10章 曲面的主曲率 124
10.1 欧拉的曲率公式 124
10.2 欧拉的曲率公式的证明 126
10.3 旋转曲面 127
第11章 测地线和测地曲率 131
11.1 测地曲率和法曲率 131
11.2 默尼耶定理 133
11.3 测地线是“直的” 135
11.4 测地曲率的内蕴量度 136
11.5 量度测地曲率的一个简单的外在方法 136
11.6 用透明胶带构作测地线的一个新解释 137
11.7 旋转曲面上的测地线 138
11.7.1 球面上的克莱罗定理 138
11.7.2 开普勒第二定律 140
11.7.3 牛顿对开普勒第二定律的几何证明 142
11.7.4 克莱罗定理的动力学证明 144
11.7.5 应用：再看双曲平面上的测地线 146
第12章 曲面的外在曲率 149
12.1 引言 149
12.2 球面映射 149
12.3 曲面的外在曲率 151
12.4 哪些形状是可能的？ 154
第13章 高斯的绝妙定理 159
13.1 引言 159
13.2 高斯的漂亮定理（1816年） 159
13.3 高斯的绝妙定理（1827年） 161
第14章 尖刺的曲率 165
14.1 引言 165
14.2 锥形尖刺的曲率 165
14.3 多面角的内蕴曲率与外在曲率 168
14.4 多面体的绝妙定理 170
第15章 形状导数 172
15.1 方向导数 172
15.2 形状导数S 175
15.3 S的几何效应 176
15.4 绕道线性代数：奇异值分解和转置运算的几何学 177
15.5 S的一般矩阵 182
15.6 S的几何解释和[S]的化简 184
15.7 [S]由三个曲率完全确定 186
15.8 渐近方向 187
15.9 经典术语和记号：三种基本形式 189
第16章 全局高斯博内定理，引论 191
16.1 一些拓扑学知识与结果的陈述 191
16.2 球面和环面的曲率 194
16.2.1 球面的全曲率 194
16.2.2 环面的全曲率 196
16.3 看一看厚煎饼的K(Sg) 197
16.4 看一看面包圈和桥的K(Sg) 198
16.5 拓扑度和球面映射 200
16.6 历史注释 202
第17章 全局高斯博内定理的第一个证明（启发性证明） 203
17.1 平面环路的全曲率：霍普夫旋转定理 203
17.2 变形圆周的全曲率 206
17.3 霍普夫旋转定理的启发性证明 208
17.4 变形球面的全曲率 209
17.5 全局高斯–博内定理的启发性证明 210
第18章 全局高斯博内定理的第二个证明（利用角盈） 213
18.1 欧拉示性数 213
18.2 欧拉的（经验的）多面体公式 213
18.3 柯西对欧拉多面体公式的证明 216
18.3.1 摊平了的多面体 216
18.3.2 多边形网的欧拉示性数 217
18.4 勒让德对欧拉多面体公式的证明 219
18.5 对曲面增加柄以提高其亏格 222
18.6 全局高斯–博内定理的角盈证明 225
第19章 全局高斯博内定理的第三个证明（利用向量场） 227
19.1 引言 227
19.2 平面上的向量场 227
19.3 奇点的指数 228
19.4 原型奇点：复幂函数 231
19.5 曲面上的向量场 234
19.5.1 蜂蜜流向量场 234
19.5.2 蜂蜜流与地形图的关系 236
19.5.3 怎样在曲面上定义奇点指数？ 238
19.6 庞加莱–霍普夫定理 239
19.6.1 例子：拓扑球面 239
19.6.2 庞加莱–霍普夫定理的证明 241
19.6.3 应用：欧拉–吕以利埃公式的证明 243
19.6.4 庞加莱的微分方程与霍普夫的线场的比较 244
19.7 全局高斯–博内定理的向量场证明 249
19.8 往前的路怎么走？ 253
第20章 第三幕的习题 255
第四幕 平行移动
第21章 一个历史谜团 268
第22章 外在的构作 270
22.1 一边前进，一边向曲面投影 270
22.2 测地线和平行移动 273
22.3 马铃薯削皮器的移动 274
第23章 内蕴的构作 278
23.1 沿测地线的平行移动 278
23.2 内蕴（即“协变”）导数 279
第24章 和乐性 283
24.1 例子：球面 283
24.2 一般的测地线三角形的和乐性 285
24.3 和乐性是可加的 286
24.4 例子：双曲平面 287
第25章 绝妙定理的一个直观几何证明 291
25.1 引言 291
25.2 关于记号和定义的一些说明 292
25.3 至今所知的故事 293
25.4 球面映射保持平行移动不变 294
25.5 再说漂亮定理和绝妙定理 295
第26章 全局高斯博内定理的第四个证明（利用和乐性） 297
26.1 引言 297
26.2 沿一条开曲线的和乐性？ 297
26.3 霍普夫对全局高斯–博内定理的内蕴证明 299
第27章 度量曲率公式的几何证明 301
27.1 引言 301
27.2 向量场围绕回路的环流量 303
27.3 排练：平面上的和乐性 304
27.4 和乐性作为地图中由度量定义的向量场的环流量 306
27.5 度量曲率公式的几何证明 309
第28章 曲率是相邻测地线之间的作用力 310
28.1 雅可比方程简介 310
28.1.1 零曲率：平面 310
28.1.2 正曲率：球面 312
28.1.3 负曲率：伪球面 314
28.2 雅可比方程的两个证明 315
28.2.1 测地极坐标 315
28.2.2 相对加速度=速度的和乐性 318
28.3 小测地圆的周长和面积 320
第29章 黎曼曲率 322
29.1 引言和概要 322
29.2 n 流形上的角盈 323
29.3 平行移动：三种构作方法 325
29.3.1 定角锥上的最近向量 325
29.3.2 在平行移动平面内的定角 326
29.3.3 希尔德的梯子 327
29.4 内蕴（又称“协变”）导数rv 327
29.5 黎曼曲率张量 329
29.5.1 绕一个小“平行四边形”的平行移动 329
29.5.2 用向量换位子把这个“平行四边形”封闭起来 331
29.5.3 黎曼曲率的一般公式 332
29.5.4 黎曼曲率是一个张量 334
29.5.5 黎曼张量的分量 336
29.5.6 对于固定的wo，向量的和乐性只依赖于回路所在的平面及其所围面积 337
29.5.7 黎曼张量的对称性 338
29.5.8 截面曲率 340
29.5.9 关于黎曼张量起源的历史注记 341
29.6 n 维流形的雅可比方程 343
29.6.1 截面雅可比方程的几何证明 343
29.6.2 截面雅可比方程的几何意义 345
29.6.3 雅可比方程和截面雅可比方程的计算证明 346
29.7 里奇张量 347
29.7.1 由一束测地线包围的面积的加速度 347
29.7.2 里奇张量的定义和几何意义 349
29.8 终曲 351
第30章 爱因斯坦的弯曲时空 352
30.1 引言：“我一生中最快乐的想法” 352
30.2 引力的潮汐力 354
30.3 牛顿引力定律的几何形式 358
30.4 时空的度量 360
30.5 时空的图示 362
30.6 爱因斯坦的真空场方程的几何形式 363
30.7 施瓦氏解和爱因斯坦理论的最初验证 366
30.8 引力波 371
30.9 爱因斯坦的（有物质的）场方程的几何形式 374
30.10 引力坍缩成为黑洞 377
30.11 宇宙学常数：“我一生中最严重的错误” 381
30.12 结束语 383
第31章 第四幕的习题 384
第五幕 形式
第32章 1-形式 394
32.1 引言 394
32.2 1-形式的定义 395
32.3 1-形式的例子 397
32.3.1 引力做功的1-形式 397
32.3.2 引力做功1-形式的可视化 398
32.3.3 等高线图和梯度1-形式 399
32.3.4 行向量 402
32.3.5 狄拉克符号（左矢） 402
32.4 基底1-形式 403
32.5 1-形式的分量 404
32.6 梯度df是1-形式 405
32.6.1 复习：梯度 f是一个向量 405
32.6.2 梯度df是一个1-形式 406
32.6.3 1-形式的笛卡儿基{dxj} 407
32.6.4 df =( xf)dx+( yf)dy的1-形式解释 408
32.7 1-形式加法的几何解释 408
第33章 张量 411
33.1 张量的定义：阶 411
33.2 例子：线性代数 412
33.3 从原有的张量做出新张量 412
33.3.1 加法 412
33.3.2 乘法：张量积 413
33.4 分量 413
33.5 度量张量与经典线元的关系 414
33.6 例子：再看线性代数 415
33.7 缩并 416
33.8 用度量张量来改变张量的阶 417
33.9 对称张量和反对称张量 419
第34章 2-形式 421
34.1 2-形式和p-形式的定义 421
34.2 例子：面积2-形式 422
34.3 两个1-形式的楔积 423
34.4 极坐标下的面积2-形式 426
34.5 基底2-形式及投影 427
34.6 2-形式与R3中向量的联系：流量 429
34.7 R3中向量积与楔积的关系 431
34.8 法拉第的电磁2-形式与麦克斯韦的电磁2-形式 433
第35章 3-形式 439
35.1 3-形式需要三个维度 439
35.2 一个2-形式与一个1-形式的楔积 439
35.3 体积3-形式 440
35.4 球极坐标中的3-形式 441
35.5 三个1-形式的楔积，p个1-形式的楔积 442
35.6 基底3-形式 444
35.7 Ψ^Ψ≠0可能吗？ 445
第36章 微分学 446
36.1 1-形式的外导数 446
36.2 2-形式和p-形式的外导数 448
36.3 形式的莱布尼茨法则 449
36.4 闭形式和恰当形式 450
36.4.1 基本结果：d2=0 450
36.4.2 闭形式和恰当形式 450
36.4.3 复分析：柯西–黎曼方程 451
36.5 用形式做向量运算 452
36.6 麦克斯韦方程组 456
第37章 积分学 459
37.1 1-形式的线积分 459
37.1.1 环流和功 459
37.1.2 与路径的无关性<=>闭合环路积分为零 460
37.1.3 恰当形式φ=df的积分 461
37.2 外导数是一个积分 461
37.2.1 1-形式的外导数 461
37.2.2 2-形式的外导数 465
37.3 外微积分基本定理（广义斯托克斯定理） 467
37.3.1 外微积分基本定理 467
37.3.2 相伴的历史问题 467
37.3.3 例子：面积 468
37.4 边界的边界是零 468
37.5 向量微积分的经典积分定理 469
37.5.1 Φ=0-形式 469
37.5.2 Φ=1-形式 470
37.5.3 Φ=2-形式 471
37.6 外微积分基本定理的证明 471
37.7 柯西定理 474
37.8 1-形式的庞加莱引理 474
37.9 德拉姆上同调初步 475
37.9.1 引言 475
37.9.2 一个特殊的二维涡旋向量场 476
37.9.3 涡旋1-形式是闭的 477
37.9.4 涡旋1-形式的几何意义 477
37.9.5 闭1-形式的环流的拓扑稳定性 478
37.9.6 第一德拉姆上同调群 480
37.9.7 R3中的平方反比点源 482
37.9.8 第二德拉姆上同调群 483
37.9.9 环面的第一德拉姆上同调群 485
第38章 用形式来讲微分几何 488
38.1 引言：嘉当的活动标架法 488
38.2 联络1-形式 490
38.2.1 关于符号的约定和两个定义 490
38.2.2 联络1-形式 491
38.2.3 注意：以前习惯的记号 493
38.3 姿态矩阵 494
38.3.1 通过姿态矩阵来讲连络形式 494
38.3.2 例子：柱面标架场 495
38.4 嘉当的两个结构方程 498
38.4.1 用ej的对偶dxj来表示mi的对偶θi 498
38.4.2 嘉当第一结构方程 498
38.4.3 嘉当第二结构方程 499
38.4.4 例子：球面标架场 500
38.5 曲面的6个基本形式方程 505
38.5.1 使嘉当的活动标架适用于曲面：形状导数与外在曲率 505
38.5.2 例子：球面 507
38.5.3 基底分解的唯一性 508
38.5.4 曲面的6个基本形式方程 509
38.6 对称性方程和彼得松–梅纳第–科达齐方程的几何意义 510
38.7 高斯方程的几何形式 511
38.8 度量曲率公式和绝妙定理的证明 512
38.8.1 引理：ω12的唯一性 512
38.8.2 度量曲率公式的证明 512
38.9 一个新的公式 514
38.10 希尔伯特引理 514
38.11 利布曼的刚性球面定理 515
38.12 n 流形的曲率2-形式 517
38.12.1 引言和概述 517
38.12.2 广义外导数 519
38.12.3 由曲率2-形式导出黎曼张量 520
38.12.4 再论比安基恒等式 521
38.13 施瓦西黑洞的曲率 522
第39章 第五幕的习题 528
人名索引 541
术语索引 546
· · · · · · (收起)
读后感
太感动了！这书终究还是在齐民友先生的关照下翻译出来了，可惜先生已不在。。。 齐先生翻译的《复分析·可视化方法》评分甚至比Needham的VCA原版还高，这在学界极为罕见。 几年前刚看到Needham这本VDGF时，就在等齐先生的译本，却未曾想先等来的竟是先生仙逝的讣告！！！ 遂怀...
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用户评价
这本书的另一个突出优点，是它对历史和应用背景的穿插介绍，使得整个学科的脉络变得清晰可辨。它不是孤立地呈现数学定理，而是将它们置于一个宏大的知识演化图景中。比如，在介绍黎曼几何的诞生时，作者没有仅仅引用黎曼的名字，而是回顾了高斯对曲面的开创性工作，以及当时物理学界对非欧几何需求的迫切性。这种“知其然，更知其所以然”的讲述方式，极大地增强了阅读的趣味性和知识的粘性。对我这样的非专业读者来说，它不仅仅是一本工具书，更像是一部关于人类如何理解空间和运动的编年史。它让我意识到，微分几何绝非空中楼阁，而是人类思维试图去描述真实世界（无论是欧几里得空间还是广义相对论中的时空）时所构建的最精妙的思维工具之一。
这本书的叙事节奏掌握得极为精准，简直像是一位经验丰富的老教授在精心打磨他的演讲稿。我注意到，作者在铺垫基础概念时，从不急于跳到下一个更深层次的定理，而是会花大力气在每一个关键转折点上做“语义缓冲”。比如说，在讲解为什么我们需要引入“外微分”这个工具时，它没有直接给出定义，而是先回顾了传统微积分中格林公式和斯托克斯定理的局限性，然后非常自然地引出了张量分析的优雅替代方案。这种层层递进的结构，让读者在接受新知识的同时，也能清晰地看到这些新工具的“历史必然性”和“实用价值”。我个人对那种生硬的、定义先行、推导在后的教材深恶痛绝，但这本书完全避免了这一点。它更像是带你走过一条蜿蜒但风景优美的山路，每当你感到快要迷失方向时，总有一个清晰的指示牌告诉你，我们为什么要走这条路，以及我们即将到达何处。
天呐，我最近终于鼓起勇气翻开了这本《可视化微分几何和形式》，说实话，我本来以为这会是一场灾难，毕竟我对纯数学概念的理解能力基本停留在能算出抛物线顶点那个水平。结果呢？这本书的开篇简直像是一股清流，完全颠覆了我对“晦涩难懂”的数学教材的固有印象。它没有一开始就扔给我一堆复杂的张量符号和坐标变换，而是巧妙地引入了可视化的概念，通过生动的图像和直观的例子，把那些抽象的曲面、切线空间一下子具象化了。我尤其喜欢它在介绍流形拓扑结构时所使用的类比，那种感觉就像是作者手里拿着一块橡皮泥，手把手地教你揉捏出黎曼流形的内在结构。很多我以前在其他资料里读到就头疼的概念，比如“联络”或者“曲率”，在这里居然变得可以触摸、可以想象了。这感觉太奇妙了，它成功地将高等数学从二维的黑白文字变成了三维的动态模型，让我的大脑终于能跟上节奏，不再是纯粹的被动接收，而是主动地去探索和理解。
坦白讲，这本书的难度曲线是存在的，但它处理困难点的方式非常高明。当我翻到关于高维流形上纤维丛和联络的部分时，我确实感到了一丝困惑，那些符号开始变得密集起来。然而，作者很快就引入了一个非常巧妙的“退化”策略。他会先在一个二维或者三维的、可直观想象的空间中，用非常具体的坐标系例子来阐释纤维丛的局部结构，然后再慢慢推广到一般化的流形上。这种“先具体，后抽象”的策略，极大地缓解了我的焦虑感。很多数学书在这一点上处理不当，直接跳到抽象定义，让读者还没站稳就被推入了深水区。这本书则像是一个耐心的游泳教练，确保你学会了换气和漂浮，才让你开始尝试蝶泳。这种对读者学习体验的细致关怀，让我对作者的专业素养和教学智慧由衷地敬佩。
读完关于测地线和曲率部分的感受是：这哪里是一本教科书，分明是一部数学美学作品集！我必须强调，这本书的图示质量达到了艺术品的级别。以往我看到的微分几何的图，要不就是简陋的线条图，要不就是后期渲染痕迹过重的三维模型，让人感觉疏离。但这里的可视化是服务于概念的，每一个截面、每一个向量场的拖拽，都精确地服务于解释那个深层次的几何直觉。例如，在解释里奇曲率如何影响空间邻近测地线的收敛或发散时，作者设计了一组动态的对比图，那简直是教科书级别的范例。我甚至可以想象，如果有人想将这些概念用于物理模拟或者计算机图形学，这本书提供了最坚实的视觉基础。它让你不仅仅是“知道”公式是什么，更是“感觉”到为什么公式是那个样子。那种深刻的、图像驱动的理解，是任何枯燥的公式推导都无法比拟的。
“真希望当我还是学生的时候就有尼达姆的这本书。”这本书用真正的几何可视化方法讲述了微分几何，并加入了作者自己设计的数学实验，把微分几何教科书里描述得非常抽象的内容（例如平行移动、和乐性等）讲得通俗易懂，看得见、摸得着。
其实刚开始读，但是五星必须安排上！！！
“真希望当我还是学生的时候就有尼达姆的这本书。”这本书用真正的几何可视化方法讲述了微分几何，并加入了作者自己设计的数学实验，把微分几何教科书里描述得非常抽象的内容（例如平行移动、和乐性等）讲得通俗易懂，看得见、摸得着。
“真希望当我还是学生的时候就有尼达姆的这本书。”这本书用真正的几何可视化方法讲述了微分几何，并加入了作者自己设计的数学实验，把微分几何教科书里描述得非常抽象的内容（例如平行移动、和乐性等）讲得通俗易懂，看得见、摸得着。
看的是英文版
