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出版者:上海教育出版社

作者:南山

出品人:

页数:322 页

译者:

出版时间:1996年1月1日

价格:9.5

装帧:平装

isbn号码:9787532039432

丛书系列:初等数学小丛书

图书标签:

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柯西不等式与排序不等式：数学之美的探索与应用 在数学的浩瀚星空中，有两颗璀璨的明星，它们以简洁优美的形式揭示了数字之间深刻而普遍的联系——它们便是柯西不等式与排序不等式。这两者不仅是数学竞赛中的常客，更是理解和解决众多数学问题的重要工具。本书《柯西不等式与排序不等式》正是为了带领读者深入探索这两大经典不等式的奥秘，领略它们在代数、几何、数论乃至更广阔数学领域中的优雅应用而精心编撰。 内容概览 本书共分为三个主要部分，层层递进，力求为读者构建一个全面而深入的理解框架。 第一部分：柯西不等式——普遍联系的基石 本部分将从柯西不等式的基本形式入手，逐步揭示其深刻内涵。我们将首先介绍最常见的形式，即对于任意实数 $a_1, a_2, dots, a_n$ 和 $b_1, b_2, dots, b_n$，有： $(sum_{i=1}^n a_i b_i)^2 le (sum_{i=1}^n a_i^2) (sum_{i=1}^n b_i^2)$ 并详细讲解其证明过程。我们将探讨其几何意义，将其视为向量点积的平方与向量模长乘积之间的关系。随后，我们将引入柯西不等式的多种变形，例如在复数域中的应用，以及与三角函数、指数函数等特殊函数的结合。 除了基本形式，本部分还将深入探讨柯西不等式的几个重要变种和推广： 积分形式的柯西-施瓦茨不等式： 这是一个在分析学中极为重要的不等式，它将离散形式的柯西不等式推广到了连续函数的情形。我们将详细介绍其形式： $(int_a^b f(x)g(x) dx)^2 le (int_a^b f(x)^2 dx) (int_a^b g(x)^2 dx)$ 并探讨其在概率论、统计学和偏微分方程等领域的应用。 拉格朗日恒等式与柯西不等式： 我们将展示拉格朗日恒等式如何优雅地导出柯西不等式，以及这其中的数学逻辑。拉格朗日恒等式本身也具有丰富的几何和代数意义。 利用柯西不等式证明其他不等式： 本部分的核心亮点之一在于展示柯西不等式作为“工具”的强大威力。我们将精选一系列经典的数学问题，通过巧妙运用柯西不等式，简洁而有效地得到证明。这些例子将涵盖代数不等式、几何不等式，甚至是一些看似与柯西不等式无关的问题，从而拓宽读者的解题思路。例如，我们将展示如何用柯西不等式证明均方根-算术平均值不等式（RMS-AM不等式），以及如何通过变量替换和代数变形，将复杂的问题转化为柯西不等式的适用范畴。 柯西不等式的等号成立条件： 深入理解不等式的等号成立条件对于掌握不等式的精髓至关重要。我们将详细分析在何种条件下，柯西不等式可以取等号，并以此来寻找最值问题或证明某些特定关系。 第二部分：排序不等式——数值结构的秩序之美 排序不等式是另一类深刻揭示数字排列组合之间关系的数学工具。本部分将从排序不等式的基本形式出发，带领读者领略其独特的魅力。我们将介绍排序不等式的主要内容： 设 $x_1 le x_2 le dots le x_n$ 和 $y_1 le y_2 le dots le y_n$ 是两组实数。则对于任意 $ sigma $ permutation of $ {1, 2, dots, n} $, we have: $ sum_{i=1}^n x_i y_{n-i+1} le sum_{i=1}^n x_i y_{sigma(i)} le sum_{i=1}^n x_i y_i $ 我们将详细阐述这个不等式的意义：当两组数列按照相同的顺序相乘（或按照一个升序，一个降序相乘）时，它们的乘积之和会达到最大（或最小）。反之，当它们按照不同的顺序排列相乘时，乘积之和则介于最大值和最小值之间。 本部分的内容将围绕排序不等式的证明、性质和应用展开： 排序不等式的证明方法： 我们将介绍多种证明排序不等式的方法，包括经典的“相邻对换法”以及利用数学归纳法等。每种方法都将进行细致的讲解，帮助读者理解其内在逻辑。 排序不等式的变体与推广： 除了基本形式，我们还将探讨排序不等式的一些变体，例如涉及更复杂的函数组合，或者在特定集合上的应用。 排序不等式在求最值问题中的应用： 排序不等式在求解与数列排序相关的最值问题时表现出极高的效率。我们将通过大量的例题，展示如何利用排序不等式来确定表达式的最大值和最小值，例如求解一些涉及到变量乘积之和的代数表达式。 排序不等式与平均值不等式的联系： 我们将探讨排序不等式与各种平均值不等式（如算术平均值、几何平均值、调和平均值等）之间的联系，揭示它们在揭示数值规律方面的共通之处。 排序不等式的实际应用案例： 除了纯粹的数学理论，排序不等式在一些实际问题中也有着意想不到的应用。本书将举例说明，例如在资源分配、优化调度等领域，排序不等式可以为我们提供决策的数学依据。 第三部分：综合运用与专题探讨 在掌握了柯西不等式和排序不等式各自的精髓之后，本部分将聚焦于它们的综合运用，以及一些更具深度和挑战性的专题探讨。 柯西不等式与排序不等式的结合应用： 许多复杂的问题需要同时运用这两种不等式才能得到完美的解答。本部分将提供一系列精心设计的题目，展示如何巧妙地结合柯西不等式和排序不等式的思想，来解决一些具有代表性的综合性问题。这些问题将涉及代数、几何、数论等多个数学分支，旨在培养读者“融会贯通”的能力。 与微积分和概率统计的交叉： 我们将进一步探讨柯西-施瓦茨不等式在分析学中的重要作用，例如在求解积分方程、逼近函数等方面。同时，也会触及概率统计中一些重要的不等式，并分析其与柯西不等式或排序不等式的潜在联系，例如切比雪夫不等式等。 专题深入： 本部分还将选取若干具有深度和广度的数学专题，例如： 关于 $ sum a_i b_i $ 的各种不等式： 深入分析形如 $ sum a_i b_i $ 的表达式在不同条件下可以得到的各种不等式，并考察其性质。 特殊函数下的排序不等式： 探讨在一些特殊函数（如幂函数、指数函数）下，排序不等式是否成立，以及成立的条件。 几何不等式中的应用： 将柯西不等式和排序不等式的思想迁移到几何领域，证明一些著名的几何不等式，例如与三角形、多边形相关的面积、周长、边长等的不等关系。 挑战性习题与解答： 本部分将提供一系列难度适中的挑战性习题，以巩固读者在本书中学习到的知识。每道题都附有详细的解答，并会解析其解题思路和所用到的关键不等式。 本书特色 循序渐进的编排： 从基础概念到深入应用，逻辑清晰，层次分明，适合不同水平的读者。 丰富的例题解析： 大量精心挑选的例题，覆盖了从基础到竞赛级别的各类问题，帮助读者理解和掌握不等式的应用技巧。 严谨的数学论证： 所有证明过程都力求严谨、清晰，并提供多种证明方法，以满足不同读者的理解需求。 拓展性思维培养： 鼓励读者举一反三，通过对例题的深入思考，培养独立解决数学问题的能力。 理论与实践结合： 不仅讲解理论知识，更注重其在数学解题中的实际应用，让读者感受到数学的魅力和力量。 目标读者 本书适合以下读者： 高中生： 准备参加数学竞赛（如全国中学生数学奥林匹克竞赛）的学生，以及对数学有浓厚兴趣，希望拓展数学视野的同学。 大学生： 数学专业本科生，或对高等数学、分析学、数论等领域感兴趣的非数学专业学生。 数学爱好者： 任何对数学不等式和数学证明感兴趣的读者。 中学数学教师： 借鉴本书的教学方法和例题，丰富教学内容。 《柯西不等式与排序不等式》不仅仅是一本学习不等式的教材，更是一次数学思维的启迪之旅。通过对这两大经典不等式的深入探索，我们希望读者能够领略数学的严谨之美、逻辑之美以及应用之美，从而在未来的学习和研究中，拥有更强大、更灵活的数学工具。

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这本书的装帧实在让人眼前一亮，那种厚实的平装感，拿在手里沉甸甸的，感觉非常扎实。封面设计简约而不失专业性，那种沉稳的色彩搭配，透露出内容的高端和严谨。我记得我拿到书的时候，立刻就被那种纸张的质感吸引住了，摸起来很舒服，内页的印刷字迹清晰锐利，即使长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。这对于一本偏重数学理论的书籍来说，是非常重要的细节体验。我特别喜欢它在排版上的用心，图表的布局合理，公式的间距把握得恰到好处，使得复杂的数学结构在视觉上更容易被接受和理解。这样的制作水准，让人觉得作者和出版方对这本书倾注了极大的心血，它不仅仅是一本知识的载体，更像是一件值得收藏的工艺品。虽然我还没来得及深入研究每一个定理的推导，但仅从书籍本身的物理属性来看，就已经极大地提升了我的阅读欲望，让我对接下来要面对的抽象概念充满了期待和敬畏。我敢肯定，对于那些对书籍品质有较高要求的读者而言，这本书的硬件条件绝对是顶级的享受。

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我发现这本书的适用范围比我最初想象的要宽泛得多。起初我以为它主要面向纯粹的数学研究人员或者高年级本科生，但深入阅读后，我惊喜地发现，对于那些在工程、经济学或者计算机科学等应用领域中需要处理优化问题、性能评估的专业人士来说，这本书也提供了极其宝贵的理论基础和工具箱。书后附带的那些应用案例，虽然看起来都是高度抽象的数学模型，但它们背后所映射的实际问题（比如资源分配的最优解，或者信息传输的理论极限）都非常贴近现实挑战。这本书记载的不仅仅是纯粹的数学技巧，更是一种解决问题的思维模式。它教导的不是如何套用公式，而是如何用不等式这一强大的分析工具来精确地界定问题的边界和性能的上限或下限。对于希望提升自己分析工具箱深度的技术人员来说，这是一份极具价值的投资。

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这本书的章节安排和逻辑递进简直是教科书级别的典范。我发现它采用了螺旋式上升的结构，每一个章节在介绍完基础概念后，都会立即扩展到更深层次的应用和变体，而不是简单地堆砌知识点。举个例子，当讲到某个基础不等式的证明技巧时，作者会立刻展示这个技巧如何被巧妙地应用到另一个看似毫不相关的数学问题中去，这种即时反馈机制极大地增强了我的学习效率。我不需要翻阅很多其他参考资料来寻找“为什么我要学这个”的答案，因为这本书本身就已经把“现在学它有什么用”和“它能解决什么问题”清晰地展示出来了。而且，书中为每个重要的定理都配上了详尽的、多角度的证明路径，这一点对于真正想吃透理论的读者来说是无价之宝。你不仅知道“是什么”，更能深入理解“为什么是这样”，这种结构上的严谨性，让我在构建自己的数学思维体系时感到无比踏实。

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说实话，我入手这本书是冲着它在某个领域里声誉卓著的作者名号去的，本以为会是一本晦涩难懂的“天书”，没想到开篇的引入部分处理得异常温和且富有启发性。作者似乎非常懂得初学者的心理障碍，并没有一上来就抛出那些令人望而生畏的数学符号，而是通过一些非常生活化、或者说非常直观的例子，来铺垫和引入核心思想。这种叙事手法我非常欣赏，它不像很多教科书那样冷冰冰地陈述事实，反而像是一位经验丰富的导师在循循善诱，引导你一步步走进那个深邃的逻辑世界。我尤其对其中穿插的一些历史背景介绍留下了深刻印象，了解了某个不等式从被提出到被证明的整个曲折过程，这不仅丰富了我的知识面，更重要的是，它赋予了那些冰冷的公式以“生命”和“人性”，让人更能体会到数学家们探索真理的不易与伟大。这种兼具深度与温度的论述方式，是很多专业书籍所缺乏的。

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与其他同类书籍相比，我注意到这本书在细节的处理上展现出一种近乎偏执的严谨性。书中引用的每一条结论或者定理，似乎都有着非常清晰的出处标注，这使得我在查阅和交叉验证信息时变得异常轻松，大大减少了信息迷失的风险。更值得称赞的是，作者在处理那些容易产生歧义的术语和符号时，总是会提前给出非常明确的定义和上下文说明，这在处理跨学科阅读者时显得尤为重要。我发现这本书的“可读性”被提升到了一个新的高度，它不是那种只适合一小撮专家阅读的圈内读物，而是一本努力向更广大学术群体敞开大门的优质教材。它做到了在保持学术前沿性的同时，极大地降低了读者的入门门槛，这需要作者在内容组织和语言表达上进行极为精妙的平衡，而这本书显然在这方面做得非常出色，体现了极高的专业素养和教学诚意。

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