Basic Elements of Differential Geometry and Topology pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:S.P. Novikov

出品人:

页数:490

译者:

出版时间:2010-12-15

价格:USD 189.00

装帧:Paperback

isbn号码:9789048140800

丛书系列:

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• 微分拓扑7
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• 拓扑学
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• 几何学
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《向量微积分与张量分析入门》 本书旨在为读者提供一个坚实的基础，深入理解微积分在多维空间中的扩展，并引入张量分析这一强大的数学工具。它不仅仅是关于公式的堆砌，更是关于如何运用这些工具来描述和分析物理世界中各种复杂的几何现象。 第一部分：多维微积分的基石 我们首先从回顾单变量微积分的核心概念出发，例如极限、连续性、导数和积分。然后，我们将视角转向多维空间。 向量与多维空间： 引入向量的概念，包括其代数运算（加法、减法、标量乘法）和几何意义。我们将探讨向量在二维和三维空间中的表示，以及更一般的高维欧几里得空间。重点讲解向量的长度、方向、点积和叉积，以及它们在几何和物理中的应用。 多元函数： 介绍多元函数及其图形。我们将深入研究多元函数的极限和连续性，为理解导数奠定基础。 偏导数与梯度： 偏导数是研究多元函数变化率的关键。我们将详细讲解偏导数的计算，并引入梯度向量，阐释它指示函数增长最快方向的几何意义。梯度在优化问题和物理场分析中至关重要。 方向导数： 在梯度概念的基础上，我们进一步推广到方向导数，探讨函数沿着任意方向的变化率，这对于理解曲面上的局部形变非常有帮助。 高阶偏导数与海森矩阵： 探讨二阶及更高阶偏导数，并引入海森矩阵。海森矩阵是分析多元函数局部极值（极大值、极小值、鞍点）的重要工具，在优化算法和稳定性分析中有广泛应用。 隐函数定理与反函数定理： 这些定理是理解多变量函数行为的关键。隐函数定理帮助我们处理由方程定义的曲线和曲面，而反函数定理则揭示了局部可逆性的条件。 重积分： 将积分的概念扩展到多维空间。我们将介绍二重积分和三重积分，以及它们在计算面积、体积、质量和质心等几何和物理量中的作用。重点讲解积分区域的变换以及坐标系（如极坐标、柱坐标、球坐标）在简化计算中的应用。 累次积分： 详细讲解累次积分的计算方法，包括积分次序的交换。 雅可比行列式： 在进行多重积分的变量替换时，雅可比行列式扮演着至关重要的角色。我们将深入理解其几何意义，即它表示一个区域在变换下体积（或面积）的变化因子。 第二部分：向量微积分与积分定理 本部分将把导数和积分的概念在向量场的框架下进行统一和深化。 向量场： 引入向量场的概念，即在空间中的每一点都关联一个向量。我们将探讨向量场的表示、散度（divergence）和旋度（curl），以及它们在描述流体流动、电磁场等物理现象中的物理意义。 线积分： 定义沿曲线的线积分，包括标量函数和向量场的线积分。我们将讨论功、质量分布等概念的应用。 格林公式： 连接平面区域上的线积分与区域边界上的线积分。格林公式是向量微积分中的一个基本定理，它简化了许多二维问题的计算，并在面积计算等方面有直接应用。 面积分： 定义在曲面上的面积分，包括标量函数和向量场的面积分。面积分在计算曲面的质量、流量等物理量时非常重要。 斯托克斯公式： 连接曲面上向量场的线积分与曲面上向量场旋度的面积分。斯托克斯公式是三维向量微积分的强大工具，它揭示了旋度与环量之间的深刻联系。 高斯散度定理： 连接一个闭合曲面上的向量场面积分（通量）与由该曲面围成的区域内的向量场散度的体积分。高斯散度定理是描述物理守恒定律（如电荷守恒、质量守恒）的重要理论基础，它将“源”和“汇”的概念与整体流量联系起来。 第三部分：张量分析的初步认识 本部分将引出张量这一更普适的数学对象，为理解更高级的微分几何和拓扑学概念打下基础。 什么是张量？ 从向量和矩阵的推广角度介绍张量的概念。我们将区分张量的阶数（0阶张量是标量，1阶张量是向量，2阶张量是矩阵等）以及共变张量和逆变张量。 张量运算： 介绍张量的加法、减法、标量乘法以及更重要的张量积和缩并（contraction）。这些运算是操纵张量、提取有意义信息的关键。 协变与逆变分量： 详细讲解在不同坐标系下张量分量的变换规则，这是理解张量不变性的核心。 度量张量： 引入度量张量，它定义了空间中的距离和角度。度量张量是黎曼几何的基础，它使得我们能够度量曲面上的长度、面积和体积，并定义曲率。 张量分析在物理中的应用简介： 简要介绍张量分析在广义相对论、连续介质力学（如应力张量、应变张量）等物理学领域中的应用，展示其强大的描述能力。 本书特色： 循序渐进的结构： 从基础的向量和微积分概念开始，逐步引入更复杂的向量微积分和张量分析。 丰富的几何直观： 强调数学概念的几何意义，通过图示和直观的解释，帮助读者建立深刻的理解。 理论与应用相结合： 例子涵盖了物理学、工程学等多个领域的应用，展示数学工具的实际价值。 清晰的数学表述： 严谨的数学推导，但同时注重语言的易读性。 练习题与解答： 每章配有适量的练习题，巩固所学知识，并通过详细解答帮助读者理解解题思路。 本书适合数学、物理、工程等专业的本科生、研究生，以及对向量微积分和张量分析感兴趣的读者。它将帮助您建立坚实的数学基础，为进一步学习微分几何、微分拓扑、广义相对论等高级课程做好准备。

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这本书的封面设计简约却极富现代感，那种深邃的蓝色调和抽象的几何图形组合在一起，立刻就给人一种专业且严谨的学术氛围。我是在一次非常偶然的机会下接触到这本书的，当时我正在为我的硕士阶段学习寻找一本合适的入门教材，对于那些晦涩难懂的现代数学概念，我一直抱有一种既期待又畏惧的心情。这本书的排版非常清晰，字体选择得当，大量的图示和示意图穿插在文字中间，使得原本抽象的拓扑空间和微分流形的概念变得相对直观可感。作者在引入基础概念时，并没有急于展示复杂的定理和证明，而是花了大量篇幅来建立几何直觉，这对于初学者来说至关重要。比如，在讲解流形（Manifold）的概念时，作者用到了很多日常生活中可以观察到的例子，比如球面、圆环面等，然后逐步抽象到更高维度的结构，这种循序渐进的讲解方式极大地降低了我的畏惧感。此外，书中对一些核心概念，如微分形式（Differential Forms）和外代数（Exterior Algebra）的介绍，也做得非常扎实，为后续深入学习广义相对论或纤维丛理论打下了坚实的基础。阅读过程中，我时常感觉到作者在试图搭建一座桥梁，连接代数结构和几何直感，这种平衡感在同类书籍中是相当难得的。

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这本书的语言风格是沉稳、内敛而又充满自信的，没有丝毫的浮夸或故作高深。它似乎在说：“这些概念本身已经足够美妙，我只需要清晰地把它们呈现给你。”作者很少使用过多的修饰词汇，每一个句子都旨在传递信息，但却奇妙地避开了机械的刻板印象。在处理完一个相对复杂的主题后，作者总会安排一个简短的总结段落，用几句话提炼出本章节的核心思想和它在整个理论体系中的位置，这种“提纲挈领”的做法极大地帮助了我巩固学习成果，防止在后续阅读中遗忘前置知识。特别是当涉及到需要一定抽象思维才能把握的拓扑不变量时，作者会反复强调“不变性”的意义——即无论我们如何形变空间，这些量值依然保持不变，从而凸显了它们作为分类工具的威力。这本书的权威性不言而喻，它成功地将本科高年级和研究生初期的知识体系进行了无缝衔接，使得阅读体验连贯且富有启发性，是一部值得反复研读的经典之作。

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从实用的角度来看，这本书的参考价值非常高，不仅仅是作为一门课程的教材。我发现自己经常在查阅特定定义或定理的严谨表述时翻阅它。与其他同类书籍相比，它在细节的严密性上做得非常出色。例如，在定义切丛（Tangent Bundle）和向量场时，作者非常谨慎地使用了局部坐标系和坐标变换来确保定义在流形上的坐标选择无关性，每一步的逻辑推导都环环相扣，几乎没有跳跃。对于那些需要进行严格数学推导的研究生来说，这种精确性是无可替代的。虽然它并非一本专注于应用的书籍，但它对基本构造的扎实处理，间接为理解更高级的应用领域（如流体力学中的微分形式应用，或更广义的几何物理）提供了坚实的基础。书中对“泛函导数”和“变分原理”的初步介绍，也展现了作者对数学与其他科学交叉领域的深刻洞察力，它暗示了这些抽象工具在解决实际问题中的强大潜力，激发了我进一步探索的兴趣。

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我发现这本书在处理“拓扑”这一分支时，展现出了一种罕见的清晰度和深度。通常，许多教材在拓扑部分会显得仓促或过于侧重代数处理，而忽略了拓扑空间本身的直观感受。然而，这本书在介绍基本拓扑结构时，花了大量的篇幅来讨论开集、闭集、紧致性以及连通性的几何意义。作者非常注重“邻域”这个基础概念的细致刻画，通过大量的二维和三维空间的例子来展示不同拓扑结构之间的微妙差异。尤其令人印象深刻的是它对同胚（Homeomorphism）的讨论，作者没有止步于形式化的定义，而是通过各种形变的例子（比如咖啡杯和甜甜圈的类比）来阐释这种“结构保持”的本质。这种对直观理解的尊重，对于我这种需要将数学应用于物理模型的学习者来说，简直是救星。此外，书中对基本群（Fundamental Group）的介绍也颇具匠心，它没有直接跳到复杂的同伦等价，而是从“圈子”的缠绕数开始，逐步建立起群论的联系，使得读者能够真正感受到这个代数工具是如何从几何问题中自然“生长”出来的。

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这本书的叙事节奏把握得非常到位，丝毫没有传统教科书那种干巴巴的、只有公式堆砌的感觉。它更像是一位经验丰富、耐心十足的导师在与你进行一对一的深度交谈。最让我欣赏的是它对历史脉络的梳理。作者并没有将数学概念视为凭空出现的真理，而是巧妙地穿插了黎曼、庞加莱等先驱们的思想演变过程。了解了某个概念是如何在历史的长河中被逐步打磨和完善的，有助于读者更好地理解其内在的逻辑必然性。例如，在介绍张量分析时，它详细阐述了从经典物理学中张量概念的初步萌芽，到微分几何中张量场的正式建立，这种“由旧到新”的叙述，让概念的引入显得水到渠成，而不是生硬地抛出一个定义。另外，书中的习题设计也十分巧妙，它们并非只是简单地检验读者是否记住了公式，更多的是引导你去探索概念的边界和应用场景。有些习题甚至需要结合代数拓扑的基本知识去思考，极大地拓宽了我的视野，迫使我不能只停留在表面的计算，而必须深入到概念的本质。总体来说，这本书读起来是一种享受，它将枯燥的数学概念赋予了鲜活的生命力。

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