real analysis with point set topology pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Marcel Dekker Inc

作者:Donald L. Stancl

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页数:287

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isbn号码:9780824777906

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《实数分析与点集拓扑》 这是一本旨在为读者提供坚实数学基础的学术专著，深入探讨了实数分析和点集拓扑这两个核心数学分支。本书的独特之处在于，它不拘泥于传统教材的线性叙事，而是精心编排内容，将抽象的理论概念与严谨的数学证明巧妙地融合在一起，力求在培养读者数学思维的同时，也展现出数学本身的深刻美学。 本书内容概览： 第一部分：实数分析的基石 本部分将带领读者穿越实数系的宏伟世界，从最基础的公理化定义出发，逐步构建起理解微积分和其他高等分析学科所必需的严密框架。 实数系的公理化构造： 我们将从Peano公理出发，逐步构建自然数、整数、有理数，并最终抵达稠密、完备且有序的实数系。这一过程不仅是数系的建立，更是对数学严谨性思维的初步训练。我们将详细讨论等价关系的定义与性质，以及如何利用它们来构建新的数集。 集合论基础： 在进入实数分析的细节之前，我们将简要回顾必要的集合论概念，包括集合的运算、函数、关系的性质（如单射、满射、双射）、以及集合的基数等。这将为后续的证明和概念理解打下坚实基础。 序列与收敛： 序列是实数分析的基石之一。本书将深入探讨序列的定义、性质，特别是极限的概念。我们将用ε-δ语言精确刻画序列的收敛性，并学习证明序列收敛与发散的判别法则，如柯西收敛准则。 函数的极限与连续性： 在序列收敛的基础上，我们将推广到函数的极限。本书将细致讲解函数在一点的极限以及在区间上的极限，并引入连续性的概念。我们将深入探讨连续函数的重要性质，如介值定理（Intermediate Value Theorem）和最值定理（Extreme Value Theorem），并展示这些定理在解决实际问题中的应用。 微分学： 微分是描述变化率的重要工具。我们将严格定义导数，并推导各种求导法则。本书将重点关注导数与函数单调性、极值、凹凸性的关系，并引入泰勒公式（Taylor's Theorem），展示其在函数逼近和误差分析中的强大作用。 积分学： 积分是度量面积和累积量的工具。我们将引入黎曼积分的概念，并讨论可积函数的充要条件。本书将详细阐述微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus），揭示微分与积分之间的深刻联系，并介绍多种积分计算技巧。 序列与级数的收敛： 在此基础上，我们将进一步研究无穷序列和无穷级数的收敛性。读者将学习各种判别级数收敛的方法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法，以及交错级数的收敛性。我们将特别关注幂级数（Power Series）及其收敛半径，并探讨其在函数展开和逼近方面的应用。 第二部分：点集拓扑的抽象维度 本部分将引领读者进入一个更加抽象但也更具普遍性的数学领域——点集拓扑。我们将从最基本的拓扑空间概念出发，探索其结构、性质以及它如何统一和推广分析学中的许多重要概念。 拓扑空间的概念： 本章将从集合上的“开集族”出发，给出拓扑空间的公理化定义。我们将定义闭集、邻域、内点、外点、边界点等基本概念，并探讨它们之间的相互关系。 连续映射与同胚： 在分析学中我们已经接触了连续函数，在这里我们将把连续性的概念推广到拓扑空间之间。本书将定义拓扑空间之间的连续映射，并引入同胚（Homeomorphism）这一核心概念，它代表着两个拓扑空间在拓扑性质上的等价。 可分离性与紧致性： 可分离性（Separability）和紧致性（Compactness）是拓扑空间中两个非常重要的性质。我们将详细讨论第一、第二可数公理，以及度量空间中的可数稠密子集。紧致性的定义将被深入探讨，包括开覆盖定义和序列紧致定义，并证明它们在度量空间中的等价性。我们将深入研究紧致集的性质，例如紧致集上的连续函数仍然是紧致的。 连通性： 连通性（Connectedness）描述了拓扑空间是否可以被“分割”。本书将定义连通空间和路径连通空间，并探讨它们之间的关系。我们将证明，在一个连通空间中，连续映射的像是连通的。 度量空间： 度量空间是拓扑空间的一个重要子类，它赋予了集合上的点之间“距离”的概念。本书将详细讨论度量空间的定义、性质，以及度量诱导的拓扑。我们将深入研究度量空间中的收敛、Cauchy序列、完备性等概念，并展示如何从度量空间的性质推导出更强的拓扑性质。 完备性与收缩映射定理： 完备性在分析学中扮演着关键角色。我们将探讨完备度量空间的定义，并学习如何证明一个度量空间是完备的。在此基础上，我们将介绍收缩映射定理（Contraction Mapping Theorem），并展示它在证明方程解的存在性、唯一性等问题上的强大应用。 紧致度和完备性的联系： 本书还将探讨紧致性和完备性之间的深刻联系，特别是在度量空间中。我们将展示如何利用紧致性来证明一些重要的分析学结果，例如 Heine-Borel定理。 本书的特点： 严谨的证明： 本书每一个定理和重要结论都附有详细、严谨的数学证明，鼓励读者主动思考和理解证明的逻辑链条。 概念的深入剖析： 对于关键的数学概念，本书会从多个角度进行阐释，并通过大量的例子来帮助读者建立直观的理解。 联系与统一： 本书旨在展示实数分析和点集拓扑之间的内在联系，说明点集拓扑如何为分析学的许多概念提供更一般、更深刻的理论基础。 数学思维的培养： 目标不仅仅是传授知识，更重要的是培养读者严谨的数学思维方式、抽象能力和解决问题的能力。 本书适合作为高等院校数学、物理、计算机科学等相关专业本科生和研究生的教材，也是所有对数学理论有浓厚兴趣的读者学习实数分析和点集拓扑的理想读物。通过学习本书，读者将为进一步深入学习高等数学领域打下坚实的基础。

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这本书的排版和插图设计，在我看来，是它的一大亮点，尤其是在处理几何直观和代数形式之间的转换时。虽然核心内容是高度抽象的分析学，但作者巧妙地穿插了一些几何图像和示意图，帮助我们这些视觉型学习者更好地把握那些难以捉摸的数学实体。比如，在讨论度量空间时，那些关于“球体”和“邻域”的描绘，即使在没有明确的欧几里得空间背景下，也能给人提供一个直观的参照系。更让我惊喜的是，它对现代数学的发展脉络也做了一些概述，让我们看到这些看似孤立的理论是如何相互关联、共同构建起现代数学大厦的。这种宏观视野的构建，比单纯堆砌定理和公式要高明得多。每次翻开这本书，我都能感觉到自己不只是在学习知识点，更是在学习一种看待数学问题的独特视角。

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这本书最大的价值，在我看来，在于它对“联系”的强调，它不仅仅是一本关于实分析的教科书，更是一本关于数学思维的入门指南。它成功地将分析学的核心思想——收敛性、可微性——与拓扑学的基本工具——开集、紧致性——紧密地编织在一起，让读者清晰地看到这两大领域如何互相支撑，共同服务于更高级的数学研究。我发现，许多其他教材中被割裂讲解的内容，在这里被有机地统一起来了。这种整合性的编排方式，极大地拓宽了我的知识边界，让我不再将分析和拓扑视为两个独立的学科。阅读这本书的过程，就像是学习一门新的语言，一开始需要适应其独特的语法和词汇，但一旦掌握了其内在的逻辑结构，你就能用它来表达和理解更复杂、更深刻的数学思想。

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我得承认，这本书的难度曲线相当陡峭，对于心智不够成熟或者准备不充分的读者来说，可能会感到挫败。它不是那种可以随便翻阅的读物，它要求读者投入大量的时间和精力去消化每一个符号、每一个断言背后的深刻含义。我尤其想提一下书中关于范数空间和赋范线性空间的那一部分，作者处理得极其严谨，几乎没有给读者的思维留下任何偷懒的空间，要求你必须精确地跟上每一步逻辑跳转。这对我来说，既是挑战也是一种鞭策。通过啃下这部分内容，我感觉自己对数学的“确定性”有了更深的敬畏。它教会我，真正的数学美，往往隐藏在最细微、最不妥协的精确性之中。这本书更像一位严厉的导师，它不会给你廉价的赞美，只会要求你拿出真本事。

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这本书，坦白说，拿到手里的时候我就感觉到了它的厚重感，那种纸张的质感和油墨的气味，都透着一股扎实的学术气息。我一直在寻找一本能够清晰梳理微积分基础、同时又对数学分析的严谨性有深刻阐述的教材，而这本书似乎就是为这个目的而生的。我尤其欣赏作者在引入概念时那种层层递进的逻辑，每一个定理的提出都不是凭空出现的，而是建立在前序知识的基础之上的，这对于初学者来说，无疑降低了理解难度。特别是那些关于极限和连续性的讨论，作者处理得非常细腻，仿佛在引导读者一步步走进数学的殿堂，而不是粗暴地抛出复杂的公式。我花了相当多的时间在那些关于拓扑空间的开集、闭集以及紧致性的章节上，书中的例子丰富多样，让我能够从不同的角度去理解这些抽象的概念。总的来说，这本书的编写风格严谨而不失灵动，非常适合那些希望打下坚实数学基础的读者。

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说实话，这本书的阅读体验有点像攀登一座高山，过程虽然艰辛，但每到达一个平台时，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。它没有选择那种过于通俗易懂的叙述方式，而是直面了实数分析中的核心难点，比如完备性、可测性这些概念。我特别喜欢书中对证明过程的详尽剖析，作者并没有简单地给出结论，而是详细展示了每一步推理背后的动机和逻辑支撑，这对于培养一个数学研究者的思维习惯至关重要。我记得有一次，我被一个关于勒贝格积分的例子卡住了很久，后来翻到书中的一个附注，作者用一个非常巧妙的视角重新诠释了那个场景，瞬间就茅塞顿开。这种不满足于表面解释的深度，是真正区分一本优秀教材和普通参考书的关键所在。对于那些已经有一定基础，想要真正“精通”实分析的人来说，这本书绝对是值得反复研读的宝典。

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