古典数学难题与伽罗瓦理论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:复旦大学出版社

作者:徐诚浩

出品人:

页数:164

译者:

出版时间:1986

价格:1.35

装帧:850×1168 1/32

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《数海拾遗：现代代数与数论的前沿探索》 本书简介 本书旨在为对数论、代数拓扑、以及更广泛的数学结构充满热情的读者提供一次深入而富有启发性的旅程。我们聚焦于从基础概念出发，逐步构建起理解现代数学核心分支的知识框架，尤其侧重于那些在近现代数学发展中扮演了关键角色的理论体系。 第一部分：数论的深度剖析 第一章：初等数论的再审视与狄利克雷的遗产 本章从整数的独特结构出发，回顾素数分布的奥秘，不仅仅停留在欧几里得的经典证明，而是深入探讨切比雪夫的成果，以及对素数定理的现代推导。我们将详细考察狄利克雷对算术级数中素数分布的开创性工作，引入$L$函数作为分析工具的基础。这里的重点在于理解函数域与数域之间的类比性思维如何指导数论的发展。我们会精心构建狄利克雷特征的构造过程，并展示如何利用这些工具来严格证明算术级数中无穷多素数的存在性，这为后续更高级理论（如解析数论）奠定了不可或缺的基础。 第二章：代数数论的基石：域扩张与理想 代数数论是连接代数与数论的桥梁。本章将详细阐述域扩张的概念，从最基础的伽罗瓦扩张过渡到更一般的域扩张。我们不再仅仅满足于高斯整数 $mathbb{Z}[i]$ 的性质，而是将视野扩展至一般的代数整数环 $mathcal{O}_K$，其中 $K$ 是一个数域。重点将放在理想的引入和其在环 $mathcal{O}_K$ 中的重要性，解释为什么引入“理想”的概念是必要的——它解决了唯一分解问题的困难。我们会深入分析理想的唯一分解定理，以及如何通过类数（Class Number）来量化这种分解失败的程度。拉格朗日的平方和定理和费马大定理的历史背景将被引入，作为激励代数数论发展的具体问题。 第三章：解析数论的宏伟蓝图 解析数论将微积分的强大工具引入数论的离散世界。本章将聚焦于黎曼$zeta$函数的性质，从其欧拉乘积公式的推导，到其在复平面上的解析延拓。我们将详细剖析黎曼在素数计数函数 $pi(x)$ 估计上的突破，特别是其与$zeta$函数零点分布的深刻联系。我们不会回避复分析中的核心技术，如积分变换和留数定理，并展示它们如何被用来精确地估计素数分布的误差项。本章的难点在于对黎曼猜想的讨论——虽然不寻求证明，但会清晰地阐述该猜想的精确表述、其对数论中许多其他结论的决定性影响，以及当前研究的几个主要方向。 第二部分：现代代数结构的深度探究 第四章：群论的深化：表示论的引入 群论是理解对称性的语言。本章超越了简单的有限群的分类，开始探讨群表示论。我们将从线性代数出发，定义群作用在向量空间上的表示，并引入特征标（Character）的概念。重点是费希特（Fowler）理论的基础——如何通过特征标来分解一个表示为不可约表示的直和。我们还将探讨有限群的表示论如何与数论中的某些结构（如二次型）相互关联。本章的难点在于抽象性和构造性之间的平衡，通过具体的例子（如对称群 $S_n$ 和二面体群 $D_n$）来阐明表示论的威力。 第五章：环论与模论：超越多项式环 环理论是理解代数结构的核心。本章将深入研究交换环的结构，超越熟悉的有理数域或实数域上的多项式环。我们将详细介绍诺特环（Noetherian Rings）的概念，并展示其在理想论中的重要性，这与第一部分中的代数整数环的性质紧密相关。模（Modules）作为向量空间的推广，将在本章占据中心地位。我们将讨论自由模、投射模和内射模，并阐明这些概念在研究环结构时的分类作用。霍普夫代数（Hopf Algebras）的初步概念可能会被简要提及，作为理解代数与代数拓扑交汇点的预备知识。 第六章：范畴论的视角：统一数学语言 范畴论提供了一个高层次的视角来统一不同的数学分支。本章将介绍范畴、函子、自然变换等基本概念。重点在于理解函子如何“翻译”一个数学结构到另一个结构中，从而揭示它们之间的深层同构。我们将特别关注“极限”和“余极限”的概念，并展示它们在群、环、拓扑空间等不同背景下的具体体现。通过范畴论的工具，读者将能更清晰地认识到代数几何、代数拓扑乃至逻辑学之间存在的普遍联系，为后续进入更专业的领域做好认知准备。 总结 本书的编写风格力求严谨而不失流畅，旨在培养读者独立思考和构建抽象模型的能力。每一章的内容都建立在前一章的基础上，形成一个逻辑严密的知识链条。我们相信，对这些复杂而优美的理论体系的深入掌握，是未来在纯数学或理论物理领域取得突破性进展的关键。本书面向具有坚实微积分和线性代数基础的数学专业学生以及严肃的数学爱好者。

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我对书中关于群论基础的阐述方式印象尤为深刻。作者似乎深谙“授人以渔”的道理，他没有直接跳到“正规子群”和“商群”这些高阶概念，而是先花了大量篇幅解释“对称性”在不同数学对象中的体现。例如，通过讲解晶体结构和几何变换，来形象化“群”的概念。当引入“置换群”时，作者并没有采用矩阵表示法，而是更倾向于使用集合论的语言和图论的视角来描述元素的“操作”和“影响”，这使得抽象的“群作用”变得可感可知。特别是涉及到伽罗瓦群的定义时，作者的描述不再是教科书式的僵硬定义，而是强调了它作为“域扩张的自同构群”所扮演的“守卫者”角色，保护着代数结构的内在联系。书中对“阿贝尔群”和“非阿贝尔群”的区分，也处理得非常细致，通过具体的例子展示了操作顺序不同带来的截然不同的结果，这种对比有力地支撑了后面关于“可解群”的讨论。

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总而言之，这本书成功地架起了一座桥梁，连接了古典数学的直观魅力和现代代数理论的抽象深度。我个人最欣赏的一点是，它对“可解性”的讨论，不仅仅停留在技术层面的判断上，而是深入挖掘了其背后的结构原因——即群的结构是否足够“简单”才能被分解为一系列可控的步骤。作者通过巧妙地将抽象的群论与具体的方程求解问题交织在一起，使得理论不再是空中楼阁，而是有着坚实应用基础的工具。阅读完后，我不仅对伽罗瓦的伟大思想有了更深刻的理解，也对数学发展史上的几次重大范式转换有了更宏观的认识。对于任何希望从普通代数爱好者进阶到能理解现代数学思想的读者来说，这本书无疑是一部极具启发性和指导意义的佳作，它不仅传授知识，更传递了一种探索真理的科学精神。

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这本书的封面设计得相当有质感，硬壳装帧，色调沉稳，一看就让人联想到严谨的学术氛围。内页的纸张质量也很好，印刷清晰，字体排版合理，阅读起来非常舒适，即便长时间盯着复杂的公式和证明也不会觉得眼睛干涩疲劳。对于我这种对手写体或者排版混乱的书籍比较敏感的读者来说，光是这一点就大大提升了阅读体验。作者在引言部分对“古典数学难题”的界定非常清晰，没有使用晦涩难懂的术语，而是用一种平易近人的口吻，勾勒出了历史上那些令人神往的未解之谜。比如，像三次方程的求根公式是如何被发现的，圆周率的超越性是如何被证实的，这些早期探索的脉络梳理得非常到位，让人能感受到数学家们在面对看似无解的难题时那种百折不挠的探索精神。我特别欣赏作者在叙述历史背景时，没有仅仅停留在公式的罗列上，而是穿插了许多关于数学家个人生平的小故事，这使得原本冰冷的数学概念变得鲜活起来，不再是孤立的符号堆砌，而是与人类智慧的火花紧密相连。

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本书的语言风格在不同章节之间展现出惊人的变化，这可能是我阅读过程中感受到的最大惊喜之一。在讲述早期的几何与数论问题时，文字是充满浪漫色彩和哲思的，读起来像是哲学家的随笔，充满了对未知的好奇与敬畏。然而，一旦进入到伽罗瓦理论的核心证明阶段，笔锋骤然转向犀利和精确，逻辑链条如同精密仪器般严密，每一个推导都无可指摘，充满了数学家特有的简洁和力量感。比如在证明“五次及以上方程没有代数解”的关键环节，作者运用了非常精炼的语言来阐述根式解的限制性，那种“到此为止”的决断感令人震撼。书中对“有限域”的介绍部分，处理得也相当高明，它没有把读者丢进数论的泥潭，而是将其视为理解伽罗瓦扩张理论的必要工具，解释得清晰明了，仿佛在说服你，这是理解大厦顶层的必经之路。

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这本书的结构安排极具匠心，它并没有一上来就抛出伽罗瓦理论的深奥内涵，而是像一位耐心的向导，引导读者逐步深入。前三分之一的内容聚焦于多项式方程的根式解历史，从毕达哥拉斯学派的神秘主义到文艺复兴时期意大利数学家的激烈竞争，描绘了一幅宏大的历史画卷。这种循序渐进的方式对于我这种数学基础尚可，但对高等代数接触不深的人来说，简直是福音。作者很巧妙地将求解三次、四次方程的解析方法穿插在历史叙事中，让我能清晰地看到人类尝试用传统方法解决所有代数问题的努力是如何走向尽头的。这种“失败的尝试”的记录，恰恰是为了凸显伽罗瓦工作的革命性。作者在介绍置换群的概念时，所使用的类比和图示非常直观，似乎能触摸到抽象群论的实体，避免了纯粹依赖抽象定义带来的认知障碍。可以说，光是前面对“为什么需要伽罗瓦理论”的铺垫，就已经值回票价了。

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非常细腻，只是引理太多了点~

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鲁菲尼、阿贝尔、伽罗瓦，抽象代数三巨头！！

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