Categories in Algebra, Geometry and Mathematical Physics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Davydov, Alexei (EDT)/ Batanin, Michael (EDT)/ Johnson, Michael (EDT)/ Lack, Stephen (EDT)/ Neeman,

出品人:

页数:467

译者:

出版时间:

价格:129

装帧:Pap

isbn号码:9780821839706

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 几何
• 数学物理
• 范畴论
• 抽象代数
• 拓扑学
• 群论
• 表示论
• 量子群
• 数学基础

现代数学与理论物理交叉领域探索：一部聚焦基础结构与前沿应用的著作 书名： 《拓扑、范畴与规范理论：现代数学物理的结构性统一》 内容简介： 本书旨在深入探讨现代数学，特别是代数拓扑、范畴论与微分几何的核心概念，并系统性地阐述它们在理论物理学，尤其是量子场论、弦理论和规范场理论中的应用与融合。本书并非对代数、几何或数学物理的全面综述，而是聚焦于那些在连接不同数学分支与物理现象中扮演关键角色的结构性工具。 第一部分：范畴论与代数结构的基础 本部分将从抽象代数的视角出发，对范畴论进行严谨的介绍。我们将不再停留于集合论基础上的代数结构（如群、环、模），而是将其置于一个更具普适性的框架——范畴中进行考察。 范畴、函子与自然变换： 详细阐述范畴论的语言，强调其在统一不同数学领域概念（例如，拓扑空间之间的连续映射、群之间的同态）中的强大能力。我们将讨论极限与余极限的范畴论刻画，以及其在构造代数结构（如张量积、直接和）时的清晰性。 阿贝尔范畴与同调代数基础： 引入阿贝尔范畴的概念，这是同调代数得以发展的基础。在此基础上，我们将构建出链复形、上同调理论（包括特拉普上同调和嘉当-艾伦伯格上同调的初步介绍），为后续引入拓扑不变量做准备。重点关注导出范畴和三角范畴的概念，这些是处理复杂代数构造的关键工具。 张量积的范畴论视角： 探讨张量积作为一种双函子的本质，及其在向量空间、模和层上的推广。重点分析射程（Adjunction）的概念，阐明何种运算是相互对偶的，例如自由函子与遗忘函子之间的关系。 第二部分：几何与拓扑的代数化 本部分将从几何对象的内在结构出发，利用代数工具来解析其拓扑性质，特别是那些对物理学至关重要的不变量。 微分流形与纤维丛： 对微分流形进行必要的复习，但核心将放在向量丛和主纤维丛的构造上。我们将详细讨论联络（Connection）的定义，并引入曲率（Curvature）的概念，强调曲率是衡量联络偏离“平直”程度的内在量。 特征类： 这是代数拓扑与微分几何交叉的典范。我们将深入研究陈类（Chern Classes）和庞加莱对偶在纤维丛上的表达。重点讨论德拉姆上同调与奇异上同调之间的联系（德拉姆定理），以及陈-西蒙斯形式作为三维流形不变量的地位。 K-理论的引入： K-理论作为一种更精细的拓扑不变量理论，将被系统介绍。我们将考察拓扑K-理论（基于向量丛的稳定同构），并简要介绍其与复代数结构的关系，为引入格林函数和狄拉克算子铺平道路。 第三部分：规范理论与量子场论的结构性描述 第三部分是本书的物理核心，它将前两部分的数学工具应用于描述基本相互作用。本书在此不侧重于具体的场论计算，而是关注这些理论的数学结构本身。 杨-米尔斯理论的几何化： 规范理论被完全重构为关于主纤维丛上联络的理论。我们将严格定义规范群（如 $SU(N)$）以及规范场（联络 1-形式）。重点分析杨-米尔斯作用量在微分几何上的表达，以及规范不变性的几何起源。 规范群的上同调与怀特海德演算： 讨论规范群（如 $Diff(M)$ 或 $Gauge(P)$）的复杂结构。引入怀特海德群的概念，以理解无穷小形变下的李代数结构，这对于处理约束系统至关重要。 拓扑规范理论： 探讨那些作用量本身具有拓扑性质的场论，如唐斯斯-西格蒙德-维滕（TSWW）理论的数学骨架。重点分析磁单极子的拓扑荷，以及如何利用第二陈类来量化这些拓扑缺陷。我们将考察霍普夫纤维化在描述磁单极子激发中的作用。 共形场论中的代数结构： 简要触及共形对称性的代数结构——维拉索罗代数，并讨论如何使用受限张量范畴来对共形块和最小模型进行分类。 第四部分：高维结构与弦论的数学前沿 最后一部分将视角转向更高维度和更抽象的数学对象，这些是描述弦理论和量子引力的必要工具。 Calabi-Yau流形的几何性质： 介绍凯勒几何的基本概念，特别是对荷里奇几何（Hodge Geometry）的强调。我们将讨论三角不等式（Triangle Inequalities）与Mirror对称的数学基础，即不同维度的凯勒对偶性，展示几何对象如何通过代数结构实现精确的“镜像”对应。 $D$-膜与$B$-场： 从$B$-场（一个闭合的 3-形式，其上同调类与第二陈类相关）出发，探讨 $D$-膜的拓扑稳定性。我们将利用非交换几何的思想，介绍Kontsevich 的变形量化观点，展示如何将经典几何问题转化为非交换代数问题。 M-理论的代数框架： 简要概述G2-流形和十一维超重力的数学要求，重点讨论代数 $G_2$ 结构在稳定紧化中的作用。 本书特点： 本书的撰写风格严谨、逻辑清晰，力求在保持数学严格性的同时，清晰地揭示每一步代数构造背后的物理直觉。它假定读者已具备扎实的微积分、线性代数和基础抽象代数知识，并对经典场论有初步了解。本书旨在培养读者将抽象数学概念视为描述物理实在的“自然语言”的能力，而非仅仅是计算工具。它特别适合研究生和研究人员，用于弥合纯数学与理论物理研究之间的鸿沟。

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