矩阵理论及其应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:北京航空学院出版社

作者:蒋正新

出品人:

页数:406

译者:

出版时间:1988-3

价格:2.50

装帧:平装

isbn号码:9787810120302

丛书系列:

图书标签:

• 矩阵论
• 数学
• 矩阵理论
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《线性代数基础与几何直观》 内容梗概： 本书旨在为读者构建扎实的线性代数理论基础，并强调理解抽象概念的几何意义。我们摒弃了传统教材中枯燥的符号推导，转而通过丰富的几何可视化和直观的图示，引导读者深入理解向量空间、线性变换、矩阵运算等核心概念。本书将线性代数的各个分支有机地串联起来，帮助读者建立起一个完整而融贯的知识体系。 第一章：向量的世界——空间中的点与方向 本章我们将从最基本的概念——向量出发，探索其在几何空间中的表现形式。读者将学习如何将向量视为空间中的点，理解其长度（范数）和方向的含义。我们将详细介绍向量的加法和标量乘法，并通过三维空间的直观演示，展示这些运算如何对应着平移、伸缩等几何变换。点积的概念将被引入，并着重解释其在衡量两个向量之间的夹角和投影上的几何意义。外积（叉乘）的概念也将在三维空间中被赋予清晰的几何解释，例如表示由两个向量构成的平行四边形的面积和方向。此外，本章还会初步介绍线性组合和线性无关的概念，并用几何语言说明它们与向量组“张成”一个子空间的关系。 第二章：方程的交织——代数与几何的对话 线性方程组是线性代数中最基本也是最重要的问题之一。本章将带领读者深入理解线性方程组的代数结构，并将其与几何空间中的交点问题联系起来。我们将详细讲解高斯消元法，并重点展示其在几何上对应着不断地“投影”和“剔除”维度。我们还会探讨线性方程组解的存在性与唯一性问题，将其转化为直线、平面等几何对象的交集情况。矩阵作为描述线性方程组的紧凑方式将被引入，并建立起方程组系数矩阵、变量向量与常数向量之间的对应关系。 第三章：矩阵的语言——变换的表达 矩阵不仅仅是数字的方阵，更是描述线性变换的强大工具。本章将重点从几何变换的角度来理解矩阵。我们将通过二维和三维空间的旋转、伸缩、投影、剪积等具体例子，展示矩阵如何精确地描述这些几何操作。读者将学会如何通过矩阵的乘法来组合不同的线性变换，理解其几何上的叠加效果。本章还会深入探讨矩阵的特殊类型，如单位矩阵、零矩阵、对角矩阵、对称矩阵等，并分析它们所对应的几何变换的特点。逆矩阵的概念也将被赋予几何意义，例如表示“撤销”一个线性变换。 第四章：向量空间的骨架——基与维数 向量空间是线性代数的核心概念之一。本章将从“张成”和“线性无关”这两个关键性质出发，引入基的概念，将其比喻为描述空间坐标系的“骨架”。读者将理解如何选择不同的基来表示同一个向量空间，以及不同基之间的变换关系。维数的概念将被清晰地定义为基中向量的数量，并通过几何直观来理解不同维度的空间（点、直线、平面、体等）的特性。本章还会介绍子空间的概念，并展示如何利用基来刻画和描述这些子空间。 第五章：内积的深度——度量与正交 本章将进一步拓展向量空间的性质，引入内积的概念。内积不仅能够衡量向量的长度，更重要的是能够度量向量之间的“相似度”或“夹角”。我们将详细介绍欧几里得内积，并解释其在计算距离和角度上的几何意义。正交的概念将被着重强调，并赋予其“垂直”的几何直观。读者将理解正交基在简化计算和分析问题上的重要性，并学习如何构造正交基（如格拉姆-施密特正交化）。本章还会探讨正交投影，将其解释为将一个向量“映射”到子空间的最优近似，这在数据分析和信号处理中有广泛应用。 第六章：特征的洞察——特征值与特征向量 特征值和特征向量是理解线性变换内在性质的“钥匙”。本章将通过直观的例子，解释特征向量在经过线性变换后方向不变，只发生伸缩的特性，而特征值则刻画了这个伸缩的比例。我们将探讨如何通过计算矩阵的特征多项式来求解特征值和特征向量。本章还会强调特征值和特征向量在几何上的意义，例如描述了变换的“主轴”或“不变方向”。我们还将简要介绍对角化，解释它如何通过改变基来简化矩阵的表示，使复杂变换变得直观。 第七章：线性变换的本质——映射与投影 本章将对线性变换进行更深入的探讨，将其视为一种从一个向量空间到另一个向量空间的“映射”。我们将分析线性变换的像空间（值域）和核空间（零空间）的几何意义，并理解它们与矩阵的秩和零度之间的关系。本章还会介绍一些重要的线性变换，如旋转、缩放、投影等，并分析它们的矩阵表示。读者将通过本章对线性变换有一个更加系统和深刻的认识，理解它们如何在保持向量空间结构的前提下进行转换。 第八章：行列式的奥秘——面积、体积与可逆性 行列式是方阵的一个重要数值特征。本章将着重讲解行列式的几何意义，例如在二维空间中表示由向量构成的平行四边形的面积，在三维空间中表示由向量构成的平行六面体的体积。我们将通过几何直观来理解行列式的符号变化与坐标系方向的对应关系。此外，行列式还直接关联着矩阵的可逆性，本章将清晰地解释为什么行列式不为零的矩阵才存在逆矩阵，以及这个几何上的含义。 第九章：矩阵的分解——结构的揭示 本章将介绍几种重要的矩阵分解方法，例如LU分解、QR分解和奇异值分解（SVD）。我们将通过直观的例子说明这些分解如何将复杂的矩阵“拆解”成更简单的结构，从而揭示矩阵的内在性质。LU分解可以看作是高斯消元法的系统化表达，QR分解与正交化密切相关，而SVD则揭示了矩阵在映射中的“拉伸”和“旋转”的本质。我们将重点强调这些分解在实际应用中的价值，如求解线性方程组、降维、数据压缩等。 第十章：应用初探——从理论到实践 本章将精选几个典型的线性代数应用案例，展示本书所介绍的理论知识如何在实际问题中发挥作用。我们将简要介绍线性代数在计算机图形学中的应用，例如三维模型的变换与渲染。还会涉及线性代数在数据科学中的应用，如主成分分析（PCA）和线性回归，解释特征值分解和奇异值分解在数据降维和模式识别中的作用。此外，本章还将提及线性代数在物理学、工程学等领域中的应用，引发读者对这门学科更广泛的兴趣。 本书特色： 强调几何直观： 避免枯燥的符号推导，注重通过图示和可视化帮助读者理解抽象概念。 概念融贯： 将线性代数的各个分支有机结合，构建完整的知识体系。 循序渐进： 从基础概念入手，逐步深入，难度适中。 数学直觉培养： 引导读者建立对数学问题的直觉判断能力。 应用导向： 在讲解理论的同时，穿插实际应用案例，激发学习兴趣。 本书适合作为大学本科数学、计算机科学、工程学等专业学生的入门教材，也可供对线性代数感兴趣的自学者阅读。通过本书的学习，读者将不仅掌握线性代数的工具，更能培养出解决复杂问题的数学思维和几何洞察力。

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这本书的行文风格非常“硬核”，毫不留情地直击数学问题的核心。我曾尝试阅读过一些声称面向“应用”的教材，但往往在实际应用场景的描述上浅尝辄止，让人感觉理论与实践之间隔着一道鸿沟。然而，这本书的叙述方式则完全不同，它似乎默认读者已经具备了相当的数学素养，没有花费太多笔墨去铺陈基础概念的背景故事，而是直接进入了如何操作和理解矩阵在不同代数结构中扮演的角色。特别是对于正规矩阵的分解和奇异值分解（SVD）的讨论，其深度和广度令人叹服。作者没有止步于给出公式，而是深入挖掘了这些分解在几何意义和数值稳定性方面的内涵。对于需要用矩阵理论来解决复杂工程优化问题的研究者来说，这本书提供的理论深度是无价之宝，它教会的不是如何“套用”公式，而是如何“创造性地运用”这些强大的数学工具。

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这本书的价值，在于它对理论的“穷尽式”探索，而不是仅仅停留在工具书的层面。它花了大量的篇幅来论证为什么某些性质是必要的，而不是仅仅陈述这些性质。例如，在处理矩阵函数，特别是指数和对数函数时，作者没有简单地给出泰勒展开式，而是深入剖析了这些函数是如何通过谱理论（Spectral Theory）被赋予严格定义的。这种对“定义之源”的追溯，极大地增强了我对矩阵分析的信心。我感觉自己不再是操作符号的匠人，而更像是在探索数学宇宙中基本规律的旅行者。它提供了一种强大的思维框架，使得任何后续遇到的矩阵相关问题，都能被迅速地归类到这本书所构建的知识体系之中，从而找到解决问题的方向。这本书无疑是矩阵理论领域中，一本值得反复研读的经典之作。

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这本书的标题听起来就充满了挑战性，但作为一名对数学严谨性有追求的读者，我还是忍不住翻开了它。装帧朴实，内容却深邃得如同深海。初读时，我立刻被那些抽象的定义和证明所吸引，作者的笔触精准而有力，将线性代数中最核心的概念——矩阵——的理论基础构建得异常坚实。从向量空间到线性变换，再到特征值和特征向量的深入探讨，每一个章节都像是为理解更深层次的数学结构打下了坚不可摧的地基。我尤其欣赏作者在阐述完基础理论后，总能巧妙地引出一些看似不相关，实则深刻相关的拓扑学或泛函分析的影子，这极大地拓宽了我的视野，让我意识到矩阵理论并非孤立的数学分支，而是连接诸多高深领域的重要桥梁。这种循序渐进又融会贯通的叙事方式，使得即便是面对最枯燥的代数推导，读起来也充满了智力上的愉悦感，仿佛在跟随一位经验丰富的向导，攀登一座知识的高峰。

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读完这本书，我最大的感受是“结构之美”。作者对于矩阵空间的划分、相似性理论的构建，以及如何通过酉变换来简化复杂的矩阵运算，展现出一种令人着迷的清晰逻辑。那些繁复的矩阵运算和变换，在作者的梳理下，仿佛被剥去了多余的伪装，露出了其内在的优雅结构。我尤其喜欢它在探讨二次型和正定性时所采用的视角，不仅涉及了主轴定理，还巧妙地引入了能量函数的概念，这让原本纯粹的代数问题立刻获得了物理意义上的直观解释。这本书在排版上也颇为考究，公式的对齐和符号的定义都非常规范，这对于需要反复查阅和验证复杂证明的读者来说，极大地降低了阅读疲劳度。它像一本精密的瑞士钟表，每一个齿轮——每一个定理和引理——都运作得天衣无缝，共同推动着整个理论体系的运转。

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坦率地说，这本书的难度不低，对于刚接触线性代数的新手来说，可能会感到吃力。但对于有一定基础，渴望从“会算”到“精通”的读者群体，它简直是一次思想的洗礼。书中对张量代数的一些前瞻性讨论，让我对更高维度的线性结构有了全新的认识。作者在论述过程中，习惯于采用更抽象的语言来表达更普适的结论，这要求读者必须保持高度的专注力，并积极地在脑海中构建相应的数学图像。我发现自己常常需要停下来，拿起草稿纸，重新推演一两个关键的引理，才能真正将这些深刻的洞察内化。这种“主动学习”的体验，虽然辛苦，但带来的知识的牢固程度，远非被动接受信息所能比拟。它真正培养的是一种数学直觉，一种面对未知矩阵问题时，能够迅速定位到相应理论框架的能力。

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