Diophantine Approximation on Linear Algebraic Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Waldschmidt, Michael; Waldschmidt, Michel;

出品人:

页数:659

译者:

出版时间:

价格:1660.00元

装帧:

isbn号码:9783540667858

丛书系列:

图书标签:

• Diophantine approximation
• Linear algebraic groups
• Number theory
• Algebraic geometry
• Arithmetic geometry
• Transcendental number theory
• Heights
• Subgroups
• Measure theory
• Dynamics

《丢番图逼近在代数群上的研究》 引言 数学，这门研究数量、结构、空间和变化等抽象概念的科学，其魅力在于其深刻的内在逻辑和不断拓展的边界。在数学的众多分支中，数论与代数几何的交汇点，特别是关于代数群的研究，一直以来都是数学家们探索的沃土。丢番图逼近，作为数论的一个经典领域，其核心在于用有理数去逼近实数，其研究对象从简单的实数延伸至更抽象的代数结构，将为我们理解和解决一系列深刻的数学问题提供新的视角和强大的工具。 本书《丢番图逼近在代数群上的研究》正是这样一部聚焦于这一前沿领域的学术专著。它深入探讨了丢番图逼近的理论如何被巧妙地应用于代数群的结构和性质的研究中，揭示了两个看似独立的数学领域之间深层次的联系。本书旨在为研究者和高年级学生提供一个全面而深入的理论框架，让他们能够掌握使用丢番图逼近方法来分析代数群的最新进展。 第一章：基础概念的回顾与铺垫 为了使本书的读者能够顺利地进入到核心的研究内容，第一章将从最基础的概念出发，系统地回顾和梳理必要的背景知识。 数论基础： 我们将首先回顾丢番图逼近的基本思想，包括狄利克雷逼近定理、连分数理论及其在逼近实数方面的基本应用。我们将强调这些概念的直观意义以及它们在早期数论研究中的重要地位。此外，本书还将触及一些更高级的数论概念，如代数数、整环和理想论，这些概念将为后续讨论代数数域上的逼近问题奠定基础。 代数群的入门： 紧接着，我们将介绍代数群的基本定义和分类。代数群可以被理解为既是代数簇又是群的结构，它将代数几何的几何直觉与群论的代数结构相结合。我们将介绍一些重要的代数群，如一般线性群 $GL_n$、特殊线性群 $SL_n$、正交群 $O_n$ 和辛群 $Sp_{2n}$ 等，并简要说明它们在数学和物理学中的应用。我们将侧重于代数群作为一种几何对象的性质，例如其维度、连通性和有理点集。 范畴论的视角： 在现代数学研究中，范畴论提供了一种统一的语言来描述不同数学结构之间的关系。本书将适时引入范畴论的一些基本概念，如函子、自然变换和等价，以帮助读者理解代数群的范畴及其与特定数学对象的对应关系。这将为更抽象的研究奠定必要的基础。 第二章：丢番图逼近在代数簇上的推广 丢番图逼近最初关注的是对实数或代数数的逼近。本书将逐步将这一概念推广到更一般的代数簇上。 代数簇上的点与逼近： 我们将探讨在代数簇（例如，由多项式方程定义的几何对象）上的点集，特别是其有理点集。丢番图逼近在代数簇上的研究，可以理解为用代数簇上有理点的“逼近”其他点（例如，通过特定嵌入的实点或复点）。本书将引入“代数逼近”的概念，即使用代数簇上的有理点去逼近该簇上的其他点，特别是在几何意义下的逼近。 代数簇的结构与逼近的联系： 我们将分析代数簇的几何结构，如其维度、光滑性、奇点以及其上定义的向量丛等，是如何影响其上点集的可逼近性的。例如，光滑代数簇上的点可能比具有复杂奇点的点更容易被逼近。本书将深入探讨代数簇的性质，例如其亏格、基本群等，与点集逼近性质之间的深层联系。 经典结果的延展： 将回顾和分析一些将丢番图逼近的思想推广到代数簇上的经典成果，为后续的研究建立理论基石。这将包括对射影空间上的点进行逼近的初步尝试，以及对某些特定代数簇（如超椭圆曲线）的逼近性质的研究。 第三章：代数群上的丢番图逼近：核心理论 本章是本书的核心，将系统地阐述丢番图逼近理论在代数群上的具体应用和发展。 代数群上的有理点集： 我们将聚焦于代数群的有理点集。代数群上的有理点集具有群结构，这使得我们可以利用群的性质来研究逼近问题。例如，我们可以研究由某个特定有理点出发，通过群运算可以“到达”簇上的哪些区域。 代数群上的“距离”与逼近： 在代数群的框架下，如何定义“逼近”是一个关键问题。本书将介绍不同的“距离”或“度量”的概念，这些概念可以量化代数群上两个点之间的“接近程度”，从而使得丢番图逼近的定义在代数群上具有意义。这可能涉及到范数、代数范数或与代数簇结构相关的度量。 作用与逼近： 代数群的一个重要特征是它可以在代数簇上作用。本书将研究代数群的作用如何影响其上的点集的逼近性质。例如，如果一个代数群作用在一个代数簇上，那么该作用是否能够“压缩”或“扩展”逼近的区域？我们将深入研究这种作用与逼近之间的相互作用。 具体代数群的分析： 我们将选择一些重要的代数群，如一般线性群 $GL_n$、托里自守群（Tori）等，并分析在这些群上，丢番图逼近理论的具体表现。例如，对于 $GL_n(mathbb{Q})$ 在 $GL_n(mathbb{R})$ 中的逼近，或者在某些代数域上的托里群中的逼近。 第四章：代数群上的丢番图逼近的进阶主题 在前一章建立的基础之上，本章将进一步深入探讨代数群上丢番图逼近的一些更复杂和前沿的主题。 代数子群与逼近： 代数群的子群结构对理解其性质至关重要。本书将研究代数子群，特别是那些具有重要性质的子群（如 $p$-子群、通勤子群等），它们如何影响代数群整体的点集逼近性质。例如，一个代数群是否可以被分解为更小的、具有不同逼近性质的子群的“组合”？ p-adic 代数群与逼近： 除了实数域和复数域上的代数群，p-adic域上的代数群也是研究的重要对象。本书将探讨p-adic域上的代数群，以及在这些域上的丢番图逼近问题，这将为我们提供一种不同的视角来理解代数结构。 代数几何工具的应用： 我们将更深入地介绍一些高级的代数几何工具，例如栈（stacks）、拟粘性（sheaves）等，以及如何将这些工具应用于研究代数群上的逼近问题。这些工具能够帮助我们描述和分析更复杂的代数对象。 与相关领域的交叉： 本书将讨论代数群上的丢番图逼近与其他数学领域（如动力系统、解析数论、表示论等）的交叉和联系。例如，代数群上的轨道动力学是否可以通过丢番图逼近的方法来研究？ 第五章：应用与展望 本书的最后一章将聚焦于代数群上的丢番图逼近的实际应用，并展望未来的研究方向。 在数论中的应用： 探讨代数群上的丢番图逼近如何被用来解决或改进数论中的经典问题，例如丢番图方程的解的分布问题，以及代数数域的逼近性质。 在代数几何中的应用： 说明如何利用丢番图逼近的理论来研究代数簇的几何性质，例如有理点的分布、代数簇的 समस्थान (homology) 和 समस्थान (cohomology) 等。 与其他学科的潜在联系： 展望代数群上的丢番图逼近在物理学（如量子场论、弦理论）、计算机科学（如密码学、算法设计）等领域的潜在应用。 开放问题与未来研究方向： 梳理当前该领域尚未解决的重大问题，并提出未来可能的研究方向和挑战。这部分内容将激发读者的进一步探索和研究兴趣。 结论 《丢番图逼近在代数群上的研究》旨在成为一本权威性的学术著作，为读者提供一个深入理解和掌握代数群上丢番图逼近理论的平台。通过本书，读者将能够领略到数论与代数几何的精妙结合，掌握前沿的研究工具和方法，并为进一步探索数学的奥秘奠定坚实的基础。本书的编写力求严谨、清晰，并兼顾理论的深度与应用的广度，期望能对数学研究领域的发展做出贡献。

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