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出版者:上海科学技术出版社

作者:李乔

出品人:

页数:149

译者:

出版时间:1988.02

价格:2.10

装帧:20cm

isbn号码:9787532307050

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《代数结构与抽象映射：探索数学的深层逻辑》 这是一本旨在带领读者深入理解数学语言精髓的书籍，它并非专注于某一具体应用领域，而是从更为宏观和抽象的视角，揭示构成现代数学理论体系的基石。本书的焦点在于代数结构，以及在这些结构中进行的各种抽象映射，借此展现数学的普适性和内在的严谨性。 第一部分：代数结构的根基——集合与运算 在深入探索复杂的数学概念之前，我们首先需要牢固掌握构成一切数学讨论基础的工具：集合。本书将从集合的基本概念出发，包括元素的定义、集合的表示方法（列举法、描述法）、子集、并集、交集、差集以及补集等基本运算。我们会详细阐述这些概念在不同数学分支中的普遍性，并提供清晰的例子来帮助读者理解。 接着，本书将引入“运算”这一关键概念。我们将探讨二元运算的定义，包括封闭性、结合律、交换律以及单位元和逆元的性质。这些性质并非抽象的符号游戏，而是代数结构得以成立的必要条件。我们将通过具体的例子，例如整数的加法、乘法，向量的加法，函数的复合等，来直观地展示这些性质如何影响运算的行为。 第二部分：群论的优雅——对称性的语言 在代数结构的学习过程中，群（Group）是第一个也是最为基础的抽象结构。本书将花费大量篇幅来介绍群的定义及其重要性质。我们将从对称性这一直观的几何概念出发，引出群的概念。例如，一个正方形的旋转和翻转操作构成的集合，在组合运算下就形成了一个群。 本书将系统地介绍子群、陪集、正规子群、商群等群论中的核心概念。我们会通过图示和实例，例如整数加法群、模n加法群、置换群等，来阐释这些概念的含义和相互关系。理解正规子群和商群，是通往更深层次代数结构的关键。我们将重点探讨同态（Homomorphism）和同构（Isomorphism）的概念，它们揭示了不同代数结构之间可能存在的深刻联系，以及何种意义上的“相同”。 第三部分：环与域的延伸——数的拓展与结构 在群论的基础上，本书将进一步拓展视野，引入环（Ring）和域（Field）这两个更丰富的代数结构。我们将探讨环的定义，它是在集合上定义了两个二元运算（通常是加法和乘法），并且这两个运算需要满足特定的性质。本书将区分交换环和非交换环，有单位元的环和无单位元的环。 接着，我们将深入研究域的概念，它是在环的基础上，进一步要求乘法运算具有更多的性质，例如除法运算的可行性。我们将通过例子，例如整数模p（p为素数）构成的域，有理数域，实数域，复数域等，来阐释域在数学中的重要地位。域是许多代数理论（例如线性代数、伽罗瓦理论）得以建立的基础。 第四部分：向量空间与线性变换——几何与代数的交汇 向量空间（Vector Space）是代数结构理论中一个极其重要的分支，它将代数的抽象概念与几何直观紧密地结合起来。本书将从向量的定义出发，介绍向量空间的公理化定义，包括向量的加法和标量乘法所满足的性质。我们将探讨线性组合、生成集、线性无关、基（Basis）以及维数（Dimension）等核心概念。 在此基础上，本书将引入线性变换（Linear Transformation）的概念。线性变换是定义在向量空间之间的“结构保持”映射，它遵循加法和标量乘法的线性性质。我们将详细阐述线性变换的性质，例如核（Kernel）和像（Image），以及它们的维数关系（秩-零度定理）。 本书还将介绍矩阵（Matrix）作为线性变换的一种具体表示。我们将探讨矩阵的加法、数乘和乘法运算，以及矩阵乘法与线性变换复合的关系。理解矩阵如何表示线性变换，是连接抽象代数与具体计算的关键。我们将讨论矩阵的秩、行列式、逆矩阵等重要概念，并阐述它们在解决线性方程组、研究线性变换性质等方面的重要作用。 第五部分：模与代数——结构的多样性与统一性 在掌握了群、环、域和向量空间等基本结构之后，本书将简要介绍模（Module）这一更为一般的概念。模可以看作是向量空间在环上的推广，它允许标量乘法来自一个环而不是一个域。虽然模论本身是一门深奥的学科，但了解其思想有助于我们认识到代数结构的多样性以及它们之间可能存在的联系。 本书还将触及一些更广义的代数概念，例如代数（Algebra），即在一个向量空间上定义了乘法运算，并且这个乘法运算与向量空间的运算相容。代数结构在很多数学领域都有应用，例如李代数、结合代数等。 第六部分：抽象映射的普适性——同态、同构与同胚 贯穿全书的核心主题之一是“抽象映射”。我们将在不同层次的代数结构中反复探讨同态（Homomorphism）和同构（Isomorphism）的概念。同态是保持代数结构运算的映射，它揭示了不同结构之间可能存在的“相似性”。同构则是一种特殊的同态，它是一一对应的，意味着两个结构在本质上是相同的，只是表示方式不同。 本书还将借鉴拓扑学的思想，简要介绍同胚（Homeomorphism）的概念，它是一种保持拓扑结构的连续双射。虽然拓扑学有其独特的语言，但它同样强调“结构保持”映射的思想，这与代数结构中的同态和同构有异曲同工之妙。通过对比，读者可以更深刻地理解“结构”在数学中的重要性，以及“保持结构”的映射如何帮助我们理解数学对象的本质。 第七部分：数学证明的艺术与逻辑 除了代数结构本身的介绍，本书还将注重培养读者的数学思维能力。我们将通过大量的例子和证明过程，来展现数学证明的严谨性和逻辑性。读者将学习如何清晰地陈述定义、定理和推论，如何构造有效的证明，以及如何识别逻辑谬误。本书将鼓励读者主动思考，而非被动接受。 目标读者与阅读建议 本书适合对数学有浓厚兴趣，并希望深入理解其底层逻辑的学生、研究者或任何对抽象数学理论感兴趣的读者。它并非一本侧重于计算技巧的书籍，而是旨在培养读者对数学概念的深刻理解和抽象思维能力。 建议读者在阅读过程中，多动手进行练习，尝试自己构造例子，证明定理。遇到难以理解的概念时，可以尝试从更简单的例子入手，逐步深入。本书的目的是提供一个清晰的框架，帮助读者理解数学世界的宏大图景，并为进一步探索更具体的数学分支奠定坚实的基础。 《代数结构与抽象映射：探索数学的深层逻辑》将是一次智力上的冒险，带领读者穿越抽象的数学海洋，发现隐藏在现象背后的深刻规律和优美结构。

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从教学法角度来看，这本书的习题设计简直是教科书级别的典范。它们不是那种简单重复概念的机械练习，而是精心设计的阶梯式挑战，真正能够帮助读者检验和巩固对所学知识的掌握程度。初级的练习帮助夯实基础，中级的题目开始要求读者进行灵活的证明和推演，而高级的挑战题则往往需要读者综合运用多个章节的知识点，甚至需要一点点创造性的思考。更棒的是，很多习题后面都附带了详尽的解答提示，或者干脆给出了完整的解析过程，这使得读者在遇到瓶颈时能够得到有效的反馈，避免了陷入无休止的自我怀疑，极大地提升了学习效率。

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这本书的叙述方式极其流畅自然，仿佛一位经验丰富的导师正在循循善诱地引导你进入一个全新的数学领域。它并没有一开始就抛出那些令人望而生畏的复杂定义，而是选择从一些非常基础且直观的例子入手，逐步构建起严密的逻辑框架。我尤其欣赏作者在解释关键概念时所展现出的那种“化繁为简”的能力，很多我以前在其他教材中感到晦涩难懂的定理，通过这里的阐述变得豁然开朗。作者似乎非常懂得读者的困惑点，总能在关键转折处提供恰当的类比和深入的剖析。这种温和而坚定的引导，让我在阅读过程中始终保持着学习的动力，而不是被枯燥的符号淹没，这对于自学线性代数的人来说，简直是莫大的福音。

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这本书的装帧设计真是让人眼前一亮，封面采用了深沉的墨绿色，搭配烫金的字体，透露出一种古典而厚重的学术气息。纸张的质感也相当不错，拿在手里沉甸甸的，翻阅时那种沙沙的触感，让人感觉确实是在阅读一本精心制作的学术专著。我特别喜欢它在排版上的用心，公式和定理的排版清晰规整，留白恰到好处，即便是初学者在面对密集的数学符号时，也不会感到视觉上的疲劳。书中的图表绘制得非常精美，很多抽象的概念通过直观的几何图形得到了很好的辅助说明，这对于理解那些深奥的线性代数思想大有裨益。总的来说，从实体书的角度来看，这是一次非常愉悦的阅读体验，看得出出版社在制作这本书时投入了极大的精力和成本，绝对称得上是值得珍藏的佳作。

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这本书最让我感到震撼的地方，是它所蕴含的那种深刻的数学哲学思考。作者在某些章节的讨论中，偶尔会跳脱出纯粹的计算和证明，转而探讨矩阵理论背后的几何直觉和代数结构之间的和谐统一。比如，在讨论正交分解和奇异值分解时，作者不仅仅是罗列公式，而是深刻地剖析了这些变换如何重塑和理解高维空间，将抽象的线性变换具象化为空间的旋转、拉伸和投影。这种对“为什么是这样”而非仅仅“它是什么”的深入探讨，极大地提升了读者的数学素养和思维深度，让我感觉自己不仅仅是在学习一门技术，更是在领悟一种看待世界、分析问题的强大思维模式。

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我必须指出，这本书在内容的广度上做得非常出色，它不仅仅满足于介绍标准课程中的核心内容，更难能可贵的是，它还巧妙地穿插了一些现代应用和前沿的研究视角。在讲解完基础的特征值理论后，作者没有止步于理论推导，而是迅速地将其与一些实际的工程或数据科学问题联系起来，这极大地激发了我对后续学习的兴趣。例如，它对谱理论的介绍，远比我预期的要深入和生动，展示了如何利用矩阵的性质来分析复杂的系统动态。这种将理论与实践紧密结合的写作手法，使得整本书的知识结构更加立体和富有生命力，让人深切感受到数学工具的强大和实用价值，而不是一套孤立的符号游戏。

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读的是新版的矩阵论十讲，豆瓣木有条目。就当字典一样快速翻过，对我来说最有用的还是非负矩阵那一块。线性代数的奇技淫巧是多啊。

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