俄羅斯平麵幾何問題集 pdf epub mobi txt 電子書 下載 在線閱讀 2026

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出版者:大連理工大學齣版社

作者:波拉索洛夫

出品人:

頁數:772

译者:周春荔

出版時間:2009-8

價格:88.00元

裝幀:

isbn號碼:9787560329222

叢書系列:

圖書標籤:

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現代代數與群論基礎：結構、變換與對稱性 本書特色： 本書旨在為讀者提供一個深入且嚴謹的現代代數核心概念——群論的全麵介紹。我們著重於構建清晰的理論框架，並輔以大量精心挑選的例證和習題，幫助讀者從直觀理解過渡到形式化證明的能力培養。全書內容組織遵循邏輯遞進的原則，從最基礎的代數結構齣發，逐步引入群、子群、陪集、正規子群、商群，直至同態與同構，並對環與域的基礎概念進行簡要探討，為後續更高級的代數研究奠定堅實基礎。 第一部分：代數結構與基本概念的奠基 本書伊始，我們將探討構成所有代數結構的基礎——集閤與運算。在第一章：集閤論基礎與二元運算中，我們首先迴顧必要的集閤論知識，特彆是笛卡爾積、函數與關係。隨後，重點分析二元運算的性質，如封閉性、結閤律、交換律以及單位元和逆元的存在性。通過考察整數集 $mathbb{Z}$、有理數集 $mathbb{Q}$、實數集 $mathbb{R}$ 在加法和乘法下的錶現，讀者將初步建立對“代數結構”這一抽象概念的直觀認識。 第二章：群的定義與初步性質 標誌著本書核心內容的開啓。我們正式引入群的四個公理（封閉性、結閤律、單位元、逆元），並立即探討這些公理所蘊含的必然結論，例如單位元和逆元的唯一性、左右消去律的成立等。本章詳細分析瞭多個重要的群實例，包括： 1. 整數加法群 $(mathbb{Z}, +)$： 最基礎的無限阿貝爾群。 2. 非零有理數集在乘法下的群 $(mathbb{Q}^, imes)$： 對比加法群，理解乘法運算的特性。 3. 矩陣群： 特彆關注可逆矩陣群 $GL(n, F)$，引入矩陣乘法的非交換性，從而引齣非阿貝爾群的概念。 4. 模運算群： 有限群的初探，如 $mathbb{Z}_n$ 及其加法群結構。 第二部分：子群、陪集與群的階 在理解瞭群的基本定義後，我們轉嚮研究群的內部結構。第三章：子群 專注於集閤如何繼承其父群的群結構。我們詳細闡述瞭子群判彆法的應用，並探討瞭子群在特定運算下的封閉性。同時，本書特彆引入瞭平凡子群與非平凡子群的概念，並用實例說明子群的嵌套關係。 第四章：循環群與生成元 將視角集中於由單個元素生成的群。我們深入分析瞭循環群的結構：任何循環群都是阿貝爾群，並且其結構完全由生成元的階決定。本章的核心在於理解“階”的概念，包括元素 $a$ 的階 $|a|$ 的定義，以及 $a^k = e$ 的充要條件。通過考察矩陣的冪運算，讀者可以清晰地看到有限階元素與無限階元素在循環群中的錶現差異。 第五章：陪集與拉格朗日定理 是群論中最具影響力的定理之一。在講解陪集（左陪集與右陪集）時，我們強調瞭陪集劃分群的非交性與完全性。隨後，我們嚴謹地證明瞭拉格朗日定理：有限群的任一群的階必須整除該群的階。本書通過大量的具體例子，展示瞭拉格朗日定理在判斷群結構和元素階數方麵的強大約束力。我們還會引入柯西定理的初步結論。 第三部分：群的同態、同構與正規結構 第六章：正規子群與商群 引入瞭區分群結構的關鍵概念——正規子群。我們探討瞭正規子群的等價定義（如 $gHg^{-1} = H$），並說明瞭隻有正規子群纔能用於構造商集上的良定義運算。商群（或因子群）的構造是群論中的一次抽象飛躍，本書詳細展示瞭如何利用正規子群 $N$ 構造 $G/N$，並分析瞭商群的代數結構。例如，如果 $G$ 是阿貝爾群，那麼任何子群都是正規子群，且 $G/N$ 依然是阿貝爾群。 第七章：群同態與群同構 將抽象代數建立在結構保持的聯係上。同態的定義強調瞭運算的保持性。我們深入討論瞭同態的性質，例如核（Kernel）和像（Image）的性質，其中核是群 $G$ 的一個正規子群。同構則被定義為可逆的同態，它意味著兩個群在代數結構上是完全等價的。本章通過大量的實例（如矩陣的行列式函數作為群同態），幫助讀者區分“結構相似”與“結構等價”。 第八章：同構定理 是群論的巔峰成果之一。我們將重點闡述第一同構定理（或稱基本同構定理），即 $G/ ext{ker}(phi) cong ext{Im}(phi)$，它為理解商群與同態像之間的內在聯係提供瞭強大的工具。本書將該定理置於核心地位，並輔以對其他同構定理（第二、三同構定理）的簡要介紹，以展示其在簡化復雜群結構分析中的應用。 第四部分：初步拓展 第九章：環與域的基礎 簡要地將讀者的視野從群擴展到更豐富的代數結構——環。我們介紹瞭環的定義（具有兩個運算的代數結構），並著重分析瞭滿足交換律、單位元和零因子的環的特性。域作為特殊類型的環（所有非零元素在乘法下構成群），被引入作為解方程的基礎環境。通過對比整數環 $mathbb{Z}$、有理數域 $mathbb{Q}$ 和有限域 $mathbb{Z}_p$，讀者能夠預見到代數結構在解析不同數學對象時的普適性。 全書結構總結： 本書結構設計確保讀者在不被復雜的拓撲學或高級分析概念分心的情況下，完全掌握群論的核心骨架。每一章都包含大量的計算題和證明題，旨在培養讀者嚴謹的數學思維和形式化錶達能力。學習完本書，讀者將能夠熟練運用群論的工具分析對稱性問題，並為進階學習環論、域論及錶示論做好充分準備。

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這本書的排版和裝幀質量，說實話，比我預期的要好上不少。雖然內容是純粹的數學推導，但閱讀體驗同樣重要。紙張的質感非常舒服，拿在手裏有一定的分量感，不是那種輕飄飄的劣質印刷品。更關鍵的是，那些數學符號和圖形的印刷清晰度極高，這一點對於幾何學習者至關重要。你知道，在處理那些涉及細微角度或復雜交點的問題時，如果圖畫模糊不清，那就太令人抓狂瞭。這本書在這方麵做得非常到位，無論是垂直綫、平行綫，還是那些弧綫和切綫，都描繪得精準無比。這種對細節的尊重，也間接體現瞭作者對數學嚴謹性的追求。我甚至願意花時間，對照書中的圖示，在草稿紙上重新繪製一遍關鍵的步驟，因為那種實體書的觸感和清晰的視覺反饋，是電子閱讀器無法替代的沉浸式體驗。它讓你感覺自己是在和“真理”進行對話，而不是在屏幕上滑動信息流。

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我是一個業餘的幾何愛好者，平時主要通過網絡論壇和一些零散的電子資料來學習。坦白地說，網上的資源大多是零散且缺乏體係的，很多時候你隻能看到解法，卻不知道這個解法背後的思想根源是什麼。這本書最讓我稱道的一點，就是它的“係統性”。它似乎按照某種內在的邏輯鏈條，將不同類型的平麵幾何問題進行瞭精心的編排。從基礎的三角形、圓的性質，逐步過渡到更復雜的共軛、反演等高級技巧。這種由淺入深的組織方式，極大地降低瞭學習的門檻，同時也保證瞭學習的深度。我發現，當我遇到一個看似全新的問題時，這本書中已經介紹過的某個基本引理或技巧，總能以一種意想不到的方式派上用場。這說明編者在內容的選取和編排上，是經過深思熟慮的，他們不是簡單地堆砌題目，而是在構建一個完整的知識網絡。對於想要係統性梳理自己幾何知識體係的人來說，這本書簡直是不可多得的寶藏。

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我一直認為，好的數學教材，應該具有一種“時間跨度”的價值，即它所教授的知識和思維方式，能夠穿越時代而不衰減。這本書裏的許多問題，雖然可能起源於上個世紀，甚至更早，但它們所蘊含的幾何直覺和邏輯推理能力，在今天的任何高階數學分支中都依然是基石。我最近在研究一些拓撲學的基礎概念時，突然發現，那些看似抽象的映射和形變，其核心的“空間想象力”，正是通過練習這類紮實的平麵幾何問題得以培養起來的。這本書就像是一套武術的“紮馬步”訓練，雖然看起來基礎且枯燥，卻是未來高難度動作得以施展的前提。它強迫你用最純粹的幾何語言去理解世界，去觀察事物之間的內在聯係。讀完它，我感覺我的“幾何直覺”被大大激活瞭，看任何二維圖形時，腦海中都會自動浮現齣各種潛在的輔助綫和變換的可能性。這種底層能力的提升，纔是這本書帶給我最寶貴的財富。

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說實話，我購買這本書的初衷，更多的是想尋找一種“心流”體驗。現代生活節奏太快，我們的大腦總是被各種碎片化的信息轟炸，很難沉靜下來進行一次深入的、綫性的思考。這本書的齣現，就像是一股清流，強迫你去放慢腳步。它裏麵的每一道題，都不是那種一眼就能看齣解法的“送分題”，它們更像是精妙的迷宮，需要你耐心地、一步步地去探索路徑。我嘗試著做完瞭前幾章的習題，過程可謂是跌宕起伏。有那麼幾次，我被睏在一個死鬍同裏，煩躁得差點想扔下筆，但每當靈光一閃，找到那個關鍵的輔助綫或鏇轉變換的時候，那種豁然開朗的愉悅感，是任何電子遊戲都無法比擬的。它訓練的不僅僅是你的數學能力，更是你的耐心和對“細節”的敏感度。這本書的價值，不在於你最終能解齣多少道題，而在於你在這個解題的過程中，你的思維是如何被重塑和強化的。我感覺我的專注力，在不知不覺中得到瞭極大的提升。

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這本書的封麵設計倒是挺簡潔，那種冷峻的、帶著點前蘇聯時期風格的字體，一下子就抓住瞭我的眼球。我其實對數學，特彆是幾何學，一直抱有一種既敬畏又好奇的復雜情感。拿到這本書的時候，我其實是有點忐忑的，生怕裏麵的內容過於晦澀，最終隻能束之高閣。然而，翻開目錄，我發現它似乎並沒有把我直接推嚮那些高深的定理證明，而是用一種非常務實的態度，把一些經典的、甚至是有些“老掉牙”的平麵幾何問題攤在瞭我的麵前。這讓我感到一種親切感，就像是遇到瞭一位經驗豐富的老教師，他沒有急著展示他高深的學問，而是先從最基礎、最核心的那些概念入手，讓你把地基打牢。我尤其欣賞它在引入新概念時所采用的圖示方式，那些綫條的交錯、角度的標記，都清晰得讓人過目不忘。它似乎在低語：幾何的本質，在於視覺的把握和邏輯的推演，而非單純的符號堆砌。我期待著接下來的解題過程，希望它能帶我重溫那些被遺忘在記憶角落的幾何美感。

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