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出版者:清华大学出版社

作者:居余马

出品人:

页数:336

译者:

出版时间:2003-6

价格:14.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787302065074

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《线性代数学习指南》 内容简介： 本书旨在为广大读者提供一份全面、深入且易于理解的线性代数学习路线图。线性代数作为现代数学的重要分支，在科学、工程、计算机科学、经济学等诸多领域扮演着基石的角色。从基础的概念到高级的应用，本书将循序渐进地引导读者掌握线性代数的核心理论与解题技巧。 第一部分：向量空间与线性方程组 本部分将首先介绍向量的概念，包括向量的定义、运算（加法、数乘）、几何意义及其在二维和三维空间中的表示。在此基础上，我们将深入探讨向量空间（vector space）的定义及其重要性质，包括子空间（subspace）、线性组合（linear combination）、线性无关（linear independence）和基（basis）等核心概念。理解向量空间的结构是掌握线性代数后续内容的关键。 接下来，我们将重点关注线性方程组（system of linear equations）的求解。我们将学习高斯消元法（Gaussian elimination）和高斯-约旦消元法（Gauss-Jordan elimination）等系统性的求解方法，并介绍矩阵（matrix）在表示和求解线性方程组中的作用。矩阵的运算，如加法、减法、乘法以及转置（transpose），也将得到详细的讲解。我们还将学习如何利用矩阵的秩（rank）来判断线性方程组解的存在性和唯一性，包括自由变量（free variables）和基本变量（basic variables）的概念。 第二部分：矩阵理论与行列式 本部分将深化对矩阵的理解。除了基本的矩阵运算，我们将重点研究特殊类型的矩阵，如对称矩阵（symmetric matrix）、反对称矩阵（skew-symmetric matrix）、对角矩阵（diagonal matrix）和单位矩阵（identity matrix）等。我们将学习矩阵的逆（inverse of a matrix）的概念及其计算方法，以及如何利用矩阵的逆来求解线性方程组。 行列式（determinant）是线性代数中另一个核心概念。我们将学习行列式的定义、性质以及计算方法，包括代数余子式（cofactor）和伴随矩阵（adjugate matrix）等。行列式与矩阵的可逆性（invertibility）之间存在密切联系，我们将探讨行列式的值如何判断矩阵是否可逆。此外，行列式在求解线性方程组（克拉默法则，Cramer's rule）和计算线性变换的面积/体积缩放因子等方面也有重要应用。 第三部分：特征值与特征向量 特征值（eigenvalue）和特征向量（eigenvector）是线性代数中处理线性变换的核心工具。本部分将详细介绍特征值和特征向量的定义、计算方法以及其几何意义。我们将学习如何求解特征多项式（characteristic polynomial）来找到特征值，以及如何利用特征值求解对应的特征向量。 特征值和特征向量在许多应用中至关重要，例如： 对角化（diagonalization）： 我们将学习如何判断一个矩阵是否可对角化，以及如何将矩阵对角化。对角化后的矩阵在处理矩阵的幂运算、求解微分方程组等方面能极大地简化计算。 线性变换的分析： 特征值和特征向量揭示了线性变换在特定方向上的伸缩行为，这对于理解和分析复杂的线性系统至关重要。 数据降维（如PCA）： 在机器学习和数据科学领域，特征值和特征向量被广泛应用于主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）等技术，用于降低数据集的维度同时保留重要信息。 第四部分：线性变换与相似性 本部分将从几何和代数的角度深入探讨线性变换（linear transformation）。我们将学习线性变换的定义、性质，以及如何用矩阵来表示线性变换。我们将研究常见的线性变换，如旋转（rotation）、缩放（scaling）、投影（projection）和剪切（shear）。 相似矩阵（similar matrices）的概念将被引入，它描述了在不同基下表示同一个线性变换的矩阵之间的关系。我们将学习如何判断两个矩阵是否相似，以及相似性在矩阵理论和线性变换分析中的重要性。 第五部分：内积空间与正交性 内积空间（inner product space）是在向量空间的基础上引入了内积（inner product）的概念，从而能够定义长度（norm）和角度（angle）。本部分将介绍内积的性质，以及如何定义和计算向量的长度、距离和夹角。 正交性（orthogonality）和正交基（orthogonal basis）是内积空间中的重要概念。我们将学习如何判断向量是否正交，以及如何构造正交基和标准正交基（orthonormal basis）。格拉姆-施密特正交化（Gram-Schmidt orthogonalization）方法将作为构造标准正交基的关键算法进行讲解。 正交性在以下方面有广泛应用： 最小二乘法（least squares）： 用于求解超定方程组（overdetermined system）的最优近似解。 傅里叶分析（Fourier analysis）： 利用正交函数（如三角函数）来分解和表示周期性信号。 正交投影： 在子空间上的正交投影是求解线性最小二乘问题的基础。 第六部分：应用与拓展 本书的最后部分将展示线性代数在各个领域的实际应用，例如： 计算机图形学： 矩阵用于表示三维空间的变换，如平移、旋转和缩放。 数据科学与机器学习： 线性代数是支撑算法如线性回归、支持向量机（SVM）、主成分分析（PCA）和推荐系统的核心数学工具。 数值分析： 求解大型线性方程组、特征值问题等。 经济学： 投入产出分析、线性规划等。 物理学： 量子力学、力学等领域。 通过结合理论讲解和实例分析，本书力求帮助读者建立起对线性代数知识的直观理解，并掌握将其应用于解决实际问题的能力。无论您是数学专业的学生，还是来自其他学科需要运用线性代数知识的从业者，本书都将是您坚实的学习伙伴。

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关于《概率论与数理统计的直觉建立》，我只能说这是我近年来遇到的最不“数学”的教材。是的，我指的不是它不严谨，而是它完全打破了传统概率论教材那种冰冷、公式驱动的叙事方式。作者似乎很理解“统计思维”对非数学专业学生来说是一个巨大的挑战。他从贝叶斯推断的实际案例入手，比如医疗诊断和天气预报，让读者在解决具体问题的过程中自然而然地接受概率模型。书中的案例非常贴近生活，从彩票的中奖概率到社交网络中的信息传播模型，都得到了详尽的分析。我尤其喜欢它对“大数定律”和“中心极限定理”的讲解，作者没有直接抛出严苛的证明，而是通过大量的模拟实验和数据可视化来展示这些定理的强大威力。这种“先体验，后证明”的模式，极大地降低了学习曲线。对于那些在实际工作中需要处理数据、需要做出基于不确定性决策的人来说，这本书提供了必要的工具和深入的洞察力，远超一本普通的考试用书。

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如果说数学是科学的语言，那么《微分方程的动态世界》就是这门语言最生动的叙事者。我过去认为求解微分方程无非是套用拉普拉斯变换或者分离变量法，但这本书让我看到了方程背后隐藏的物理意义和系统的演化趋势。作者对常微分方程（ODE）的讲解，大量采用了相平面分析法，通过绘制相图，我们可以直观地看到系统的稳定点、极限环以及周期性振荡的来源，这比单纯求出解析解要深刻得多。对于偏微分方程（PDE），书中选择了热传导方程和波动方程作为主线，巧妙地引入了傅里叶级数和分离变量法，展示了如何用无穷级数来描述复杂现象的空间和时间变化。最让我感到震撼的是，书中讨论了混沌理论的入门，用一个简单的洛伦兹吸引子模型，揭示了确定性系统中可能出现的不可预测性。这本书不仅教会了我如何解方程，更重要的是，它教会了我如何“倾听”方程所描述的那个动态系统的“心跳”。

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《离散数学：逻辑与计算的基石》这本书简直是为计算机科学专业的学生量身定做的圣经。不同于侧重于抽象代数或集合论的传统离散数学教材，这本书将焦点牢牢锁定在算法的正确性验证和计算模型上。图论部分的处理尤其出色，书中不仅讲解了最短路径和最小生成树，更深入探讨了网络流和匹配理论在资源分配问题中的应用，这些内容在算法设计课上都是重中之重。逻辑部分，作者用非常清晰的符号系统和大量的真值表、推理规则示例，将命题逻辑和一阶谓词逻辑讲解得明明白白，这对于理解编程语言的类型系统和数据库查询的底层逻辑至关重要。此外，书中关于关系和函数的讨论，也时刻不忘与数据结构（如哈希表和树结构）建立联系。读完后，我感觉自己在面对任何需要形式化描述和逻辑推理的计算问题时，都更有底气了，它提供的思维框架是如此的坚固和可靠。

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我很少读到像《高等代数精粹》这样，能把抽象的结构理论讲得如此清晰透彻的书。很多代数教材往往在向量空间和线性变换那里就让读者望而却步，充斥着冷冰冰的符号操作。然而，这本书的作者似乎拥有化繁为简的魔力。他花了大量的篇幅来解释“基”和“维数”的几何直觉，让我终于明白了为什么矩阵可以用来表示线性变换，以及特征值和特征向量在系统稳定性分析中的核心地位。书中引入了群论的初步概念，但处理得非常谨慎，只是作为理解线性代数结构的更深层次的工具，避免了初学者的认知超载。我特别欣赏它对内积空间的处理，作者花了整整一个章节来讨论施密特正交化过程，并将其与傅里叶级数联系起来，这种跨领域的融会贯通，极大地拓宽了我的视野。读完这本书，我感觉自己仿佛推开了一扇通往现代数学美妙世界的大门，那些复杂的运算背后，是简洁而优雅的代数结构在支撑。

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这本《数学分析的奥秘》简直是数学学习者的救星！我之前一直对微积分那些复杂的概念感到头疼，特别是涉及到多变量函数和积分的部分，总是感觉抓不住重点。这本书的作者显然深谙教学之道，他没有一开始就堆砌那些艰涩的定义和定理，而是巧妙地引入了大量的实际应用案例，比如工程学中的优化问题、物理学中的场论基础，这让抽象的数学概念瞬间变得鲜活起来。书中对极限的阐述尤其精彩，用图形化的方式展示了“无限接近”的直观感受，而不是仅仅停留在 $epsilon-delta$ 语言的泥沼里。更令人称赞的是，书中的习题设计层次分明，从基础的计算练习到富有挑战性的证明题，形成了一个完整的学习闭环。我特别喜欢它在每章末尾设置的“思维拓展”部分，它引导读者去思考数学概念背后的哲学意义，让我不再仅仅满足于“会做题”，而是开始真正理解“为什么是这样”。对于想打下扎实数学基础，特别是准备攻读理工科研究生的人来说，这本书的价值是无法估量的。

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比同济那本不知高到哪去了

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配套的

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