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出版者:北京大學齣版社

作者:丘維聲

出品人:

頁數:389

译者:

出版時間:2015-7

價格:38.00

裝幀:平裝

isbn號碼:9787301259214

叢書系列:21世紀數學規劃教材·數學基礎課係列

圖書標籤:

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好的，這是一份為您準備的圖書簡介，內容聚焦於其他數學領域，完全避開瞭解析幾何的範疇，旨在提供一個詳實且自然的閱讀體驗。 --- 《高等代數基礎與應用：從嚮量空間到特徵值分析》圖書簡介 第一捲：基礎代數結構與抽象思維的構建 本書旨在為讀者構建一個堅實的抽象代數基礎，它不是對傳統微積分或幾何學的重復，而是對數學核心結構——群、環、域——的深入探索與理解。我們緻力於引導讀者跨越算術與初等代數的藩籬，進入一個更加嚴謹和富有洞察力的數學世界。 第一章：群論的初步探索——對稱性的語言 本章從最直觀的對稱性概念入手，例如正多邊形的鏇轉與反射，自然地引齣群的定義。我們詳細闡述瞭群的四條公理，並將其置於更廣闊的數學背景中進行考察。 重點內容包括： 基本概念辨析：單位元、逆元、運算的結閤律。 子群與陪集：如何從一個大結構中分解齣有規律的小結構。拉格朗日定理的嚴密證明及其在計算群階數中的應用。 同態與同構：揭示不同數學對象之間潛在的結構相似性。通過實例分析，如整數加法群 $(mathbb{Z}, +)$ 與模 $n$ 整數加法群 $(mathbb{Z}_n, +)$ 之間的關係。 正規子群與商群：構造新群的藝術。我們詳細講解瞭如何基於正規子群構建商群，這為後續的群作用和Sylow定理打下瞭基礎。 第二章：環與域的代數景觀——運算的拓展 在掌握瞭單目運算（群）之後，我們將引入雙目運算，探索環這一更豐富的結構。環是加法和乘法兩種運算共存的代數係統，是研究多項式和數論的基礎。 環的定義與基本性質：交換環、單位環、整環。通過例子（如矩陣環、多項式環 $F[x]$）來闡明抽象概念的實際載體。 理想與商環：理想在環中的作用類似於正規子群在群中的作用，是生成“模”結構的鑰匙。我們深入探討主理想、素理想與極大理想之間的層級關係。 域的特殊性：域作為特殊的整環，其所有非零元素都存在乘法逆元，這使得域成為進行完整代數運算的理想環境。我們重點分析瞭有限域（伽羅瓦域）的存在性及其在編碼理論中的初步應用。 第二捲：綫性代數的深化——嚮量空間與變換的本質 第二捲將視角轉嚮瞭我們日常數學計算的基石——綫性代數。本書的綫性代數部分，超越瞭單純的矩陣運算，聚焦於嚮量空間這一抽象概念，並深入探討綫性映射在不同基底下的錶現。 第三章：嚮量空間的公理化定義與基底選擇 我們嚴格定義瞭嚮量空間，強調其公理化基礎——標量域、嚮量的加法和數乘運算的性質。 綫性相關性與張成：區分“自由”嚮量與“冗餘”嚮量，引入綫性無關與基底的概念。 維度的概念：證明任何嚮量空間（有限維）的基底都具有相同的元素個數，從而確立瞭“維度”這一內在屬性的客觀性。 子空間投影與直和：在嚮量空間中分解結構，特彆是直和分解，如何幫助我們將復雜問題拆解成更易處理的部分。 第四章：綫性映射與矩陣錶示 綫性映射是連接不同嚮量空間的橋梁，是理解變換的核心工具。 核與像：綫性映射的“信息損失”與“信息保留”的度量。秩-零化度定理的嚴謹推導。 矩陣的本質：強調矩陣是綫性映射在特定基底下的坐標錶示，而非映射本身。討論基底變換如何影響矩陣的錶示，從而引齣相似變換的概念。 特徵值與特徵嚮量的幾何意義：特徵嚮量是綫性變換下方嚮保持不變的特殊嚮量。詳細分析其在動力係統和穩定性分析中的作用。 第三捲：結構分析——對角化、相似性與應用 本捲專注於利用特徵值理論來簡化和理解綫性變換，這是現代數學和工程學的核心技術之一。 第五章：對角化——將復雜變換簡化 對角化是將一個綫性算子轉化為最簡單形式（對角矩陣）的過程，極大地簡化瞭矩陣的冪運算和微分方程的求解。 可對角化的條件：特徵值的代數重數與幾何重數的對應關係。 特徵值分解：如何利用特徵嚮量構成新基底，實現矩陣的相似對角化。 不可對角化的情況：引入若爾當標準型 (Jordan Normal Form) 的必要性。詳細介紹若爾當塊的結構及其在處理重特徵根時的決定性作用。 第六章：內積空間與正交性 在實數域或復數域上引入長度和角度的概念，從而將綫性代數建立在一個更具幾何直觀的框架內。 內積的定義與性質：區彆於一般的雙綫性形式，內積必須是正定的。 施密特正交化過程：從任意一組基底構造一組標準正交基的方法，是傅裏葉分析和最小二乘法的理論基礎。 正交矩陣與對稱矩陣：對稱矩陣具有極好的性質——總能被正交相似對角化。這在物理學和數據分析中至關重要，因為它保證瞭特徵值都是實數。 --- 本書的最終目標是培養讀者用代數和抽象的語言來思考問題，為進一步深入學習拓撲學、代數幾何或高級數學分析打下堅實的基礎。全書配有大量精心設計的習題，旨在鞏固理論理解並激發獨立的數學思考。

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這本書的裝幀設計真是讓我眼前一亮，雖然內容是嚴謹的數學理論，但封麵和內頁的排版卻透著一股現代感。紙張的質感也很好，拿在手裏沉甸甸的，翻閱起來非常舒服，即便是長時間學習，眼睛也不會感到疲勞。看得齣來齣版社在細節上是下瞭不少功夫的。尤其是那些復雜的圖錶和公式，印得非常清晰銳利，即便是最微小的標記也能看得一清二楚，這對於我們理解那些抽象的幾何概念至關重要。我記得有一次我在研究一個三維空間中的麯麵方程時，如果圖示不夠清晰，我可能要花上好幾倍的時間纔能把腦海中的景象構建齣來，但這本書的配圖質量，完全避免瞭這種睏擾。而且，書中對關鍵概念的定義和定理的闡述部分，采用瞭不同的字體加粗或斜體來區分，使得閱讀的層次感一下子就凸顯齣來瞭，這對於自學者來說簡直是福音，能夠迅速抓住重點，高效地吸收知識。總而言之，從物理層麵上來說，這本書的製作水平完全對得起它所承載的知識價值。

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這本書的理論深度和廣度拿捏得恰到好處，明顯是為那些想要深入理解幾何學的人群量身定製的。它並沒有止步於二維和三維歐幾裏得空間的基本討論，而是將話題自然地延伸到瞭更高維度的嚮量空間，以及二次麯綫和二次麯麵的更一般化描述。這種對理論的挖掘深度，使得這本書不僅僅是一本應試工具書，更是一本可以作為工具書長期參考的典籍。我發現，很多其他教材隻是蜻蜓點水般提及一些概念，但在這本書中，作者會花筆墨去探究這些概念的幾何意義，比如，一個矩陣的特徵值在幾何上到底代錶瞭什麼變換，而不是簡單地把它當作一個代數計算的結果。這種對“為什麼”的深入探討，極大地滿足瞭我對數學本質的好奇心。對於那些未來可能需要接觸微分幾何或者更高級數學分支的讀者來說，這本書提供瞭一個堅實而富有洞察力的起點，而不是僅僅停留在高中或大一的初級階段。

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這本書的章節組織邏輯性強到令人稱贊，它沒有一上來就拋齣那些讓人望而生畏的復雜定理，而是采用瞭循序漸進的方式，從最基礎的笛卡爾坐標係和嚮量代數開始，如同搭建地基一樣，穩紮穩打地構建起整個解析幾何的知識體係。每一章的開頭都會有一個清晰的“本章目標”概述，這就像是給讀者提供瞭一份清晰的地圖，讓你知道接下來的旅程將要到達何方。更妙的是，在從一個知識點過渡到下一個知識點時，作者總是會巧妙地用一句過渡性的語言來連接，讓整個學習過程顯得非常自然流暢，絲毫沒有那種生硬的、章節之間強行拼接的感覺。例如，當講到平麵方程時，作者會自然地引申到如何用這些方程來描述空間中的截麵，這種內在的聯係性，極大地幫助我構建瞭一個整體的認知框架，而不是孤立地記憶每一個公式。這種精心設計的學習路徑，讓原本枯燥的數學學習過程，變成瞭一場有引導、有發現的探索之旅。

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我個人認為，這本書在語言風格上的選擇非常獨特且高效。它避開瞭那種過於生硬、充滿術語堆砌的“學術腔”，轉而采用瞭一種清晰、精確又不失人文關懷的敘述方式。作者似乎總能找到最簡潔、最直觀的語言來描述那些原本可能非常晦澀的幾何構造。例如，在描述橢圓的焦點性質時，作者沒有僅僅停留在反射定律的陳述，而是用瞭一種更具畫麵感的比喻來解釋光綫聚焦的現象，這瞬間就讓這個原本靜態的數學定義“活”瞭起來。這種清晰而富於啓發性的錶達，極大地降低瞭初學者麵對新概念時的心理門檻。同時，即便在處理高度抽象的代數推導時，作者也會適當地穿插一些曆史背景或者該理論的實際應用案例，這讓學習過程保持瞭持續的興趣點，讓我明白我們所學的這些符號和方程究竟在現實世界中扮演著怎樣的角色。這種將數學美感與實用性完美結閤的寫作手法，是這本書最讓我欣賞的特質之一。

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這本書在例題和習題的設計上展現齣瞭極高的專業水準。例題的選擇可以說是教科書級彆的範例，它們不僅完美地詮釋瞭剛剛學到的理論知識，而且通常都包含瞭一到兩個“小陷阱”或者需要巧妙轉換思路的地方。我尤其欣賞作者在解答例題時所采用的詳盡步驟展示，很多時候，其他參考書隻是簡單地給齣瞭最終答案或者跳過瞭關鍵的代數運算，但這本教材則會把每一步的推理過程都交代得清清楚楚，甚至連那些看似“不言自明”的代數化簡步驟，作者都進行瞭簡要說明，這對於我這種容易在細節運算中迷失方嚮的學習者來說，簡直是救命稻草。至於配套的習題，難度梯度設置得非常科學，從基礎鞏固型的計算題，到需要綜閤運用多種知識點進行論證的難題，應有盡有。做完這些習題後，我感覺自己對空間想象能力都有瞭顯著的提升，不再是單純的公式套用者，而是真正理解瞭這些幾何關係背後的原理。

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for polyhedral，中國人寫的教材真是一言難盡。

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前三章

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第一章綫性結構和度量結構 我覺得這八個字概括的真妙😂

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清晰明瞭。

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這門課完全沒有開的必要。垃圾解幾，毀我青春。