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出版者:科学出版社

作者:彼得森

出品人:

页数:401

译者:

出版时间:2007-1

价格:76.00元

装帧:

isbn号码:9787030182944

丛书系列:国外数学名著系列（影印版）

图书标签:

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《拓扑学基础》 本书旨在为读者构建一个坚实而直观的拓扑学入门基础。拓扑学，作为研究空间性质在连续形变下保持不变的数学分支，其魅力在于它提供了一种超越传统欧几里得几何的全新视角，去理解“形状”和“邻近性”。 第一部分：度量空间与拓扑空间的概念引入 我们会从最直观的度量空间（Metric Spaces）开始。详细阐述距离函数（Metric）的四个基本性质，并通过具体的例子，如图上距离、欧几里得距离以及离散度量，展示不同度量如何定义空间中点与点之间的关系。在这个基础上，我们引出开球（Open Balls）的概念，这是构建拓扑结构的最基本元素。 接着，我们将从度量空间自然过渡到更抽象的拓扑空间（Topological Spaces）。拓扑空间由一个集合 $X$ 和一组满足特定公理的子集族 $ au$（称为拓扑）构成。我们将深入探讨这些公理——空集和全集是开集、有限个开集的交集是开集、任意多个开集的并集是开集——并展示度量诱导拓扑的构造过程。读者将理解到，拓扑空间是对“开集”概念的精确形式化，而“开集”则代表了直观上的“邻域”。 第二部分：拓扑空间的结构与性质 本部分将重点关注拓扑空间中的核心结构元素。 邻域（Neighborhoods）与闭集（Closed Sets）： 邻域是拓扑学中描述“围绕某点的点集”的核心工具，它直接由开集定义。我们随后定义闭集，即开集的补集，并探讨闭集与闭包（Closure）、内部（Interior）和边界（Boundary）之间的关系。闭包是包含某集合的所有点的最小闭集，是理解集合“延伸范围”的关键。 收敛性与点列（Convergence and Sequences）： 虽然拓扑空间不一定有度量，但点列的收敛概念在许多重要的拓扑空间中仍然适用。我们将定义点列收敛的拓扑条件，并对比度量空间中的收敛性，探讨在一般的拓扑空间中，为什么需要更精细的工具（如滤子或网）来完整描述收敛，但本书将主要聚焦于前者的直观理解。 分离性公理（Separation Axioms）： 这是区分不同“良好”拓扑空间的重要标准。我们将系统地介绍 $T_0, T_1, T_2$（Hausdorff, 豪斯多夫）以及更强的正则性和正规性公理。豪斯多夫空间的概念至关重要，它保证了空间中不同的点可以被不相交的开集分开，这是许多后续分析性构造的基础。 第三部分：连续性与拓扑等价 连续函数（Continuous Functions）： 拓扑学研究的是形状在连续形变下的不变性。因此，连续函数是拓扑学中的核心态射（Morphism）。我们给出拓扑空间之间连续函数的精确定义：原像下保持开集的映射。我们将通过实例对比欧几里得空间中的连续性与拓扑空间中的连续性，并讨论连续函数的复合性质。 拓扑同胚（Homeomorphisms）： 这是拓扑学中“形状相同”的精确数学定义。两个空间如果存在双射且双射及其逆映射都是连续的，则称它们拓扑同胚。本书将花费大量篇幅分析如何证明两个空间“不是”拓扑同胚的，这通常依赖于寻找在拓扑同胚下保持不变的拓扑不变量。 第四部分：重要的拓扑不变量与构造 连通性（Connectedness）： 连通性描述了一个空间是否可以被“拆分成”不相交的非空开集的并集。我们将定义连通空间，并深入研究路径连通性（Path-Connectedness）——即任意两点之间存在一条连续曲线连接。连通性是重要的拓扑不变量。 紧致性（Compactness）： 紧致性是拓扑空间中一个非常强大且重要的性质，它源自有限性概念的推广。在度量空间中，它等价于“闭合且有界”，但在一般拓扑空间中，它被定义为“任意开覆盖存在有限子覆盖”。紧致性在分析学中有着至关重要的地位（例如，紧集上的连续函数可以达到最大值）。 商拓扑（Quotient Topology）： 这是构造新拓扑空间的一种标准且强大的方法。通过将一个空间 $X$ 上的等价关系 $sim$ 作用于 $X$，形成商空间 $X/sim$。本书将详细介绍商拓扑的构造方式（最小的拓扑使其投影映射连续），并通过构建著名的拓扑空间，如圆环（Torus，将正方形的对边粘合）和射影平面（Projective Plane），来展示其威力。 第五部分：初步介绍同伦与基本群 在本书的最后部分，我们将触及代数拓扑的门槛。 同伦（Homotopy）与基本群（Fundamental Group）： 虽然我们主要关注点集的拓扑，但理解空间“洞”的数量是拓扑学的关键挑战之一。我们将引入路径、路径的同伦概念，并定义基本群 $pi_1(X, x_0)$。这个代数结构（群）是衡量空间中“环路”结构的强大拓扑不变量。我们将通过计算圆周 $S^1$ 的基本群 $mathbb{Z}$ 来展示代数工具如何揭示空间深层次的几何结构。 全书力求通过大量的图示和具体的、可操作的例子，将抽象的拓扑概念与读者的几何直觉紧密结合，为后续深入学习微分几何、代数拓扑或几何分析打下坚实的基础。

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读完这本《黎曼几何》，我最大的感受是，它为我打开了一扇通往宇宙深层规律的窗户。它不仅仅是一本数学书，更像是一部哲思录，探讨了空间、距离和连接的本质。书中对测地线方程的推导，那种内蕴的、不依赖于嵌入空间的性质，彻底改变了我对“最短路径”的理解。作者在处理一些复杂的例子时，例如球面上大圆的性质，展现出一种对数学美学的极致追求。整个逻辑链条紧密无缝，每一个定理的证明都显得水到渠成，充满了数学的必然性。这本书的语言风格非常凝练，没有多余的寒暄，每一个句子都承载着重要的信息，这要求读者必须全神贯注，稍有走神便可能错失关键的逻辑飞跃。对于那些严肃的数学研究者来说，这本书无疑是案头常备的参考书，它所蕴含的深度和广度，值得反复品味。

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我花了很长时间才适应这本书的节奏，坦白说，它不是一本可以轻松“读完”的书，更像是一个需要长期浸泡和反复琢磨的工具。这本书最让我印象深刻的是它对测地线概念的细致描绘和拓扑结构的融合。作者并没有满足于简单的二维曲面，而是迅速将读者带入了流形（Manifolds）的世界，用极其巧妙的方式处理了切空间和黎曼度量之间的关系。我特别喜欢其中关于曲率张量的介绍部分，那种从局部坐标系到整体几何特性的完美过渡，让人不禁拍案叫绝。它不像有些入门书籍那样为了让初学者好接受而牺牲深度，相反，它坚定地站在了现代数学的前沿，用最精确的语言勾勒出几何实在的面貌。阅读过程中，我经常需要停下来，对照着习题重新推导一些关键的定理，尤其是关于爱因斯坦场方程的几何前驱条件那块，那种拨云见雾的顿悟感是其他任何书籍都无法比拟的。这本书的价值在于，它不仅告诉你“是什么”，更深刻地解释了“为什么必须是这样”。

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这本书的排版和图示设计，可以说达到了教科书的顶尖水平。虽然内容本身是极度抽象的，但作者和编者显然深知几何思维的培养离不开直观辅助。大量的示意图，尤其是那些关于曲面弯曲和法曲率的剖面图，都处理得非常到位，它们有效地弥补了纯代数描述的不足，让大脑能够快速建立起三维想象。此外，书中对经典微分几何到现代黎曼几何的过渡处理得极其流畅自然，它没有生硬地跳跃，而是循序渐进地将高斯绝妙的“第二基本形式”思想泛化到任意维度的流形上。对于自学者而言，这本书的难度曲线设计得相对合理，虽然开头需要克服一些概念上的障碍，但一旦跨越，接下来的推进感会变得非常强劲。它迫使你不仅要会计算，更要理解计算背后的几何意义，这才是真正掌握一门学科的关键所在。

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这本《黎曼几何》绝对是数学领域的重磅之作，它以一种极其严谨和深入的方式，剖析了微分几何中最核心、最精妙的部分。初读之下，感觉就像是进入了一座由纯粹的逻辑和优雅的结构构筑而成的迷宫，每一章都在引导读者挑战已有的直觉，去理解高维空间中曲线和曲面的本质。作者的叙述风格是那种教科书式的典范，精准到每一个符号的引入都有其深刻的数学动机。特别是对张量分析的讲解，不再是冷冰冰的公式堆砌，而是将其置于广义坐标变换的背景下，使得那些抽象的运算变得有血有肉，充满了几何直觉的力量。读这本书的过程，与其说是学习知识，不如说是在进行一场智力上的攀登，需要极大的专注力和对基础拓扑、线性代数的扎实掌握。但一旦翻越了那些初始的障碍，你会发现自己站在了一个全新的制高点上，能够以一种全新的、更加深刻的视角去审视整个欧几里得空间，乃至更广阔的几何世界。它对于那些渴望真正掌握现代微分几何，并希望将此应用于理论物理或其他交叉学科的读者来说，是不可或缺的宝藏。

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与其他一些强调计算的几何书籍相比，《黎曼几何》在理论框架的构建上显示出了罕见的宏大气魄。它非常清晰地界定了黎曼流形的内蕴几何概念体系，即那些不依赖于外部嵌入空间的几何量。我尤其欣赏它对“平行移动”概念的引入和深入探讨，这直接关联到联络（Connection）的定义，是理解黎曼曲率和运输理论的基础。书中对某些经典概念的重新诠释，比如将曲率视为描述流形局部偏离平坦程度的代数对象，让那些原本晦涩的几何描述变得可操作、可量化。虽然阅读门槛较高，但一旦你能够跟上作者的思路，你会发现自己正在以一种全新的、高度结构化的方式去思考空间本身。这本书成功地在严格性、深度和对几何直觉的培养之间找到了一个近乎完美的平衡点，是该领域内一部里程碑式的著作，对于希望从事理论物理前沿研究的读者来说，其重要性不言而喻。

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只看了前六章的部分

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只看了前六章的部分

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初读建议先看附录熟悉下李导数的运算。

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工具书。内容很全。手把手教你计算，对初学者很重要。

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这本书观点新，讲的全，只得力荐！