数学分析（第二册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:北京大学出版社

作者:伍胜健

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:2010-2

价格:18.00元

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isbn号码:9787301158760

丛书系列:北京大学数学教学系列丛书

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深入浅出：解析高等代数与抽象代数的核心概念 本书内容涵盖： 第一部分：线性代数基础与应用 第二部分：群论的结构与应用 第三部分：环与域的深入探讨 第四部分：线性变换与向量空间的更高级视角 --- 第一部分：线性代数基础与应用 本书的开篇着重于为读者构建一个坚实、直观的线性代数基础，这部分内容是后续所有抽象代数学习的基石。我们摒弃了仅停留在计算层面的传统叙述方式，而是深入挖掘向量空间、线性映射背后的几何直觉和代数本质。 1.1 向量空间的公理化定义与实例： 我们首先详细阐述向量空间的八条基本公理，并辅以丰富的实例，从 $mathbb{R}^n$ 这样的标准空间到由函数构成的函数空间 $C[a, b]$，甚至是多项式空间 $P_n(x)$。重点讲解了子空间的概念，包括零空间、列空间和行空间，并展示如何利用基和维数来刻画向量空间的“大小”。 1.2 线性映射、矩阵表示与同构： 线性映射作为向量空间之间的结构保持映射，是本章的核心。我们细致地分析了线性映射的核（Kernel）和像（Image），并严格证明了秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）。随后，本书将重点讨论如何通过选择不同的基，在不同矩阵表示之间进行转换，从而理解矩阵的本质是线性变换在特定基下的“快照”。我们还引入了向量空间同构的概念，说明具有相同维数的向量空间在代数结构上是等价的。 1.3 行列式理论的重构： 传统的行列式计算往往依赖于反复的代数展开。本书采用更具结构性的视角，通过多线性形式和置换群的性质来定义行列式，确保读者理解行列式的几何意义（有向体积的缩放因子）。详细讨论了行列式的乘法性质、伴随矩阵以及如何利用行列式来判断线性映射的可逆性。 1.4 行化简、初等变换与矩阵分解： 本节深入探讨了高斯消元法在求解线性方程组中的作用。我们将初等行变换视为一系列特殊的线性映射作用。随后，本书重点介绍了重要的矩阵分解形式：LU分解、Cholesky分解（针对对称正定矩阵）和QR分解，这些分解是数值稳定算法和最小二乘问题的基础。 1.5 特征值、特征向量与相似性： 特征值理论是分析线性系统动态行为的关键。我们清晰区分了代数重数和几何重数，并深入讨论了相似矩阵的概念，理解相似变换如何改变矩阵的表示但不改变其内在的线性变换性质。本节的高潮是对对角化条件的严格讨论，并为后续章节中更抽象的相似性讨论埋下伏笔。 --- 第二部分：群论的结构与应用 本部分是抽象代数的核心，它研究集合上的单目代数结构——群。重点在于理解群的对称性、子群的结构以及群作用的几何含义。 2.1 群的严格定义与基础性质： 从半群到独异点，再到群的完备定义，我们循序渐进。详细分析了群的单位元、逆元的唯一性，以及子群的判定法则。重点考察了循环群的性质，证明了任何循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。 2.2 阶、陪集与拉格朗日定理： 拉格朗日定理是有限群论的基石。我们通过对陪集（左陪集与右陪集）的构造，严格证明了子群的阶必须整除群的阶。这引出了元素阶的性质，以及群的柯西定理（Cauchy's Theorem）的初步讨论。 2.3 正规子群、商群与同态定理： 为了构建更复杂的代数结构，正规子群的概念至关重要。我们详细阐述了正规子群的等价判别条件（如左陪集等于右陪集）。在此基础上，引入了商群（Factor Group）的构造，理解商群是如何通过“模去”一个正规子群来实现结构上的降维。最后，本书严格论证了第一、第二和第三同态定理，这是连接不同代数对象之间关系的桥梁。 2.4 群的同构与分类： 本节深入研究了群之间的同构映射，理解何时两个群在结构上是“相同”的。对于阶小于等于十的群，本书提供了详尽的分类和结构分析，例如对二面体群 $D_n$ 和对称群 $S_n$ 的结构深入剖析。 2.5 群作用与波尔赛定理： 理解一个群如何“作用”在一个集合上是理解其应用的关键。我们引入群作用的定义，并研究了轨道（Orbit）和稳定子（Stabilizer）的概念。波尔赛定理（Burnside's Lemma）被详细推导，并应用于实际计数问题，如计算不同颜色珠子的排列数，展示了群论在组合学中的强大威力。 --- 第三部分：环与域的深入探讨 在群论的基础上，本书扩展到具有两种运算的代数结构——环，并最终聚焦于满足除法运算的特殊环：域。 3.1 环的定义与基本性质： 我们定义了环的结构（满足加法群性质和乘法结合律，并满足分配律）。重点区分了交换环、单位环以及整环（Integral Domain）。常见的例子如整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $R[x]$ 和矩阵环 $M_n(R)$ 得到了细致的分析。 3.2 子环、理想与商环： 理想（Ideal）是环理论中对应于群论中正规子群的结构。我们详细区分了主理想、极大理想和素理想。通过商环的构造，读者将理解如何将复杂的环结构“简化”到更基础的结构上。 3.3 整环、域与特征： 整环的特殊性质在于其乘法中没有非零零因子。当一个整环满足除法运算时，它就成为一个域（Field）。本书重点讨论了有限域（伽罗瓦域 $mathbb{F}_q$）的存在性及其唯一性。同时，我们对环的特征（Characteristic）进行了严谨的定义和分类。 3.4 主理想域、欧几里得整环与唯一因子化整环： 这三者构成了整环中“良好”结构的层次： 欧几里得整环 (ED)：具备“除法算法”的环，例如 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$。 唯一因子化整环 (UFD)：可以唯一地分解为不可约元素的乘积，如 $mathbb{Z}$。 我们严格证明了 $ ext{ED} implies ext{PID} implies ext{UFD}$ 的链条，并找到了反例来区分这些概念（例如，在 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ 中，2 和 $1+sqrt{-5}$ 构成了非唯一分解）。 --- 第四部分：线性变换与向量空间的更高级视角（深入线性代数） 本部分将线性代数提升到更抽象和系统的层面，为深入研究张量分析和泛函分析打下基础。 4.1 模与自由模： 将向量空间的概念推广到任意环上的模（Module），这是抽象代数和线性代数之间的关键过渡。我们探讨了自由模的概念，并强调了在非域系数下，模的理论复杂性（例如，秩的概念不再像向量空间那样清晰）。 4.2 行列式的深化：双对偶与张量积： 我们从线性映射的双对偶空间 $left(V^{ } ight)$ 的角度重新审视向量空间，证明其同构于原空间 $V$。随后，本书详细介绍了张量积（Tensor Product）的概念 $V otimes W$，阐述了它是如何构建一个包含所有双线性形式的“自由”空间，这是理解多线性代数和物理学中张量分析的必备工具。 4.3 最小多项式、有理标准型与若尔当标准型： 在线性变换的分析中，矩阵的最小多项式比特征多项式能提供更精确的结构信息。我们利用最小多项式来严格判定矩阵是否可对角化。最终，本书详细导出了若尔当标准型（Jordan Canonical Form），这提供了一个在域上对于任何线性算子（矩阵）而言，最简化的、唯一的相似性代表形式。这是理解矩阵结构，特别是在特征值重合时，最完备的工具。 4.4 内积空间与谱理论的初步： 虽然本书不深入泛函分析，但我们引入了内积空间（或称为欧几里得空间/酉空间）的概念，定义了内积、范数和正交性。在此基础上，我们分析了自伴随算子（Self-Adjoint Operators）的性质，并初步触及了谱理论，解释了为什么实对称矩阵总是可以正交对角化，这为傅里叶分析等应用奠定了结构基础。 --- 本书旨在为数学、物理和工程领域的高年级学生和研究人员提供一个全面、严谨且富有洞察力的代数知识体系。通过对计算技巧的超越，本书将引导读者真正掌握高等代数和抽象代数中深刻而优美的结构。

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这本书给我的整体感受是“厚重”和“权威”，但同时也是一种“高冷”。它几乎是教科书范本，每一个定理都有清晰的上下文和严格的证明链条，是图书馆里那排架子上最让人感到踏实的参考书之一。我最欣赏它在实数系构造那一章的处理方式，通过极限点、聚点、有界性等基本性质，逐步逼近完备性的概念，这比许多只给出定义然后快速跳过证明的教材要高明得多。然而，正因为其极端的严谨性，这本书在教学实践中可能会遇到一些困难。对于那些数学基础不够扎实，或者对抽象概念接受速度较慢的同学来说，直接啃这本书可能会产生巨大的挫败感。它更像是一位经验丰富的导师，在你已经掌握了基本概念之后，引领你进入更高深的殿堂，而不是一个耐心的启蒙老师。所以，我建议任何想使用它的人，务必先确保自己对微积分和初等实分析有足够的掌握，否则，这本书的深度可能会让你望而却步。

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我记得当初拿到这本《数学分析（第二册）》时，第一印象是它那略显陈旧的排版，但这很快就被内容所吸引。这本书的叙事风格非常“老派”，充满了古典分析的严谨和对细节的偏执。它不像现在很多新教材那样，上来就用现代的拓扑语言包装一切，而是循着历史发展的脉络，一步步构建起多变量函数、隐函数定理以及曲面积分等内容。这种叙述方式的好处是，它能让你清晰地看到数学家们是如何一步步解决实际问题的，特别是对向量场和微分形式的讨论，作者的处理方式非常直观且富有几何美感。我特别欣赏它在处理斯托克斯公式和高斯公式时所花费的笔墨，不是简单的罗列，而是通过大量的例子和图示（尽管是文字描述的图示），将抽象的积分定理与物理世界中的流体运动、电磁场联系起来，让人在学习理论的同时，也能感受到数学的实用魅力。唯一的缺点可能是，对于初学者来说，它的起点设置得稍微高了一些，很多概念需要结合其他基础读物辅助理解，但一旦攻克，其深度和广度是其他教材难以企及的。

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说实话，我买这本书的初衷是为了准备一个关于傅里叶分析的研讨会，而《数学分析（第二册）》在这一块的内容简直是宝藏。它对傅里叶级数和傅里叶积分的讨论，远远超出了初级微积分课程的范畴。作者没有满足于点态收敛的讨论，而是深入到了 $L^2$ 空间上的收敛性，并且详细阐述了帕塞瓦尔恒等式的意义和应用。这种从代数到分析的跨越，让我对傅里叶分析的本质有了全新的认识——它本质上是一种基于内积空间的函数正交分解。更令我惊喜的是，书中对“一致收敛”和“逐项求导/积分”的边界条件的探讨，非常细致入微，避免了许多学生在实际操作中容易陷入的误区。我花了整整一周时间，对照书中的证明，自己手推了一遍，那种豁然开朗的感觉，只有真正钻研过的人才能体会。这本书的价值就在于，它敢于在“分析”的范畴内，把这些边界条件处理得滴水不漏，展现了分析学的严谨性。

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这本《数学分析（第二册）》的出版，对于我们这些沉浸在高等数学世界里的人来说，无疑是一剂强心针。我花了相当长的时间来研读这本厚厚的书，最大的感受就是它的逻辑性极强，简直像是在攀登一座由严密定义和定理构筑起来的知识高山。作者在处理极限、连续性这些核心概念时，那种层层递进、不留一丝模糊的处理方式，让人在初读时感到有些吃力，但一旦跨过那道理解的门槛，便会发现一切都水到渠成了。尤其是在讨论积分理论的部分，从黎曼积分的构造到勒贝格积分的引入，作者并没有简单地堆砌公式，而是深入剖析了每一步推导背后的几何或分析直觉，这对于建立扎实的数学直感至关重要。书中的习题设计也颇为巧妙，它们不仅仅是计算的演练，更像是对理论的二次验证和深化，很多题目需要你跳出常规的思维定势，去构造反例或者设计特定的函数序列，这极大地锻炼了我的抽象思维能力。总的来说，如果你想真正理解现代数学分析的精髓，而不是仅仅停留在会做题的层面，这本书绝对是不可或缺的参考。它要求你付出汗水，但回报绝对是丰厚的知识体系的构建。

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对于我这种偏爱几何直觉的读者来说，这本书在处理曲面和流形边缘部分的描述略显不足，风格上过于偏重于纯粹的代数推导。虽然在讨论多重积分的变量替换和雅可比行列式时，作者试图引入几何概念，但总感觉是点到为止，未能完全激发读者的空间想象力。比如，当涉及到定向曲面积分时，书中的例子大多是二维平面上的简单闭合曲线，缺乏对三维空间中复杂拓扑结构的处理。或许作者的出发点是保持分析的纯粹性，避免过度依赖几何直觉导致逻辑漏洞，但对于希望将数学工具应用到物理或工程领域的学习者而言，这多少会让人感到意犹未尽。我个人希望能够在引入这些概念时，能有更多的“可视化”的辅助说明，或者至少提供更具挑战性的、需要结合空间几何思维来解决的习题。总而言之，它是一部优秀的理论教材，但在连接纯分析与应用几何方面，留下了提升的空间。

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是个好教材

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有许多符号是旧时的用法，看书时很别扭。

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定积分的应用是什么鬼，微元法都出来了。一堆狗屁习题。这真的是数学书吗？

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好歹学完！

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