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出版者:The Mathematical Association of America

作者:H. S. M. Coxeter

出品人:

页数:354

译者:

出版时间:1998-9-17

价格:USD 42.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780883855225

丛书系列:Spectrum Series

图书标签:

• 数学
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《非欧几何》 《非欧几何》是一部探索数学领域最深刻、最具颠覆性思想的著作。它并非仅仅是一本关于抽象概念的书籍，而是一次深入人类思维边界的旅程，揭示了我们对空间和现实的理解并非一成不变，而是可以被突破和拓展的。 本书的核心在于对欧几里得几何体系的挑战与超越。自古希腊时期以来，欧几里得的《几何原本》便被奉为真理的典范，其公理系统——特别是第五公设（平行公设）——似乎是无可置疑的基石。然而，正是对这个看似不证自明的公设的质疑，催生了革命性的非欧几何。 《非欧几何》将带领读者踏上一条严谨而引人入胜的探索之路。我们将从回顾欧几里得几何的严密结构开始，理解其公理系统的精巧与力量。在此基础上，本书将深入剖析平行公设的特殊地位，探讨历史上数学家们试图证明它或寻找其替代方案的曲折历程。 接着，我们将进入非欧几何的“禁区”。本书将详细介绍两种主要的非欧几何体系：黎曼几何（球面几何）和双曲几何（罗巴切夫斯基几何）。 在黎曼几何的部分，我们将看到一个完全不同的空间模型。在这个模型中，平行线并不存在，任何两条直线都会相交（如同球面上的大圆）。我们将学习如何在这个“弯曲”的空间中定义点、线、三角形，以及它们的角度和面积。本书将通过直观的类比和严谨的数学推导，帮助读者理解球面上的“直线”（大圆）概念，以及三角形内角和大于180度的奇特现象。我们将看到，即使空间曲率是正的，几何的逻辑依然可以保持一致。 双曲几何的部分则展现了另一种截然不同的现实。在这个模型中，过直线外一点可以作无数条平行线。我们将探索这个“负曲率”空间，理解其独特的几何性质。本书将详细介绍双曲几何中的直线、三角形，特别是其内角和小于180度的特点。我们将通过模型（如庞加莱圆盘模型或克莱因模型）来可视化这些抽象的概念，体验在双曲空间中描绘图形和进行度量的挑战与乐趣。 《非欧几何》的价值远不止于数学理论本身。它深刻地影响了我们对宇宙的认知。《非欧几何》将详细阐述爱因斯坦的广义相对论与黎曼几何之间的深刻联系。读者将了解到，我们所处的宇宙并非一个平坦的欧几里得空间，而是受引力影响而弯曲的时空。本书将揭示，理解非欧几何是理解现代物理学，尤其是宇宙学和天体物理学的关键。 此外，本书还将探讨非欧几何在其他领域的潜在影响，例如在计算机图形学、艺术和哲学中的应用。它会引发读者对“实在”本质的思考：我们所感知的空间是唯一的真实空间吗？数学的真理是否独立于我们的直觉？ 《非欧几何》以清晰的语言、严谨的逻辑和丰富的示例，将复杂的数学概念变得易于理解。它适合任何对数学、物理学、宇宙学以及人类思维的极限感兴趣的读者。阅读本书，不仅是对一项数学分支的深入了解，更是对我们看待世界方式的一次深刻的重塑。它将挑战你的直觉，拓展你的视野，让你体会到数学之美，以及人类探索未知的不懈精神。 本书并非仅仅是公式的堆砌，而是思想的火花，是逻辑的舞蹈，是通往更广阔数学宇宙的指南。它将带领你走出熟悉的天地，进入一个充满惊奇和可能性的全新领域。

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这本书的行文风格带着一种古典的、沉稳的魅力，读起来让人感觉仿佛回到了那个思想碰撞激烈的时代。它没有太多花哨的语言修饰，一切都服务于精确的逻辑传达。最吸引我的是作者对不同非欧几何模型的对比分析，特别是莫比乌斯变换在其中扮演的角色，作者对这个工具的运用简直是大师级的。我花了好大力气去理解那些关于测地线和曲率张量的描述，感觉自己像是在攀登一座知识的高峰。当最终领悟到这些抽象概念如何在物理学，比如广义相对论中得到体现时，那种豁然开朗的喜悦是无与伦比的。这本书的价值不仅在于传授知识，更在于培养一种严谨的、批判性的数学思维。它不是那种让你快速浏览一遍就能“掌握”的书，它需要时间去沉淀、去咀嚼。那些复杂的证明过程，每一次重新审视，都能发现新的层次和更巧妙的结构。

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说实话，这本书的深度远超我的预期，它更像是一本严谨的学术论著而非面向大众的科普读物，这对我来说既是惊喜也是挑战。作者在引述历史背景时，对那些关键数学家的思想演变脉络梳理得一丝不苟，让你清晰地看到非欧几何是如何在逻辑的十字路口艰难诞生。我特别留意了关于双曲几何中面积与三角形内角和关系的探讨，那段论述的严密性令人叹服，每一个定理的引入都像是精心放置的基石，没有丝毫的松动。不过，我必须坦诚，对于没有扎实微积分基础的读者来说，某些章节的阅读体验可能会略显吃力，需要反复研读和对照参考资料。即便如此，这本书的价值依然是无可替代的，它提供了一种看待几何学——乃至整个数学体系的全新视角。它强迫你质疑那些被视为“理所当然”的公理，这种挑战传统思维的勇气和能力，是衡量一本优秀数学著作的重要标准，而这本书完美地做到了这一点。

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我向来对那些试图用过于简化的语言来“稀释”复杂数学概念的书籍感到不屑，而这本《Non-Euclidean Geometry》恰恰是反其道而行之的典范。它毫不退缩地呈现了非欧几何的全部复杂性和美感。阅读过程中，我不得不频繁地使用笔记本，记录下那些关键的定义和反例，这本身就是一种积极的互动过程。特别值得称赞的是，作者在探讨几何模型的内在一致性时所采取的方法论，那种层层递进、步步为营的论证方式，极大地提升了我的数学素养。这本书让我深刻认识到，几何学远不止于我们日常所见的平面和立体，而是一个充满可能性的无限探索场域。那些关于拓扑学边缘的探讨，虽然篇幅不多，却为后续的学习指明了方向。如果你寻求的是一次智力上的酣畅淋漓的挑战，而不是轻松的阅读体验，那么这本书绝对是你的首选。

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从装帧和设计上讲，这本书的质感非常棒，拿在手里就有一种分量感，这很契合其内容的厚重。内容上，我发现作者在处理基础概念的引入时，采取了一种非常“反直觉”但又极其有效的路径。比如，它并没有一开始就急于展示各种奇特的几何图形，而是先从公理系统的脆弱性入手，这种由内而外的瓦解，使得读者更容易接受非欧几何的必然性。书中对射影几何的介绍部分尤为精彩，它巧妙地将看似无关的欧氏几何概念串联了起来，形成了一个更宏大的框架。我个人最喜欢的是，它没有将非欧几何视为一个孤立的分支，而是将其置于整个数学史和现代物理学的背景下进行考察，这使得知识点之间的关联性极强。读完之后，我对“真理”的相对性有了更深一层的理解，这本书不仅是一本几何学教材，更是一部关于数学哲学思考的佳作。

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这本书简直是数学爱好者们的福音，内容编排得极其精妙，逻辑的推进简直如同艺术品一般流畅。作者在开篇就构建了一个非常直观的语境，让你能迅速抛弃掉那些陈旧的欧几里得式思维定势。我尤其欣赏作者在讲解那些抽象概念时所采用的类比手法，特别是关于平行线公理的讨论，简直是拨云见雾。初读时，我曾担心那些高深的数学符号会成为阅读的障碍，但事实证明，作者的讲解深入浅出，每一步的推导都留有足够的“呼吸空间”，让读者能够消化吸收。读到关于黎曼几何那一部分时，我甚至感到一种宇宙尺度的震撼，仿佛真的能触摸到更高维度的曲率变化。这本书的排版也十分考究，图示清晰，有助于理解复杂的空间结构。对于任何希望拓宽数学视野，尤其是对空间本质持有好奇心的人来说，这本书是不可多得的珍宝，它不仅仅是在介绍一种数学分支，更是在重塑你对“直线”、“平面”乃至“宇宙”的根本认知。那种思维被彻底解放的感觉，是阅读其他纯数学书籍难以比拟的。

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