Differential Geometry of Curves and Surfaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications Inc.

作者:Manfredo P. do Carmo

出品人:

页数:512

译者:

出版时间:2017-1-27

价格:GBP 21.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780486806990

丛书系列:Dover Books on Mathematics

图书标签:

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拓扑学中的几何结构：从黎曼流形到内蕴几何 本书旨在深入探讨现代微分几何的基石，尤其聚焦于拓扑学与几何分析的交汇点。不同于侧重于曲线和曲面的经典微分几何方法，本书的视角更为宏大和抽象，旨在构建一个处理高维、任意维度流形上几何结构的数学框架。 本书的构建围绕着对黎曼流形概念的精细剖析展开，强调如何利用黎曼度量来定义流形上的内蕴几何结构，从而使我们能够在光滑流形上进行距离、角度、测地线以及曲率的测量。我们将彻底超越欧几里得空间中对曲面的直观理解，进入一个更具普适性的、依赖于局部坐标系选择的几何世界。 第一部分：光滑流形与张量分析的复兴 本书首先需要为读者打下坚实的微分拓扑学基础，但这并非传统的点集拓扑，而是着重于光滑性的保持。我们将详细阐述光滑流形的严格定义，包括图册（Atlas）、坐标图（Charts）以及转移映射（Transition Maps）的微分性质。理解这些概念是后续所有几何构造的先决条件。 随后，我们将引入张量场的概念。张量不再仅仅是线性代数中多重线性形式的推广，而是流形上切空间之间线性映射的推广，它们是定义几何结构的“原材料”。我们将详细分析协变张量（如微分形式）和反变张量（如切向量场），并推导出在坐标变换下张量分量如何变换的精确规则。这部分内容将特别强调微分形式作为定义积分和拓扑不变量（如外微分）的关键工具。 第二部分：黎曼度量与测地线方程 黎曼几何的核心在于黎曼度量 $g$。本书将把黎曼度量视为一个光滑的、正定的二阶对称协变张量场。我们将深入研究如何利用这个度量来定义内积、长度、角度，并推导出体积形式。 一个关键的章节将致力于联络（Connection）的引入。我们将解释为什么在非平坦空间中，仅仅有切向量场是不够的，我们需要一个规则来定义向量场沿着曲线的“平行移动”。我们将区分几种重要的联络： 1. 仿射联络（Affine Connection）：定义共变导数 $ abla$。 2. 黎曼联络（Levi-Civita Connection）：这是最自然的联络，它满足无挠性（Torsion-free）和度量兼容性（Metric compatibility）的条件。我们将证明在黎曼流形上，这个联络是唯一确定的，并给出其用克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）表示的完整公式。 基于此联络，我们将正式定义测地线，即“自由落体的路径”，它们是连接流形上两点之间局部最短路径的推广。测地线方程的求解将展示几何与常微分方程的紧密联系。 第三部分：曲率的代数与微分表达 曲率是衡量流形偏离平坦性程度的关键不变量。本书将系统地从不同的角度剖析曲率： 1. 黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）：我们将它定义为黎曼曲率算子的数学表达，展示它是衡量平行移动路径依赖性的工具。我们将分析曲率张量的代数性质，如双对称性、第一维安恒等式（First Bianchi Identity）。 2. 里奇曲率（Ricci Curvature）：作为黎曼曲率张量的一个缩并，里奇张量 $Ricc$ 在爱因斯坦场方程等物理应用中至关重要。我们将探讨其与体积膨胀率的关系。 3. 斯卡拉曲率（Scalar Curvature）：里奇张量的进一步缩并，它是一个纯粹的函数，用于衡量流形的整体弯曲程度。 在介绍完这些“代数”曲率后，我们将转向微分几何对曲率的更高级处理。我们将利用霍奇理论（Hodge Theory）的初步概念，通过外微分和拉普拉斯-德拉姆算子，来理解曲率在拓扑结构上的影响。 第四部分：内蕴测地线几何与变分原理 本书的最后一部分将回归到几何的“变分”角度，这与经典变分法有着深刻的联系。 1. 指数映射（Exponential Map）：指数映射是连接切空间与流形本身的桥梁，它是局部定义微分同胚的关键工具，也是研究测地线完备性的基础。 2. 测地线方程的变分表述：我们将证明测地线是能量泛函（即曲线的长度平方）的临界点。这提供了一种完全内蕴的方式来定义测地线，而不需要依赖于局部坐标计算克里斯托费尔符号。 3. 空间的可视化：虽然本书不直接研究二维曲面，但我们将使用常曲率空间（如球面 $S^n$ 和双曲空间 $H^n$）作为理解黎曼几何概念的教学模型。这些模型的几何特性（如球形三角形内角和）将直观地展示非欧几何的特性。 结论： 本书超越了对特定维度或特定嵌入空间的几何研究，建立了一个通用的、基于切空间和度量的数学语言，用于描述任何光滑流形上的内在几何结构。它为深入研究广义相对论、拓扑场论以及更高维度的几何分析奠定了不可或缺的理论基础。读者将学会如何“做几何”，而不是仅仅“计算嵌入几何的量”。

评分☆☆☆☆☆

临近期末，紧锣密鼓的复习计划是要开始了，我此时却很想停下来写写这一学期微分几何的学习。 《曲线与曲面的微分几何学》号称是数计院本科四年最令人闻风丧胆和高端的课程。有幸任课老师专研这个方向，而且上课条理和逻辑非常清晰，使得这门艰深的课有了一个好的入口。不过话...

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

作为一名偏爱“动手”而非纯粹“符号推导”的读者，我对这本书处理黎曼度量和测地线的方式尤为欣赏。作者似乎深谙物理学背景读者的需求，他们没有沉湎于繁琐的张量分析的细节，而是巧妙地运用了变分原理和能量泛函的概念来定义和刻画测地线，这使得整个过程充满了物理上的美感和内在的必然性。书中关于曲面论的讨论，特别是关于高斯曲率和平均曲率的计算，充满了巧妙的构造。我特别喜欢其中关于“极小曲面”那一章，它不仅仅停留在欧拉-拉格朗日方程的求解上，还深入探讨了这些曲面在物理系统中的实际意义，比如肥皂膜的形态。这种将纯数学与实际物理问题相结合的叙事方式，极大地增强了学习的内在驱动力。教材的排版清晰流畅，注释详尽，确保了读者在跟随复杂推导时不会迷失方向。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事节奏把握得非常精准，它不像某些教材那样开篇就抛出三维欧氏空间中的向量分析，而是从更抽象的、依赖于坐标系选择的微分形式入手，循序渐进地过渡到内禀几何。这种由抽象到具象的构建路径，使得读者在理解第一、第二基本形式时，能够清晰地意识到坐标选择的任意性是如何被内在的几何量所克服的。关于“可展曲面”和“不可展曲面”的区分，作者给出的证明简洁而富有洞察力，直接导向了高斯绝妙定理，这真是教科书级别的示范。此外，书中对“法曲率”和“主曲率”的讨论，绝非简单的公式罗列，而是通过对法丛和切向量场演变的细致描绘，展现了局部几何的动态特性。对于那些对微分拓扑有初步了解的读者来说，这本书提供了将拓扑概念“具体化”为几何性质的绝佳桥梁。

评分☆☆☆☆☆

老实说，这本书的难度是相当高的，它绝非一本轻松的读物，但其回报是巨大的。最令我印象深刻的是作者对“测地曲率”和“外微分”之间关系的阐释。这种将微积分中的曲线积分理论与流形上的积分理论完美融合的处理方式，展现了作者深厚的数学功底和极高的教学智慧。书中对欧拉示性类和陈-西蒙斯形式的介绍虽然篇幅不长，但点到即止，为后续更高级的微分拓扑学习埋下了重要的伏笔，显示了编著者对学科脉络的清晰把握。我发现，书中为每个章节精心设计的习题，与其说是练习，不如说是对核心概念的深度探索。很多习题都需要读者跳出书本上的例子，尝试自己构造特定的度量张量，这极大地锻炼了独立解决问题的能力。这本书真正教会我的，是如何“思考”几何，而不仅仅是“计算”几何。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为那些渴望深入理解流形、切空间和曲率概念的学生量身定做的。它没有像某些教材那样堆砌晦涩的符号，而是用一种极其直观且富有几何洞察力的方式，将抽象的微分几何概念与具体的几何实体紧密结合起来。初读之下，我就被作者对基础概念的精辟阐述所吸引，特别是关于曲率的讨论，作者引入了诸多精妙的例子，使得原本高深的拓扑和测度概念变得触手可及。书中对等距变换群和李群在几何结构中的作用的探讨，更是令人耳目一新，它清晰地揭示了这些代数工具如何深刻地影响着空间的内禀性质。对于任何希望在广义相对论或拓扑场论等领域打下坚实基础的研究者来说，这本书提供的几何直觉是无可替代的宝贵财富。它不是一本速成手册，而是一本需要细细品味、反复研读的经典之作，每一次重读都能带来新的感悟。

评分☆☆☆☆☆

这本书的魅力在于它对“局部结构决定整体性质”这一几何哲学的坚定贯彻。它非常出色地平衡了代数结构和直观图像之间的关系。例如，在讨论闭曲面上的拓扑不变量时，书中通过对向量场旋度的积分，巧妙地引入了斯托克斯公式的推广形式，将拓扑学中的度量概念直接嵌入到微分几何的框架中。这种方法论的统一性，使得学习过程中的知识点不再是孤立的碎片，而是紧密相连的整体。对于那些在学习过程中习惯于依赖具体三维空间嵌入来理解曲面的读者来说，这本书会是一个挑战，因为它强制你必须学会用切空间和张量语言来“感知”空间。但正是这种训练，让你真正掌握了研究高维流形所需的思维工具。这本书的深度和广度，使其成为几何学领域一本不可多得的参考资料。

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