Modular forms， a computational approach pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Stein, William/ Gunnells, Paul E.

出品人:

页数:268

译者:

出版时间:

价格:994.00元

装帧:HRD

isbn号码:9780821839607

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

• Modular Forms
• Computational Number Theory
• Algebraic Number Theory
• Elliptic Curves
• Representation Theory
• Algorithms
• Mathematics
• Computer Science
• SageMath
• Arithmetic Geometry

连通数字与结构的桥梁：代数拓扑在现代数学中的应用 书名： 连通数字与结构的桥梁：代数拓扑在现代数学中的应用 作者： [此处留空，或使用一个假想的数学家姓名] 出版社： [此处留空，或使用一个假想的学术出版社名称] --- 内容简介 本书旨在为数学、理论物理学以及计算机科学领域的学者和高级学生，提供一个关于代数拓扑（Algebraic Topology）的全面而深入的视角。代数拓扑，作为现代数学中一门极具影响力的分支，致力于使用代数结构（如群、环、模）来研究拓扑空间（即几何形状）的性质。它提供了一套强大的工具集，使得那些看似纯粹的几何问题可以转化为可计算、可分析的代数问题，从而揭示出空间固有的、与度量和坐标无关的内在结构。 本书的叙述风格旨在平衡严谨的理论推导与直观的几何洞察力。我们避免了对单一特定计算工具（如模形式）的深入探讨，而是聚焦于那些构成代数拓扑骨架的核心概念，展示如何从这些基础出发，构建出理解复杂空间结构所需的整个理论框架。 第一部分：从直觉到精确：基本概念的构建 本部分着重于将直觉中的“洞”和“连通性”转化为精确的数学语言。 1. 拓扑空间回顾与同伦的引入： 我们首先快速回顾必要的拓扑学基础，然后立即转向同伦论（Homotopy Theory）。同伦群 $pi_n(X)$ 被引入作为衡量空间 $X$ 中不同“球面映射”的代数不变量。重点在于讲解如何构造这些群，以及它们如何区分看似相似的空间（例如，球体 $S^n$ 和环面 $T^n$ 的区别）。我们将详细分析基本群 $pi_1(X)$（即庞加莱群）的计算，特别是针对复合体、商空间以及陪集空间的构造，为后续更高阶群的计算奠定基础。 2. 单纯复形与胞腔复形： 几何对象通常以不同方式呈现，但我们希望找到一种统一的代数描述。单纯复形（Simplicial Complexes）和胞腔复形（CW Complexes）是实现这一目标的标准框架。我们将深入探讨这些结构如何编码空间的信息，以及如何从一个拓扑空间“离散化”出代数对象。本部分将详细讨论如何将这些复形转化为链复形（Chain Complexes），这是连接几何与代数运算的关键步骤。 第二部分：同调论：量化“洞”的代数工具 同调论是代数拓扑中应用最为广泛的工具之一，它提供了一种比同伦群更易于计算的、分级的（graded）不变量。 3. 链复形与链同调： 我们将严格定义链群、边界算子和循环群，并最终导出同调群 $H_n(X)$。重点将放在菊霍夫序列（Künneth Formula）的推导与应用上，展示如何通过已知子空间的同调来计算积空间（如积流形）的同调。此外，针对特定类型的空间，如流形，我们将介绍环界（Singular Homology）与胞腔同调之间的同构关系，强调其计算的有效性。 4. 算子与对偶性： 信息的双向流动至关重要。本章将介绍上同调（Cohomology），这是同调论的对偶概念，它通过定义上链和上边界算子来研究共轭结构。我们将深入探讨万有系数定理（Universal Coefficient Theorem），解释了如何从同调群的挠率信息推导出上同调群的结构，揭示了系数域选择的重要性。 5. 德拉姆理论与流形结构： 对于光滑流形，上同调理论具有极其优美的几何解释。我们将详细介绍德拉姆上同调（de Rham Cohomology），它使用微分形式来定义上同调类。我们将论证德拉姆定理，证明光滑流形的微分形式上同调与其拓扑（胞腔）上同调之间的精确对应关系。本章将专注于微分几何的语言，而非复分析或解析数论的特定结构。 第三部分：拓扑结构与内在联系 本部分关注代数拓扑工具如何揭示不同数学领域间的深层联系。 6. 纤维丛与陈类： 纤维丛（Fiber Bundles）是理解向量场、连接和曲率等概念的基础。我们将引入庞加莱对偶性（Poincaré Duality），这是一种强大的对偶性工具，它将 $n$ 维流形上的 $k$ 维同调类与其 $ ext{dim}(M)-k$ 维上同调类联系起来。基于此，我们将构造并计算陈类（Chern Classes），它们是向量丛的拓扑不变量，在规范场论中扮演核心角色。我们着重于纤维丛的分类性质，而非其特定形式的模空间。 7. 谱序列：连接不同理论的桥梁： 许多复杂的同调计算，尤其是在涉及纤维丛或相关构造时，无法直接用基本公式解决。谱序列（Spectral Sequences）是处理这种“分步计算”的强大技术。本书将引入洛昂-费弗曼谱序列（Leray-Serre Spectral Sequence），用以计算纤维丛的同调群，这是一种通用的技术，可以系统地将基础空间、纤维空间和总空间的拓扑结构联系起来，是处理复杂拓扑构造的必备利器。 总结 本书不依赖于对特定函数空间或数论对象（如模形式）的深入分析，而是将重点放在代数拓扑作为一种通用结构分析的语言上。读者将掌握如何系统地构建拓扑不变量，如何使用代数工具（群论、链复形）来量化几何空间中的复杂特征（洞、连通性、曲率的积分效应），从而为进一步研究几何拓扑、微分几何或高维物理理论打下坚实的基础。全书注重计算方法的几何直觉和严格推导的结合，旨在培养读者独立运用这些核心工具解决新问题的能力。

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