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出版者:北京航空航天大学出版社

作者:陈祖明

出品人:

页数:226

译者:

出版时间:2012-10

价格:34.00元

装帧:平装

isbn号码:9787512409330

丛书系列:高等学校研究生教材

图书标签:

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《线性代数的奥秘：从向量空间到张量变换》 内容简介 本书是一部旨在深入浅出地介绍线性代数核心概念与方法的著作，它并非一本理论的堆砌，而是力求引导读者理解线性代数在解决实际问题中的强大威力。我们从最基础的向量和向量空间出发，逐步构建起一套严谨而富有洞察力的数学工具，以期帮助读者掌握分析和操控多维度数据、理解变换的本质。 第一部分：基石——向量与线性方程组 在本书的开端，我们首先回归“向量”这一最基本却至关重要的概念。读者将不仅仅是学习如何表示向量，更将理解向量的几何意义，如方向和大小，以及它们在不同坐标系下的表示。我们会详细探讨向量的加法和数乘运算，以及这些运算在几何空间中所蕴含的意义，例如平移、伸展等。 接下来，我们将进入线性方程组的世界。我们会揭示线性方程组与向量和矩阵之间的紧密联系，理解方程组的解集如何对应着向量空间中的几何对象。本书将详细介绍高斯消元法这一经典求解线性方程组的算法，并深入分析其步骤、效率以及可能遇到的情况（如无解、唯一解、无穷多解）。我们还将介绍克莱默法则，尽管它在实际计算中效率不高，但其背后蕴含的行列式理论对于理解矩阵的性质至关重要。 第二部分：核心——矩阵的运算与性质 矩阵，作为线性代数的核心工具，将在本书的第二部分得到淋漓尽致的展现。读者将学习矩阵的各种运算，包括加法、减法、数乘以及矩阵乘法。我们不会仅仅停留在计算层面，而是会深入探讨矩阵乘法所代表的复合变换的意义。例如，一个旋转矩阵乘以一个缩放矩阵，其乘积矩阵又代表了什么整体的变换？ 本书将详细阐述矩阵的逆、转置、迹等重要性质。我们会解释逆矩阵的几何意义——它代表了对原始变换进行“撤销”的操作，并探讨可逆矩阵的充要条件。转置矩阵的意义，如在内积和二次型中的应用，也将得到深入的剖析。 此外，我们还将引入“向量空间”这一抽象但极其强大的概念。读者将理解向量空间不仅仅是 R^n，而是满足特定公理的集合，向量在这个集合中可以进行加法和数乘运算。我们还会介绍子空间、线性组合、张成集合、线性无关、基和维数等关键概念。理解这些概念，是掌握更高级的线性代数理论的关键。例如，我们将展示如何通过找到一组基，将一个高维的向量空间“映射”到一个低维空间，从而简化问题。 第三部分：深邃——行列式、特征值与特征向量 行列式，作为矩阵的一个重要标量不变量，在本书中占有重要地位。我们会从代数和几何两个角度来理解行列式。几何上，行列式表示了线性变换在体积（或面积）上的缩放因子。当行列式为零时，意味着变换会将某个维度压缩至零，这是矩阵不可逆的几何解释。代数上，我们将介绍计算行列式的各种方法，包括代数余子式展开和行初等变换。 特征值和特征向量是理解线性变换动态行为的关键。本书将详细解释特征值和特征向量的定义，以及它们在描述线性变换的“不变方向”和“伸缩因子”方面的作用。我们将展示如何通过求解特征方程来计算特征值和特征向量，并讨论它们在不同领域的应用，如稳定性和振动分析。 第四部分：升华——线性变换、相似矩阵与对角化 在掌握了矩阵的运算和性质之后，我们将进一步深入研究“线性变换”。线性变换是向量空间之间的映射，它保持向量的加法和数乘运算。本书将展示如何用矩阵来表示线性变换，以及不同矩阵表示如何对应着相同的线性变换（取决于基的选择）。 相似矩阵的概念将在这一部分得到详细阐述。我们将说明，如果两个矩阵是相似的，那么它们代表了同一个线性变换，只是在不同的基下进行表示。相似变换的意义在于，通过选择合适的基，我们可以将复杂的线性变换“简化”为一种更易于理解的形式。 对角化是线性代数中一个非常重要的主题。本书将解释，如果一个矩阵可以被对角化，那么它代表的线性变换可以被分解为一系列沿着坐标轴的伸缩。我们将探讨可对角化的条件，以及如何通过找到特征向量作为新基来对矩阵进行对角化。对角化在解决微分方程、马尔可夫链等问题中有着极其广泛的应用。 第五部分：拓展——内积空间、正交性与奇异值分解 在前面的部分，我们主要关注向量空间本身的结构。在这一部分，我们将引入“内积”的概念，从而构建“内积空间”。内积不仅定义了向量的长度，还定义了向量之间的夹角，为我们提供了度量“距离”和“角度”的工具。 正交性是内积空间中的一个重要性质。本书将详细介绍正交向量、正交基和正交矩阵的概念。我们将展示正交基如何极大地简化问题的处理，以及正交变换（如旋转）如何保持向量的长度和向量之间的夹角。Gram-Schmidt正交化过程将作为一种重要的构造正交基的方法进行讲解。 奇异值分解（SVD）是现代线性代数中最强大、最灵活的分解方法之一，将在本书的最后部分进行介绍。我们将揭示 SVD 如何将任意一个矩阵分解为三个特殊矩阵的乘积，以及这些矩阵的几何和代数意义。SVD 在降维（如主成分分析 PCA）、图像压缩、推荐系统、自然语言处理等众多领域都有着革命性的应用。 学习目标与读者对象 本书旨在为所有对数学和科学计算感兴趣的读者提供扎实的线性代数基础。无论您是计算机科学、工程学、物理学、经济学、统计学还是其他相关领域的学生，亦或是希望巩固和深化线性代数知识的从业人员，都能从本书中获益。 通过阅读本书，您将能够： 清晰理解 向量、向量空间、矩阵、线性变换等基本概念的定义、性质和几何意义。 熟练掌握 求解线性方程组、计算矩阵的特征值和特征向量、进行矩阵分解等核心计算技巧。 深刻领会 线性代数在解决实际问题中的强大应用，例如数据分析、图像处理、优化算法、机器学习等。 建立 严谨的数学思维，为学习更高级的数学和科学理论打下坚实基础。 本书注重理论与实践的结合，通过大量的例题和思考题，引导读者主动探索和发现。我们相信，通过对本书内容的学习，您将能够真正“驾驭”线性代数，并将其灵活应用于您的学习和工作中。

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我最近尝试用这本书来辅助我进行一个关于数据降维的课题研究，它提供的**理论深度和应用衔接**的视角给了我极大的启发。很多教材在讲完理论后就戛然而止，留给读者的是一个巨大的应用鸿沟。这本书不同，它在讲解特征值分解和奇异值分解（SVD）时，不仅仅停留在代数推导上，而是非常巧妙地引入了这些分解在信息论和数据压缩中的核心作用。它解释了为什么SVD能够提供一个“最佳”的低秩近似，以及这个“最佳”在最小二乘意义上的体现。这种对理论与应用桥梁的搭建，让我能够更自信地将学到的知识迁移到实际问题中去。例如，在理解主成分分析（PCA）时，书中对协方差矩阵的特征向量的几何意义的阐述，结合降维后的数据可视化效果，使得PCA不再是一个黑箱操作，而是一个有清晰数学基础的工程步骤。这本书的价值在于，它不仅教会了你“如何做计算”，更重要的是让你理解了“为什么要那样计算”。

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说实话，我之前买过好几本关于矩阵和线性代数的书，很多都因为章节组织混乱或者例题过于稀疏而束之高阁。这本书的**习题设计**是我认为它的一大亮点，值得单独提出来夸赞一番。习题不是简单地重复课本上的例子，而是有着非常明确的梯度划分。基础练习部分巩固了基本运算和概念的理解；中等难度的题目开始要求综合运用多个定理来解决问题；而那些放在章节末尾的“思考题”或者“拓展练习”，则真正考验了读者的数学敏感度。我发现，很多题目并非标准教科书上的标准问法，它们往往从一个新的角度切入，迫使你必须重新审视那些你以为已经掌握的概念。例如，在讲解正交矩阵时，书中有一道题是要求证明一组特定的向量集合构成一个正交基，但这个集合的形式非常不规整，需要你先进行Gram-Schmidt正交化过程。这种设计极大地锻炼了我的**问题解决能力**，让我感觉自己像是在进行一场真实的数学探索，而不是应试训练。

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这本书的封面设计得相当朴实，没有太多花哨的装饰，深蓝色调给我一种沉稳、专业的印象。我拿到手的时候，首先被它清晰的排版吸引了。章节之间的过渡非常自然，每一个定义和定理都有明确的编号和标注，这对初学者来说无疑是个福音。我记得我翻阅到关于线性变换的部分，作者的处理方式非常直观，他没有一开始就陷入复杂的数学符号，而是先用几何直观来解释，这大大降低了我的畏惧感。特别是对特征值和特征向量的讨论，从定义到应用，逻辑链条非常清晰，每一步推导都像是把读者手把手地带着走。我特别欣赏作者在讲解一些关键概念时，会穿插一些历史背景或者实际应用的小案例，这让原本枯燥的理论知识瞬间变得生动起来，不再是孤立的公式堆砌。比如，讲解矩阵分解时，作者没有仅仅停留在理论层面，而是提到了它在图像处理中的作用，这让我明白了学习这些抽象概念的真正价值所在。总的来说，这本书的**阅读体验**非常流畅，像是与一位经验丰富的导师面对面交流，他总是知道在你感到困惑时，用最恰当的方式点拨你一下。

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这本书的**排版和印刷质量**也值得称赞。在处理数学公式密集型的书籍时，清晰度至关重要。这本书的字体选择非常考究，无论是正文的衬线体还是公式的斜体符号，都保持了极高的可读性。特别是涉及到大型矩阵或者复杂的张量表示时，公式的对齐和结构都非常规范，没有出现任何模糊不清或者排版错位的问题，这极大地减少了阅读过程中的“视觉噪音”。我经常在深夜台灯下看书，很多印刷质量差的书会让眼睛很快疲劳，但这本书的纸张质量似乎处理得不错，反光度适中，长时间阅读下来，眼睛的负担明显减轻了许多。这对于需要精读和反复翻阅的理工科教材来说，是一个非常重要的硬件保障。可以说，从装帧到内页的细节处理，都体现了出版方对学术严谨性和读者体验的尊重。这种对细节的关注，间接提升了学习的效率和愉悦感。

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我是一名工科专业的学生，在学习这门课程之前，我对“矩阵”这个词的印象还停留在高中数学的简单计算层面，充满了对高维空间的迷茫。然而，这本书的叙述方式彻底改变了我的看法。它不像一些教材那样，上来就堆砌大量的公理和抽象定义，而是循序渐进，从向量空间这个更基础的概念入手，层层递进。我尤其喜欢它对**抽象化思维**的培养。书中对线性无关、基、维数这些概念的阐述，不是简单地给出结论，而是通过一系列精心设计的例子来引导读者自己去“发现”这些性质。这种教学方式迫使你必须主动思考，而不是被动接受。我记得在学习对角化的时候，书中不仅给出了标准步骤，还深入探讨了为什么某些矩阵可以对角化，而另一些不行，这背后涉及到矩阵的相似变换和最小多项式。这种对“为什么”的追问，让我的理解深度远超于仅仅会做题的层面，真正触及了代数结构的核心。这本书的内容深度是足够的，但它的“友好度”也保持得很好，不会让读者感到挫败。

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