Introduction to Perturbation Methods pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Mark H. Holmes

出品人:

页数:369

译者:

出版时间:1995-6-23

价格:USD 109.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387942032

丛书系列:

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近世代数在密码学中的应用：从群论基础到椭圆曲线密码学 书籍简介 本书旨在为读者提供一个深入而全面的视角，探讨近世代数，特别是群论、环论和域论，如何在现代信息安全领域——密码学中发挥核心作用。我们聚焦于如何将抽象的数学结构转化为实际的加密与安全协议，特别是现代公钥密码系统的基石——椭圆曲线密码学（ECC）。全书结构严谨，从基础的代数概念逐步深入到前沿的加密应用，力求在数学的严密性和工程应用的直观性之间找到完美的平衡。 第一部分：代数基础与信息论的交汇 本书的开篇着重于建立必要的数学基石。我们首先回顾了离散数学中关于集合、映射和二元运算的基本概念，为引入抽象代数结构做铺垫。 第一章：有限域与伽罗瓦理论的初探 本章详细介绍了有限域（Galois Fields，$mathbb{F}_q$）的构造与性质。我们将从最简单的 $mathbb{F}_p$（素数阶域）出发，阐述其在有限域上的算术运算，包括加法、乘法及其逆元的计算。随后，我们将探讨如何通过不可约多项式构造更高阶的有限域 $mathbb{F}_{p^k}$。我们深入分析了伽罗瓦域的结构定理，证明了任何有限域都存在原根，并讨论了离散对数问题（DLP）在这些域上的复杂性，这直接关系到早期公钥密码系统的安全性基础。本章将辅以大量的构造实例，帮助读者理解抽象结构如何转化为具体的比特序列运算。 第二章：群论在密钥交换中的角色 群是密码学中最核心的代数结构之一。本章聚焦于抽象群的定义、子群、陪集、正规子群以及商群的概念。重点分析了循环群的特性，并将其应用于著名的迪菲-赫尔曼（Diffie-Hellman, DH）密钥交换协议。我们将详细剖析基于离散对数问题的安全性，讨论原像攻击、指数搜索攻击的难度，并引入了基于有限域上原元生成子群的安全性分析框架。此外，还讨论了更进一步的子群积问题（CDH）在评估DH变体安全性时的重要性。 第二部分：环、理想与哈希函数 代数结构从群的单一运算扩展到具有两种运算的环。本部分将环论的应用具体化到数据完整性和错误控制编码领域，尽管后者并非本书核心，但能深化对环结构的理解。 第三章：环与整数环的模运算 本章详细阐述了环的定义、理想（Ideals）的概念及其在模算术中的体现。我们深入研究了 $mathbb{Z}_n$（模 $n$ 整数环）的结构，特别关注当 $n$ 为合数时环的分解。欧拉定理、中国剩余定理（CRT）在环 $mathbb{Z}_n$ 上的应用被详尽解析，这不仅是理解RSA算法的基础，也是优化模幂运算效率的关键工具。我们将讨论如何利用环的结构特性来分解模数，从而对基于RSA的加密体制发起定时攻击或因子分解攻击。 第四章：多项式环与密码学原语 本章关注在有限域上构造的多项式环 $mathbb{F}_q[x]$。我们讨论了多项式运算、不可约多项式的重要性，并将其与有限域的构造联系起来。更重要的是，本章探讨了多项式环在数据校验码（如循环冗余校验CRC）中的应用，并引出了基于格（Lattice）的密码学中多项式环的初步概念，为未来更高级的加密方案埋下伏笔。 第三部分：椭圆曲线：现代密码学的核心 本书的后半部分全部献给椭圆曲线密码学（ECC），这是当前公钥基础设施中最具效率和安全性的技术之一。 第五章：椭圆曲线的代数几何基础 本章从代数几何的视角引入椭圆曲线。我们定义了Weierstrass标准形式下的椭圆曲线方程 $y^2 = x^3 + Ax + B$ over a field $K$。我们严格证明了在这些曲线上定义的点集构成一个阿贝尔群，其中“加法”是通过“割线-交点-反射”几何操作定义的。我们详细推导了群运算的代数公式，包括点加法和点加倍的精确公式，并严格区分了在特征不为 2 或 3 的域 $mathbb{R}$、 $mathbb{Q}$，以及在有限域 $mathbb{F}_p$ 和 $mathbb{F}_{2^m}$ 上的构造与运算。 第六章：椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）与安全参数选择 本章分析了ECC的安全性基础——ECDLP的难度。我们讨论了解决ECDLP的经典算法，如波拉德的 $ ho$ 算法（Pollard's Rho）和性别化Sieve算法（General Number Field Sieve, GNFS）在椭圆曲线上的变体。通过比较与传统离散对数问题（DLP）的复杂度差异，我们解释了为什么ECC能以更短的密钥长度提供相同的安全级别。本章将详细讲解如何根据所需的比特安全强度（如128位或256位）选择合适的素数 $p$ 或特征 $2^m$ 以及曲线参数 $A$ 和 $B$，确保曲线的非奇异性和群阶的结构合理性（如包含一个大的素数阶子群）。 第七章：基于椭圆曲线的密码协议实现 本章是理论与实践的结合。我们详细介绍了基于ECC的公钥加密和数字签名方案： 1. 椭圆曲线迪菲-赫尔曼密钥交换 (ECDH)： 阐述如何利用曲线上的点乘运算（重复点加法）安全地建立共享密钥。 2. 椭圆曲线数字签名算法 (ECDSA)： 深入剖析ECDSA的签名生成和验证过程，包括随机数 $k$ 的选择、模逆运算和签名规范化，并探讨了签名中随机性泄露的风险与防范措施。 3. 高效性与优化： 讨论了在实际应用中提高椭圆曲线运算速度的关键技术，如使用加性同态（Homomorphic Property）优化，以及在 $mathbb{F}_{2^m}$ 域上使用松弛基（Normal Basis）进行快速乘法运算。 本书内容面向数学系高年级本科生、研究生以及从事密码学、信息安全和网络通信的工程师和研究人员。通过系统学习，读者不仅能掌握现代密码学协议背后的数学逻辑，还能具备设计、分析和实现安全系统的能力。全书的论证过程力求清晰、无可辩驳，避免了对工具性的“黑箱”描述。

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这本书的排版和装帧真是让我眼前一亮，拿到手里就觉得分量十足，绝对是那种值得在书架上摆上几年的精品。封面设计简洁却不失深度，那种带着年代感的字体选择，恰到好处地烘托出一种经典学术著作的气质。内页纸张的质感也令人赞叹，印刷清晰，图表布局合理，即使是面对复杂的数学公式，也能保持极佳的可读性。阅读体验上，作者似乎非常注重细节，许多概念的引入都伴随着精心的图示，这对于理解抽象的数学过程来说，无疑是一大福音。我记得有几个章节，原本我以为会非常晦涩难懂，但得益于精良的排版和清晰的注释，我竟然能够相对顺畅地跟进作者的思路。这种对阅读体验的尊重，在很多当代教材中已经很难寻觅了。总而言之，从实体书的角度来看，它不仅仅是一本工具书，更像是一件制作精良的工艺品，让人愿意花时间去细细品味。

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这本书的难度曲线设置得非常精妙，它似乎是为那些已经具备一定数学基础，但渴望向更高层次迈进的读者量身定制的。开篇部分处理得相当稳健，为后续的深入探讨打下了坚实的基础，让人感觉每前进一步都是水到渠成。但随着章节的深入，难度会有一个明显的陡增，尤其是在涉及某些高阶展开技巧时，需要读者投入相当的专注度和反复的揣摩。这并非批评，反而是一种赞赏，因为它避免了“为了简单而简单”的趋势，保证了内容的学术严谨性和深度。对我个人而言，某些章节确实需要多次回溯阅读，甚至需要结合其他参考资料辅助理解，但这正是高质量学术读物的特点——它挑战你的极限，并最终拓宽你的视野。读完后，你会有一种“经过了一场艰苦的攀登，终于看到了壮丽的景色”的成就感。

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作为一本理论性很强的著作，我原以为它会充斥着冷冰冰的符号和公式，然而，这本书最让我惊喜的是它所蕴含的“洞察力”。作者似乎有一种魔力，能将那些看似枯燥的数学技巧，赋予一种清晰的物理图像和深刻的哲学思考。阅读过程中，我时常会停下来，不是因为我没看懂公式，而是因为被作者对问题本质的精辟总结所折服。他不仅仅是在教你“如何做”，更是在引导你去思考“为什么这样做是最好的”。这种深层次的理解，远比单纯掌握一种算法来得更有价值。它改变了我看待工程问题的方式，让我意识到，在很多时候，选择合适的近似方法，比精确地求解一个复杂的方程更为关键。这种思维上的提升，是任何一本仅停留在“操作层面”的教材无法给予的。

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这本书在讲解理论时的逻辑推进，简直可以用“庖丁解牛”来形容，层层递进，毫不拖泥带水，但又恰到好处地留出了思考的空间。我尤其欣赏作者处理复杂推导时的那种“慢工出细活”的态度。他没有直接抛出一个最终结论，而是耐心地展示每一步是如何从前置的假设中自然而然地生长出来的。这对于我们这些希望真正掌握方法论，而非仅仅记住公式的人来说，太重要了。书中引用的案例分析也极其巧妙，它们并非孤立的数学练习题，而是紧密地联系着实际物理或工程背景，这使得抽象的数学工具瞬间获得了鲜活的生命力。例如，在讨论某个近似方法时，作者会先用一个直观的几何类比来建立初步认知，然后再引入严格的数学证明，这种多层次的解释策略极大地降低了学习的门槛。

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从一个应用者的角度来看，这本书的实用性体现在它对“工具箱”的构建上。它没有仅仅停留在展示几种标准方法，而是系统地梳理了各种近似方法的适用范围、优缺点以及相互之间的联系。书中对不同方法的比较分析尤为出色，例如，当面对一个特定类型的非线性问题时，作者会清晰地列出A方法可能存在的陷阱，而B方法在何种条件下更占优势。这种对比性的指导，对于实际工程项目中的决策制定至关重要。它教会了我如何根据实际问题的特点，灵活地选择和组合不同的数学工具，而不是死板地套用一种公式。这种“教练式”的教学风格，让这本书从一本理论参考书，升华为一本实战指南，极大地提高了我在处理复杂建模问题时的效率和信心。

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Introduction的书都是难书。

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