Pseudo-Differential Operators and Related Topics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Boggiatto, Paolo; Rodino, Luigi; Toft, Joachim

出品人:

页数:250

译者:

出版时间:

价格:$ 190.97

装帧:

isbn号码:9783764375133

丛书系列:

图书标签:

• 伪微分算子
• 泛函分析
• 调和分析
• 偏微分方程
• 数学物理
• 谱理论
• 奇异积分
• 傅里叶分析
• 算子理论
• 函数空间

数学前沿：伪微分算子及其相关研究 数学的深邃殿堂中，伪微分算子（Pseudo-Differential Operators, P.D.O.s）如同璀璨的宝石，以其强大的理论框架和广泛的应用前景，吸引着一代又一代数学家的目光。它们是微分算子概念的自然推广，能够描述更广泛的数学和物理现象，尤其在偏微分方程、调和分析、量子力学等领域扮演着至关重要的角色。本书旨在深入探索伪微分算子及其相关的核心理论和前沿研究，为读者提供一个全面而深刻的理解。 一、 伪微分算子的基本理论 本书的开篇将带领读者走进伪微分算子的世界。我们将从其基本定义和性质入手，阐述如何将传统微分算子进行推广，使其能够处理具有更一般奇异性的函数和分布。这包括对符号类（symbol classes）的详细介绍，例如Hörmander的$S^m_{ ho,delta}$类，它们刻画了算子核心——“符号”的增长性和光滑性，是理解伪微分算子性质的关键。我们将深入研究这些符号类在乘法、复合和伴随运算下的封闭性，以及它们如何决定算子的主要性质，如范数估计和正则性提升。 二、 伪微分算子的应用：偏微分方程的分析 伪微分算子的强大威力最直观地体现在其在偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）分析中的应用。本书将重点探讨如何运用伪微分算子理论来研究经典和现代的PDEs。 椭圆型方程的正则性理论： 对于薛定谔方程、拉普拉斯方程等椭圆型方程，伪微分算子提供了分析其解的正则性的有力工具。通过将算子转化为伪微分算子的形式，我们可以利用其在Besov空间或Hölder-Zygmund空间上的有界性，证明解在不同空间上的光滑性，这对于理解解的性质和数值方法的收敛性至关重要。我们将详细介绍Hörmander关于椭圆型方程的经典结果，以及后续的进一步发展。 抛物型和双曲型方程的初边值问题： 对于演化方程，如热方程和波动方程，伪微分算子同样能够提供深刻的洞察。我们将分析如何使用伪微分算子来构造和研究其解的初边值问题。通过引入时间相关的符号类和利用算子在时间-空间中的作用，我们可以研究解的初值对最终解的影响，以及算子在不同时间点的行为。这包括对能量估计和解的渐近行为的分析。 拟线性方程和奇性问题： 许多重要的PDEs并非线性的，它们的研究难度更大。本书将介绍如何将伪微分算子技术推广到拟线性方程。这可能涉及迭代方法、不动点定理以及对非线性项的精细估计。此外，我们将探讨伪微分算子在处理具有奇点的PDEs方面的能力，例如涉及奇点解或算子本身在某些点上退化的情形。 三、 伪微分算子与调和分析的交汇 调和分析是数学中一个极其活跃的分支，而伪微分算子与调和分析的研究有着天然的联系。 Littlewood-Paley分解与原子分解： 伪微分算子在Littlewood-Paley理论和原子分解理论中扮演着核心角色。算子的符号性质直接对应于其在不同频率段上的分解。我们将展示如何利用算子将函数或分布分解为一系列具有不同尺度和位置的“原子”，以及这如何帮助我们理解函数的局部和整体性质。 算子内插理论： 算子内插是调和分析中的一个重要技术，用于证明算子在不同Banach空间上的有界性。伪微分算子作为一类重要的算子，其内插性质的研究对于扩展其应用范围至关重要。我们将介绍内插定理在伪微分算子理论中的应用，例如证明算子在Besov空间和Triebel-Lizorkin空间上的有界性。 多线性伪微分算子： 传统的伪微分算子是线性的，但许多重要的数学和物理问题涉及非线性算子。多线性伪微分算子是线性伪微分算子向多变量函数的推广，它们的分析更加复杂，但能够处理更广泛的问题，例如非线性薛定谔方程等。我们将介绍一些基本的多线性伪微分算子的构造和性质。 四、 伪微分算子的现代发展与前沿 伪微分算子的理论仍在不断发展，新的研究方向不断涌现。 多重尺度分析与Littlewood-Paley理论的深化： 现代多重尺度分析在信号处理、图像分析等领域发挥着重要作用。本书将探讨伪微分算子在构建多分辨率分析框架中的作用，以及Littlewood-Paley理论如何被用于分析更复杂的函数空间和算子。 量子伪微分算子： 在量子力学和量子信息理论中，伪微分算子具有重要的地位。例如，Wigner函数和Weyl变换就是基于伪微分算子的一种量子化方法。我们将探讨伪微分算子在描述量子态、演化以及量子测量过程中的应用。 概率与伪微分算子： 随机过程的分析，特别是具有非局部相互作用的随机过程，往往需要用到伪微分算子。例如，分数阶布朗运动等概念就与伪微分算子有着密切的联系。我们将介绍伪微分算子在分析随机偏微分方程（Stochastic Partial Differential Equations, SPDEs）中的应用。 谱分析与近似： 伪微分算子的谱（eigenvalues and eigenfunctions）性质对于理解其行为至关重要。我们将讨论如何利用伪微分算子理论来近似计算算子的谱，以及这些近似在物理模型和数值计算中的应用。 非交换分析与伪微分算子： 近年来，非交换几何和非交换分析的研究吸引了越来越多的关注。伪微分算子在非交换框架下的推广和研究，为理解非交换空间上的几何和分析性质提供了新的视角。 五、 伪微分算子的工具箱 在深入研究理论的同时，本书还将为读者提供一系列重要的分析工具和技巧。 傅里叶分析基础： 傅里叶变换是理解伪微分算子不可或缺的基础。我们将回顾傅里叶变换在Schwartz空间、L^p空间和分布空间上的性质。 Banach空间理论： 伪微分算子通常作用于各种Banach空间，如L^p空间、Sobolev空间、Besov空间和Triebel-Lizorkin空间。本书将提供必要的Banach空间理论背景。 分布论（Theory of Distributions）： 伪微分算子能够处理比连续函数更广泛的对象，分布论是理解这些对象的语言。我们将介绍分布的定义、运算以及它们在伪微分算子理论中的作用。 嵌入定理和迹定理： 这些定理描述了不同函数空间之间的关系，对于分析算子在不同空间上的作用至关重要。 结论 本书将通过严谨的数学推导、清晰的逻辑结构和丰富的例证，引导读者穿越伪微分算子研究的广阔天地。从基本概念到前沿应用，从理论推演到实际工具，我们力求为读者构建一个坚实的知识体系。无论您是数学专业的研究生、博士后，还是对偏微分方程、调和分析、数学物理等领域感兴趣的学者，相信本书都能为您提供宝贵的学习资源和研究启示。通过对伪微分算子及其相关领域的深入探索，我们希望能激发读者对数学深层结构的探求，并为解决实际问题提供强大的理论支撑。

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