Submanifolds in Carnot Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Vittone, Davide

出品人:

页数:180

译者:

出版时间:

价格:262.00元

装帧:

isbn号码:9788876423277

丛书系列:

图书标签:

• Submanifolds
• Carnot groups
• Differential geometry
• Submanifolds
• Harmonic analysis
• Geometric analysis
• Lie groups
• Noncommutative geometry
• Partial differential equations
• Singular geometry

《黎曼几何中的微分拓扑结构》 内容简介 本书深入探讨了微分几何的基石——黎曼流形上的微分拓扑结构，特别是那些依赖于黎曼度量的内在几何性质的拓扑特性。全书结构严谨，从基础的微分流形概念出发，逐步构建起黎曼几何的理论框架，并聚焦于流形边界、纤维丛、以及曲率的拓扑效应等前沿主题。本书旨在为数学系高年级本科生、研究生以及相关领域的专业研究人员提供一部全面且深入的参考著作。 第一部分：黎曼几何基础 第一章：微分流形与切丛回顾 本章首先回顾了光滑流形、微分结构以及切丛（Tangent Bundle）的精确定义。重点阐述了切空间的向量场结构以及流（Flow）的概念，为后续引入度量张量打下基础。特别关注了流形上的光滑函数和微分形式的微分运算，如外微分的构造。 第二章：黎曼度量与联络 黎曼几何的核心在于度量张量的引入。本章详细讨论了黎曼度量（Riemannian Metric）的定义、正定性要求及其对切空间的内积结构的影响。随后，引入了度量兼容的仿射联络——列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection）。通过平行移动的概念，本章阐述了测地线方程的推导，并证明了任意黎曼流形上存在唯一的无挠率、度量兼容的联络。 第三章：曲率的几何解释 曲率是衡量黎曼流形偏离欧几里得空间程度的关键不变量。本章系统介绍了黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）的代数性质和几何意义。重点讨论了截面曲率（Sectional Curvature）的概念，并阐述了Ricci曲率和标量曲率在描述局部体积变形方面的作用。此外，还详细分析了平坦流形（Zero Curvature）的拓扑和几何特征。 第二章部分：拓扑与边界现象 第四章：测地线与全局几何 本章从局部性质过渡到全局结构。测地线完备性（Geodesic Completeness）是连接局部到全局的关键概念，本章探讨了何种条件下流形具有完备的测地线，并引入了指数映射（Exponential Map）。利用完备性，本章讨论了测地线凸性（Geodesic Convexity）和收敛定理，如霍普夫-林德勒夫引理（Hopf-Lindehof Lemma）。 第五章：流形上的纤维丛结构 微分拓扑结构往往体现在流形上定义的向量丛（Vector Bundles）中。本章聚焦于黎曼流形上的主纤维丛和向量丛，特别是与度量相关的规范结构，如单位正切丛（Unit Tangent Bundle）。详细介绍了联络在纤维丛上的提升，并探讨了霍奇理论（Hodge Theory）的基础，即如何利用拉普拉斯算子来分析微分形式的空间结构。 第六章：边界的几何处理 对于具有边界的黎曼流形（如具有光滑边界的紧致流形），边界的几何性质对整体拓扑产生深远影响。本章专门研究了具有光滑边界的黎曼流形。重点讨论了边界的平均曲率（Mean Curvature）以及如何在边界附近定义“法向曲率”。引入了关于边界处法向导数的能量泛函，并探讨了由边界条件导致的刚性定理（Rigidity Theorems）的初步探讨。 第三部分：曲率、拓扑与稳定 第七章：拓扑与曲率的联系——高斯-邦内定理 本章是连接曲率和拓扑的核心章节。详细阐述了二维流形上的高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem），将其表述为特征类（Chern Classes）与截面曲率积分之间的关系。本章将定理推广到更高维度，引入了高斯-邦内-兰格定理（Gauss-Bonnet-Lange Theorem）的现代形式，讨论了欧拉示性数等拓扑不变量的几何起源。 第八章：测地线稳定性与极小曲面 测地线的稳定性是研究流形测地网络性质的基础。本章引入了二阶变分（Jacobi Fields）的概念来衡量测地线的稳定性。特别关注了作为零测地线变分的极小曲面（Minimal Surfaces）的微分方程性质。通过计算极小性条件下的曲率约束，展示了曲率如何影响流形中“平坦”子集的局部存在性。 第九章：辛几何与李群的黎曼结构 最后，本章探讨了黎曼几何在更广阔的几何学中的应用，特别是与辛几何和李群的交叉点。讨论了李群上的哈尔测度（Haar Measure）和黎曼度量对群结构的影响，特别是如何构造不变的（Invariant）黎曼度量。引入了爱因斯坦度量（Einstein Metrics）作为曲率张量满足特定条件的特例，并简要讨论了它们在几何分析中的重要地位。 全书的论述风格强调严谨的证明和清晰的几何直觉。每章末尾包含一系列具有挑战性的习题，旨在巩固读者对理论的掌握并引导其进行进一步的探索。本书力求在拓扑概念与度量几何细节之间架起一座坚实的桥梁。

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