Crossed Products of C-algebras pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Dana P. Williams

出品人:

页数:528

译者:

出版时间:2007-2-28

价格:GBP 98.50

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821842423

丛书系列:

图书标签:

• 分析
• C*-algebra
• Operator algebra
• Noncommutative geometry
• Crossed product
• Dynamical systems
• Representation theory
• Functional analysis
• Mathematical physics
• Operator systems
• K-theory

《拓扑代数与非交换几何概论》 内容提要 本书旨在为读者提供一个关于拓扑代数与非交换几何的全面且深入的入门指南，重点关注其基本概念、核心结构及其在现代数学物理中的应用。我们将从最基础的C-代数和von Neumann代数的定义与构造出发，逐步过渡到更抽象的非交换拓扑空间的概念，最终触及K-理论和非交换流形的研究前沿。 本书的结构设计考虑到了读者的不同背景，力求在保持数学严谨性的同时，提供清晰的动机和直观的理解。 第一部分：C-代数的基石 第一章将详尽阐述C-代数的定义。我们将从巴拿赫空间和算子代数的角度出发，定义一个实或复代数，并引入正规元素、自伴算子、正算子以及谱半径的概念。重点阐述Gelfand-Naimark定理，该定理不仅是C-代数理论的基石，也为理解非交换的“闭合性”提供了第一个强大的工具。我们还将详细分析紧算子、有限维C-代数以及它们与矩阵代数之间的同构关系。 第二章深入探讨C-代数的表示理论。我们将定义态（states）、迹（traces）以及规范性迹。Gelfand-Naimark-Segal (GNS) 构造将作为核心内容，展示任何C-代数都存在一个忠实的希尔伯特空间表示。我们将应用此理论分析阿贝尔（Abelian）C-代数的结构，证明其等价于连续函数代数C(X)，从而建立C-代数理论与经典拓扑空间之间的联系。 第三章聚焦于C-代数中的模论。我们将研究C-模的定义、扩张、张量积（特别是平衡张量积）。张量积的引入为构建更复杂的代数结构，如纤维积（fibered products），奠定了基础。此外，本章还将介绍投影和射影C-模，并讨论它们在分类问题中的角色。 第二部分：von Neumann代数与空间结构 第四章将C-代数的范围扩展到有界算子代数，引入von Neumann代数的概念，即在强算子拓扑下闭合的C-代数。我们将对比C-代数与von Neumann代数在表示理论上的关键区别，特别是在射影的性质上。双重厄米共轭（Double Commutant Theorem，即Von Neumann定理）将作为本章的核心论述，它揭示了可交换性与拓扑完备性之间的深刻联系。 第五章关注von Neumann代数的分类。我们将引入射影（Projections）的结构，并基于射影的性质对von Neumann代数进行分类：有限、半有限、因子（Factors）I型、II型和III型。特别是，对I型因子，我们将展示其等价于矩阵代数的结构；对于II型和III型因子，我们将探讨它们在量子力学（如L²-上同调）中的重要性，并引入无穷性和有界性的严格定义。 第六章的核心是迹与因子分类。我们将定义标准迹，并探讨如何使用迹来区分II₁因子（具有唯一标准迹）和II∞因子。对于III型因子，由于迹的概念不再适用，我们将转向KMS 态（Kubo-Martin-Schwinger states），将局部热力学平衡的概念引入代数框架，这是连接统计物理和非交换几何的关键桥梁。 第三部分：拓扑、K-理论与几何的桥梁 第七章探讨拓扑结构在代数中的体现。我们将回到C-代数，重点研究纯粹态空间（Space of Pure States），并论证其与经典拓扑空间拓扑结构的对应关系。更进一步，我们将介绍Gelfand 变换的推广，以及如何从代数结构中重建一个“非交换”的拓扑空间。 第八章是本书理论体系的升华：C-代数K-理论。我们将定义K₀和K₁群，它们是衡量C-代数中投影和“可逆性”的代数不变量。我们将详细构建K₀群，包括使用稳定等价类和正矩阵。K-理论的引入为识别同构的C-代数提供了比单纯的代数结构更精细的工具，特别是在处理非局部性问题时。 第九章将K-理论应用于几何：非交换流形的概念。我们将介绍C-动力系统（C-Dynamical Systems）的概念，即C-代数与一个局部紧群（如R或T）的$mathrm{C}^$-作用。通过对这类系统的分析，我们可以构造出非阿贝尔的庞加莱空间或非阿贝尔的纤维丛。本章将简要介绍如何使用K-理论和几何操作来定义非交换的指标定理的早期版本，展示了从代数到几何过渡的复杂性与深刻性。 结论 本书的最后部分总结了所学知识，并展望了更前沿的研究方向，包括$L^2$-不变量、非交换微分结构以及它们在规范场论中的潜在联系，为有志于深入研究非交换几何的读者提供了一条清晰的进阶路径。 目标读者 本书适合具有扎实的泛函分析基础（特别是希尔伯特空间、有界算子理论）以及抽象代数知识的研究生和高级本科生。对于物理学背景的研究人员，本书提供了从量子场论和统计力学中抽象出的数学工具的严格阐述。

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