Mixed Finite Elements, Compatibility Conditions, and Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Boffi, Daniele/ Brezzi, Franco/ Demkowicz, Leszek F./ Duran, Ricardo G./ Falk, Richard S./ Fortin, M

出品人:

页数:244

译者:

出版时间:

价格:523.00元

装帧:

isbn号码:9783540783145

丛书系列:

图书标签:

• Mixed Finite Elements
• Finite Element Methods
• Compatibility Conditions
• Numerical Analysis
• Partial Differential Equations
• Structural Mechanics
• Fluid Mechanics
• Mathematical Modeling
• Computational Mathematics
• Engineering Analysis

离散几何分析与应用：基于新兴数值方法的探索 本书深入探讨了数值分析和计算几何领域的前沿进展，重点关注一类在处理复杂物理现象和几何约束方面表现出卓越性能的离散方法。全书结构严谨，内容涵盖了从基本理论构建到高级算法实现的多个层面，旨在为从事计算科学、工程力学和应用数学的研究人员和高级学生提供一个全面且具有挑战性的学习资源。 本书的核心聚焦于离散微分算子的构造与收敛性分析，特别是那些旨在精确捕获边界层效应和保持关键物理守恒律的方法。不同于传统的有限差分或标准有限元框架，本书引入了一系列基于对偶网格和局部投影的新型离散化技术。 第一部分：离散化基础与几何约束的内化 本书的开篇部分首先回顾了经典网格方法的局限性，特别是在处理非光滑解或涉及复杂拓扑结构（如裂纹扩展、多孔介质流动）时的不足。随后，我们详细介绍了离散梯度算子的构建原则。这不仅仅是简单地在网格点上进行差分近似，而是深入到如何通过定义离散梯度流形来确保算子在离散层面上满足微分方程的内在结构性约束。 我们花费大量篇幅探讨了离散微分形式的构造。这涉及到如何在不依赖于全局连续空间假设的前提下，建立起满足散度定理或格林公式的离散版本。书中提出了一种基于边缘积分和面平均值的混合方法，它巧妙地在网格的节点、边和单元上分配变量，使得局部守恒律能够自然地从离散方程中涌现出来。例如，对于扩散问题，我们展示了如何设计离散拉普拉斯算子，使其在任何局部单元上都能保证能量的非负性，即便是在使用粗糙网格的情况下。 一个重要的主题是几何约束的强制嵌入。在许多应用中（如不可压缩流体、线性弹性体的体积守恒），解必须满足某些零空间约束。本书介绍了一种基于零空间基的投影方法，该方法将约束条件直接编码到离散化基函数的选择中。我们详细推导了如何利用离散的de Rham复形结构来构造满足精确序列（如 $ ext{div} circ mathbf{grad} = Delta$ 的离散对应物）的算子，从而避免了传统罚函数方法中由参数选择带来的数值不稳定性和网格依赖性问题。 第二部分：新兴离散格式的收敛性与稳定性分析 理论的严谨性是本书的基石。在第二部分，我们将重点放在所提出离散格式的理论分析上。这部分内容超越了标准的L2或H1收敛性证明，转而关注更精细的误差估计。 我们引入了离散的Brezzi条件的概念，将其推广到非标准元空间的组合中。通过构造一个离散稳定泛函，我们能够证明在满足某些特定的离散兼容性假设下，解的存在性和唯一性得以保障。书中对非一致性网格上的误差估计进行了深入探讨。与标准有限元分析中对网格形状的严格要求不同，本书的方法展示了对畸形单元的鲁棒性，这对于实际工程应用至关重要。我们利用加权范数和局部插值算子的性质，推导出了与网格质量直接相关的误差上界。 时间离散化的稳定性分析也得到了详尽的讨论。针对非线性演化问题，我们考察了隐式和半隐式时间积分方案。书中提出了一种基于时间域上的离散变分原理的新方法，该方法确保了在时间步长上的能量或熵的单调性。这对于模拟耗散系统或需要长时积分的物理过程具有重要意义。我们特别关注了时间步长与空间网格尺度的耦合效应，并给出了判定数值稳定性的精确判据。 第三部分：先进应用与计算实现 第三部分将理论成果应用于解决实际中的复杂问题，展示了这些离散方法的优越性。 1. 强非线性材料的模拟： 我们展示了如何利用本节介绍的守恒型离散算子来模拟具有显式屈服面和后效性的材料。重点在于如何高效地在离散层面处理非光滑的应力-应变关系。通过一个基于光滑化处理的迭代求解器，我们能够实现高精度的应力场预测，尤其是在塑性区域的精确捕获上，这比传统有限元方法具有显著优势。 2. 多尺度和多物理场耦合： 物理系统的复杂性往往体现在不同尺度和不同物理场的相互作用上。本书提供了一种基于特征尺寸的自适应离散化策略。该策略允许程序在小尺度区域（如接触面或激波）自动加密网格，而在宏观尺度上保持计算效率。我们展示了如何将具有不同离散特性的模型（例如，处理流体粘滞性的高阶格式与处理固体弹性的低阶格式）在同一离散框架内无缝耦合，确保界面上的物理量（如应力或通量）保持一致性。 3. 复杂域的边界处理： 传统方法在处理曲面边界或具有移动边界的系统时常遇到困难。本书提出了一种基于域分解和界面条件的协调性方法。对于不规则边界，我们不依赖于复杂的边界积分，而是通过在边界单元上构造投影基函数，使得离散解能够精确地匹配边界上的Dirichlet或Neumann条件，从而避免了边界层伪影。 全书辅以大量的伪代码和数值算例，这些例子均使用标准科学计算语言实现，并附有详细的性能分析，直观地展示了这些新兴离散方法在精度、稳定性和计算效率方面的综合优势。本书适合于希望深入理解数值方法底层结构，并寻求解决复杂工程挑战的研究人员和高级工程师。

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