初等几何的著名问题 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:[德] Felix Klein

出品人:

页数:83

译者:沈一兵

出版时间:2005-7

价格:15.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787040173895

丛书系列:数学翻译丛书

图书标签:

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现代代数基础与应用 简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代代数核心概念的介绍，重点关注群论、环论和域论的基础构建及其在数学和相关科学领域的应用。不同于传统的侧重于纯粹逻辑推导的教材，本书力求在保持严谨性的同时，通过大量的实例、几何直观的阐释以及与经典代数问题的联系，帮助读者建立对抽象代数结构的深刻理解。 本书内容覆盖了代数结构的基础定义、同态与同构的性质、商结构（如商群、商环）的构造，并深入探讨了特定结构，如有限阿贝尔群的结构定理、域的扩张理论，以及伽罗瓦理论的初步介绍。 --- 第一部分：群论的基石 第一章：集合与映射的回顾 在正式进入抽象代数之前，本章对读者所需的集合论基础和离散数学概念进行了必要的梳理。这包括集合的运算、笛卡尔积、函数的性质（单射、满射、双射）以及等价关系和划分的概念。特别强调了“关系”在定义代数结构中的核心作用。 第二章：群的定义与基本性质 本章引入群的公理化定义——一个带有结合律的封闭二元运算，且存在单位元和逆元的集合。通过对各种实例的分析，如整数加法群、非零有理数乘法群、对称群 $S_n$ 以及矩阵群，展示了群作为数学中最基本对称结构的地位。探讨了子群的定义、陪集（左陪集与右陪集）的性质及其在划分群方面的作用。 第三章：正规子群与商群 本章的核心在于引入“正规性”这一关键概念。我们详细讨论了如何判断一个子群是否为正规子群，以及正规子群在代数结构中的重要性——它们是构造商群的必要条件。商群（或称因子群）的构造过程被详尽阐述，利用等价类（陪集）构成的集合，重新赋予群运算，这是抽象化思维的关键一步。拉格朗日定理作为第一个重要的定量结果被证明，揭示了有限群的阶与子群阶之间的关系。 第四章：同态与同构 本章关注不同群之间的结构保持映射——群同态。通过对核（Kernel）和像（Image）的分析，我们证明了第一同态定理，这是连接群、正规子群和商群的桥梁。同构的概念被引入，用以判断两个群在结构上是否“相同”，无论其元素如何标记。此外，本章还涵盖了同态定理的推广形式，以及循环群、生成元、生成子集等概念。 第五章：群的分类与结构 本章开始探讨更具体的群结构。介绍了交换群的性质，并深入讨论了有限生成阿贝尔群的结构定理，展示了任何有限阿贝尔群都可以分解为若干循环群的直积。对于非交换群，我们引入了置换群的知识，特别是交错群 $A_n$ 的性质，以及如何利用群作用（Group Action）的观念来简化对群结构的研究，如凯莱定理（Cayley's Theorem）和利用Sylow定理来分析有限群的子群结构。 --- 第二部分：环与域的拓展 第六章：环的结构 本章将代数运算从一个扩展到两个（加法与乘法），引入了环的定义。环必须满足加法群的结构，且乘法运算满足结合律，并与加法满足分配律。我们考察了常见的环实例，如整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$ 和矩阵环 $M_n(R)$。重点讨论了环中的特殊元素：零因子、零元、单位元、幂零元、幂等元，以及域（Integral Domain）的定义。 第七章：子环、理想与商环 类似于群论中的子群和正规子群，本章引入了子环和理想的概念。理想被定义为在加法下封闭且对乘法具有吸收性的特殊子集，它们是构造商环的基石。利用理想，我们构造了商环 $frac{R}{I}$，并证明了环的第一个同态定理，该定理完美地概括了群论中的对应关系。 第八章：特殊类型的环 本章聚焦于具有特殊乘法性质的环，特别是整环（Integral Domain）。我们探讨了整环中的可除性概念，如公因式、最小公倍式。引入了欧几里得整环、主理想整环（PID）和唯一因子分解整环（UFD）的层级结构。对多项式环 $F[x]$ 的深入研究是本章的亮点，证明了 $F[x]$ 总是唯一因子分解整环。 第九章：域的扩张与伽罗瓦理论的引言 本章将注意力转向域（Field）。域是允许除法运算的特殊环。我们研究了域的扩张 $E/F$，即 $E$ 作为一个关于 $F$ 的向量空间。讨论了代数数与超越数、最小多项式以及域扩张的次数。最后，本章简要介绍了伽罗瓦理论的核心思想：通过连接域扩张与群（伽罗瓦群），来理解多项式方程的可解性问题，特别是五次及以上方程不可由根式求解的深刻原因。 --- 第三部分：应用与联系 第十章：矩阵群与几何变换 本章将抽象的群论应用于具体的几何和线性代数领域。探讨了一般线性群 $ ext{GL}(n, F)$、特殊线性群 $ ext{SL}(n, F)$ 等矩阵群的结构。展示了这些群如何描述空间中的线性对称性，并将群的同态与线性变换（如特征值、特征向量）联系起来。 第十一章：代数在编码理论中的作用 本章探讨了现代代数在信息科学中的实际应用，重点介绍有限域（Galois Fields, $ ext{GF}(q)$）的构造和性质。通过使用有限域上的多项式环，解释了如何构造出高效的线性分组码和循环码（如 BCH 码），从而实现数据的可靠传输与纠错。 --- 读者对象： 本书适合具有扎实微积分和线性代数基础的数学专业本科生、物理学、计算机科学（特别是密码学和编码理论方向）的研究生，以及所有希望深入理解数学结构之本质的自学者。本书的难度设计允许初学者在跟进课程的同时，为未来深入研究代数几何或代数拓扑打下坚实的基础。

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说实话，我一开始对“著名问题”这几个字抱有怀疑态度，总觉得是不是又是那些陈词滥调的堆砌。然而，深入阅读后才发现，我的顾虑完全是多余的。这本书的选材非常精妙，它涵盖了从平面几何到解析几何的多个分支，但所有的例子都围绕着那些具有深刻数学意义和历史背景的问题展开。比如，书中对阿波罗尼乌斯问题（Apollonius' problem）的探讨，简直是一次精彩的几何构造之旅。作者没有满足于给出标准的代数解法，而是别出心裁地引入了圆反演这种强大的工具。这种跨越不同数学领域的融合能力，展现了作者深厚的功底。阅读体验极其流畅，文字简练而不失温度，每一步推导都清晰可见，没有任何含糊不清的地方。对于那些希望从“会做题”进阶到“理解题”的读者来说，这本书无疑是上乘之选。它不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的塑造，让我对几何学的严密性和创造性有了更深层次的敬畏。

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这本书的装帧和排版也值得称赞，这对于一本数学书籍来说至关重要。清晰的图表和恰到好处的留白，极大地减轻了长时间阅读带来的视觉疲劳。我注意到，作者在引入新概念时，总是会先给出一些直观的几何图像作为铺垫，这对于我们这些非专业出身的爱好者来说，是极大的福音。我尤其喜欢其中关于拓扑学前沿的一些轻描淡写的介绍，虽然篇幅不多，但足以激发读者去探索更深奥的领域。比如，书中讨论到一个关于“不动点”的简单猜想，最后引申到了庞加莱不动点定理的直观理解，这种由浅入深的叙事方式非常高明。它让你在不知不觉中，已经接触到了更高阶的数学思想，却丝毫感觉不到压力。它不像教科书那样板着脸孔，反而是像一位耐心且充满激情的伙伴，和你一起探索这个广阔而迷人的数学世界。我几乎是爱不释手，常常在深夜里，只为了弄懂其中一个关于共轭双曲线的构造细节而兴奋不已。

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这本书真正让我震撼的地方，在于它对几何“直觉”的培养。很多几何问题，靠纯粹的代数运算往往会陷入泥潭，而这本书教会了我如何“看”出答案。例如，在处理一些涉及面积关系的问题时，作者展示了如何通过巧妙的切割和重组来简化复杂的表达式，这已经超越了简单的技巧，达到了一种艺术的境界。它让我明白了，几何学不仅仅是关于点、线、面的学科，它更是一种对空间关系和结构本质的深刻洞察。这本书的结构非常清晰，它从最基础的欧氏公理出发，层层递进，最终触及到非欧几何的某些基本概念，让读者对几何学的边界有一个宏观的认识。我感觉自己仿佛走过了一条从懵懂少年到初探真理的历程，每读一页，对“确定性”和“美感”的理解就加深一分。这是一本值得反复研读、常读常新的经典之作，它为我打开了一扇通往纯粹数学王国的大门。

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我必须承认，这本书对我来说是充满挑战性的，但这种挑战性恰恰是它的魅力所在。它没有回避那些真正困难的问题，比如著名的“尺规作图”的限制性证明，作者的处理方式非常到位，既尊重了欧几里得的古典精神，又巧妙地结合了伽罗瓦理论的现代见解。每一次我卡住时，我都会把书合上，闭目思考片刻，然后再次打开，通常都能从前文的某个细节中找到新的突破口。这本书的叙述逻辑有着一种内在的韵律感，仿佛是数学家在构建一个宏伟的建筑，每块砖石都放置得恰到好处。它迫使我不仅要“看”几何图形，更要“思考”图形背后的变换和对称性。对于那些满足于标准教科书解法的读者，这本书可能会带来一些“不适”，因为它要求你停下来，去质疑那些被视作理所当然的结论。但正是这种挑战，让我感觉自己的数学“肌肉”得到了真正的锻炼。

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这本《初等几何的著名问题》着实让我大开眼界，它不仅仅是一本习题集，更像是一场对数学美学的深度探索。我记得翻开第一章时，就被那些经典问题的严谨和优雅所吸引。作者似乎有一种魔力，能将那些看似晦涩难懂的几何证明，用一种近乎诗意的语言娓娓道来。我尤其欣赏书中对欧拉定理的阐述，它不仅给出了证明的步骤，更深入地挖掘了其背后的几何直觉。很多时候，我们只是记住公式，却忽略了公式背后的逻辑和美感。这本书的价值就在于，它引导我重新审视了那些熟悉的定理，比如勾股定理的各种奇妙推广，还有圆内接多边形的性质，那些在中学时代匆匆而过的知识点，在这里被赋予了新的生命。阅读的过程就像是与一位经验丰富、博学的老师进行面对面的交流，他耐心地引导你，让你在解决问题的同时，领悟到数学思维的精髓。我感觉自己的空间想象能力和逻辑推理能力都得到了显著的提升，那种茅塞顿开的喜悦是无与伦比的。

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相当难，基础要求高，但是非常适合锻炼脑袋。

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最喜欢的数学家写的书籍， 喜欢里面的分析定义

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能有谁像Klein如此简洁的解决数学问题的么？除了上帝。

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还以为是角格点一类的简单平几问题，结果用微积分才勉强抵挡下来，熏疼地抱住智障的自己

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几何大家克莱因的讲座，三大作图问题和高斯的十七等分圆问题。