几何讲义 第二学期 线性代数和微分几何 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:M.M.Postnikov

出品人:

页数:286

译者:陈维恒

出版时间:1992

价格:5.7

装帧:平装

isbn号码:9787040027549

丛书系列:

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《几何讲义 第二学期：线性代数与微分几何》图书简介 卷首语：穿越时空的数学对话 本书并非对既有教材的简单重复，而是对线性代数与微分几何这两大核心数学分支进行一次深入、系统且富有洞察力的梳理。我们试图在严谨的数学结构与直观的几何图像之间架起一座坚实的桥梁，引导读者从基础概念出发，逐步攀登至理论的制高点。本“第二学期”的讲义，聚焦于如何运用代数工具来解析几何的内在规律，并如何以几何的视角来深化对抽象代数结构的理解。这不仅是一套知识的传授，更是一次思维方式的重塑。 --- 第一部分：线性代数的深度解析——从向量空间到谱理论 本部分将线性代数的理论框架推向一个更精细、更具应用潜力的深度。我们不再满足于对基、维数和矩阵运算的初步认知，而是深入探究其背后的深刻结构。 1. 向量空间的高级结构与构造 内积空间的完备性与希尔伯特空间基础： 介绍完备性的概念在泛函分析中的重要性，并从有限维内积空间过渡到最基础的无限维希尔伯特空间。着重讨论正交基的完备性，施密特正交化过程在构造正交基时的作用及其在最小二乘法中的几何意义。 张量积（Tensor Product）的代数与几何诠释： 详细阐述张量积的构造过程，区别于笛卡尔积。通过张量积来理解高阶线性映射的复合结构，并在物理学和几何学背景下，解释张量的基本特性——特别是它如何捕捉多线性关系，而非单一向量对坐标变化的敏感性。 线性泛函与对偶空间： 深入讨论线性泛函的性质，特别是Riesz表示定理在有限维空间中的具体体现（即每个线性泛函都可以由一个特定向量表示）。对偶空间如何反映原空间的“观测者”视角，以及二次型与双线性形式在对偶空间中的表示。 2. 线性算子理论的精细化 算子的谱分解： 抛弃仅讨论对角化矩阵的局限，转向一般线性算子（在线性空间上的映射）的谱理论。详细介绍若尔当标准形（Jordan Canonical Form）的构造，重点在于理解若尔当块如何系统地处理代数重数与几何重数不等的非对角化情况。这不仅是计算工具，更是理解线性算子结构本质的钥匙。 不动点定理与线性系统的稳定性： 将线性代数知识应用于动力系统。分析线性常微分方程组 $dot{mathbf{x}} = Amathbf{x}$ 的解的性质，通过特征值和特征向量来判断系统的稳定性（稳定节点、鞍点、中心、焦点等），为后续微分几何中的流和稳定流打下基础。 线性算子的范数与有界性： 在有限维空间中，所有线性算子都是有界的。但我们需引入算子范数的概念，探讨它在线性规划和数值稳定性中的意义，并为无限维空间的算子分析（尽管本课程不深入无限维）做必要的铺垫。 --- 第二部分：微分几何的直观构建——从曲线到流形概念的萌芽 本部分旨在建立一个“微分”的几何直觉，使读者能够将一维的微积分概念提升到高维空间，并为进入更抽象的流形理论做准备。 1. 空间曲线的内在几何属性 自然参数化与曲率（Curvature）： 强调弧长参数化在微分几何中的基础地位，因为它使得微分运算独立于参数的选择。系统推导平面曲线和空间曲线的一阶曲率（衡量偏离直线的程度）和挠率（Torsion）（衡量偏离平面的程度）。 弗雷内-塞雷公式（Frenet-Serret Formulas）： 详细推导和解释这组描述空间曲线运动的微分方程组。 ${mathbf{T}, mathbf{N}, mathbf{B}}$ 构成的自然标架如何随曲线运动，揭示了曲率和挠率作为曲线内在几何量的本质地位。 主曲率与第一、第二基本形式初步： 从曲线过渡到二维曲面。初步引入曲面的第一基本形式（度量张量），它决定了曲面上的距离和角度，是曲面内在几何的基础。接着，介绍第二基本形式，它描述了曲面如何嵌入到三维空间中，以及由此导出的主曲率概念。 2. 几何的局部与整体 测地线（Geodesics）的概念： 直观地解释测地线是“弯曲空间中的直线”。在平面上，它是直线；在球面上，它是大圆弧。通过变分原理或利用曲面上切向量场在曲面上的平行移动定义测地线，强调其是曲面上两点间“最短路径”的局部性质。 曲率的内蕴性： 探讨高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的几何意义，即表面高斯曲率（Gaussian Curvature）仅依赖于第一基本形式，是曲面的内蕴几何量。这预示着，一个平面可以被拉伸或压缩（保持第一基本形式不变），但其高斯曲率始终为零，而一个球面则具有恒定的正曲率。 向量场与切空间： 引入高维空间中的局部“切平面”概念——切空间（Tangent Space）。将一个向量场在某一点的取值视为该点切空间中的一个向量，从而将线性代数的知识点（向量空间）锚定在具体的几何点上。 --- 总结与展望：代数与几何的交融 本书的最终目标，是让读者认识到线性代数并非仅仅是解方程组的工具，而是描述空间结构（包括切空间、线性映射）的语言；而微分几何则利用这些代数工具，来量化和描述空间本身的弯曲和形变。从若尔当标准形对算子结构的精确分类，到弗雷内-塞雷公式对空间曲线运动的精确刻画，我们始终在强调结构与变化的统一性。 本书为后续深入研究微分几何中的流形理论、黎曼几何，以及线性代数在更抽象的群论、表示论中的应用，奠定了坚实、且充满几何直觉的基础。 适合读者： 已完成线性代数和微积分预备课程的学习者，希望系统提升对几何化代数结构理解的理工科、数学专业学生及研究人员。

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这本厚重的《几何讲义》第二学期选集，光是拿到手里，就能感受到那种沉甸甸的学术分量。我记得第一次翻开它，映入眼帘的是那些严谨的定义和令人望而生畏的定理，仿佛直接被拽进了纯粹数学的抽象殿堂。它不仅仅是一本教材，更像是一扇通往高深数学世界的窗户，只不过，这扇窗户的视野极其开阔，但也对读者的基础要求颇高。书中的讲解逻辑链条极其紧密，每一个步骤的推导都建立在前文的基础上，这使得初学者在跟进时会感到吃力，需要反复咀嚼才能真正领会其精髓。我个人最欣赏的是它在概念引入时的那种“史诗感”，它不会直接告诉你答案，而是引导你去感受那些数学家是如何一步步构建起线性空间的概念堡垒的。然而，对于那些更偏向应用或者希望看到大量实例佐证的读者来说，这本书的抽象性可能会成为一道难以逾越的障碍。它更像是一本为未来的数学家准备的“内参”，而不是给普通工科生做应试准备的工具书。阅读过程更像是一场耐力的考验，每一次突破一个难点，都伴随着巨大的成就感，但同时，你也会被那些尚未攻克的角落深深困扰。

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我不得不承认，我对这本书的评价带有一种“敬畏”的色彩，因为我尚未完全掌握它所涵盖的所有知识深度。它更像是一套精心打磨的“知识武器库”，里面装满了处理复杂数学问题的精良工具，但要真正使用这些工具，我还需要进行大量的练习和知识的“内化”。书中的习题设置似乎更倾向于对证明的深化和对现有理论的扩展，而不是那些标准化的、可以套用公式解决的计算题。这要求读者在解题时必须具备高度的创造性和对理论的融会贯通能力。每一次尝试解答后面的问题，都像是在进行一次微型的数学研究。对于那些只满足于“学会解题”的读者而言，这本书的挑战性是巨大的，它可能带来的挫败感远大于即时的满足感。然而，正是这种挑战性，使得它在那些真正致力于数学探索的人群中，拥有极高的声誉和不可替代的地位。它训练的不是你计算的能力，而是你思考的深度和广度。

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读完这本教材的部分章节后，我有一种强烈的感受：作者对“几何直觉”的培养似乎是持保留态度的，或者说，他更倾向于用代数和拓扑的语言来“驯服”几何。线性代数的部分处理得非常扎实，矩阵群和向量空间的分解理论讲解得如同水晶般透明。但是，当我试图将这些代数结构与我们日常感知的空间形状联系起来时，总感觉中间隔着一层毛玻璃。特别是涉及到黎曼几何的前奏部分，那种对曲率的代数表达——里奇张量之类的——的推导过程，虽然逻辑上无懈可击，但读起来却缺乏一种“画面的美感”。我个人更喜欢那种能够激发视觉想象力的几何教学方式，比如通过投影、切线和法向量的变化来感受空间的扭曲。这本书更像是一本为未来的理论物理学家量身定做的代数几何蓝图，它要求读者用纯粹的逻辑思维来“看见”几何，而不是用眼睛去“观察”几何。对于我这种需要视觉辅助才能深入理解抽象概念的人来说，这无疑增加了理解的难度和时间成本。

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我尝试用一种更偏向实践者的角度来审视这本“几何讲义”。坦白说，当我在面对那些涉及到张量分析和流形概念的章节时，我立刻感觉到了它与我日常工作中的那些数值模拟和图形处理之间的巨大鸿沟。这本书似乎将自身定位在了一个极高的纯粹性层面，几乎不涉足任何直接的应用场景或编程实现。比如，在讨论微分形式的对偶性时，描述是如此的精妙和自洽，但要如何将这个概念转化为可计算的算法，书里却鲜有提及。这造成了一种阅读上的“悬空感”——知识点是完备的，但工具箱却是空的。我期望看到更多的例子，哪怕是简化的例子，来展示这些抽象结构是如何在物理世界或工程领域中“落地生根”的。现在的感觉就像是学习了最顶级的乐理知识，却从未拿起过任何乐器，只能在脑海中构建完美的交响乐，却无法真正演奏出来。它无疑提升了我的理论素养，但在“如何使用”这一点上，我需要寻求其他补充材料的帮助。

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这本书的编辑和排版，从一个资深读者的角度来看，简直是教科书级别的典范。清晰的页边距、适中的行距，以及公式编号的逻辑性，都极大地减轻了长时间阅读带来的视觉疲劳。更值得称赞的是，它在引理和定理的区分上做得非常到位，每当一个核心结论被提出时，都有一个明确的标记，这对于快速回顾和复习至关重要。我的书架上堆满了各种版本的数学讲义，很多都因为字体拥挤或公式排版混乱而束之高阁，但这本《几何讲义》在物理呈现上几乎无可挑剔。它传递出一种对知识的尊重感，让读者在使用过程中感到愉悦。唯一的微小遗憾可能在于，索引部分略显粗略，在查找特定的小概念时，偶尔需要花费额外的几分钟去定位，不过这在如此庞大和密集的知识体系中，或许是难以避免的权衡。总而言之，从硬件和软件的“用户体验”角度，这绝对是一部可以反复翻阅的精品。

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我居然有这本书???? 上面居然还有陈维桓老师写给聂灵昭老师的亲笔......

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