Grobner Bases and Convex Polytopes (University Lecture Series, No. 8) (University Lecture Series) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Bernd Sturmfels

出品人:

页数:162

译者:

出版时间:1995-12

价格:USD 32.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821804872

丛书系列:University Lecture Series

图书标签:

• 数学
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格罗布纳基与凸多面体 引言 在现代数学的各个分支中，代数几何和凸几何是两个看似独立却又深刻交织的领域。代数几何研究代数方程组的几何对象，而凸几何则专注于具有特定形状属性的空间区域。本书《格罗布纳基与凸多面体》旨在揭示这两个领域之间迷人的联系，重点介绍了格罗布纳基在解决与凸多面体相关的核心问题中所扮演的关键角色。本书将带领读者深入探索多项式方程组求解的强大工具——格罗布纳基，并阐释它们如何为理解和分析凸多面体的结构、性质以及组合拓扑提供全新的视角和强大的计算能力。 本书的内容并非仅仅是对这两个独立领域的简单罗列，而是着力于展示它们之间富有成效的相互作用。我们将看到，格罗布纳基不仅仅是抽象代数中的一个理论概念，更是一个能够转化为具体几何问题的强大算法。反过来，凸多面体的丰富结构和直观几何性质也为格罗布纳基理论的发展和应用提供了丰富的灵感和检验平台。 第一部分：格罗布纳基基础 在深入探讨格罗布纳基与凸多面体的交集之前，我们必须牢固掌握格罗布纳基理论的基础。本部分将系统地介绍格罗布纳基的核心概念和计算方法。 多项式环与理想： 我们将从多项式环的定义出发，这是格罗布纳基理论的语言。在这里，多项式是代数几何研究的基本对象。随后，我们将引入理想的概念，它是由一组多项式生成的集合，这些多项式构成了代数簇的“方程组”。理解理想的结构是理解格罗布纳基的关键。 单项式序： 格罗布纳基的计算依赖于对多项式中单项式进行排序。我们将详细介绍各种常用的单项式序，如词典序、总量序以及它们各自的性质和优缺点。单项式序的选择直接影响到格罗布纳基基的计算结果，因此理解其重要性至关重要。 约化多项式与除法算法： 在多项式环中，我们自然会想到多项式的“除法”。然而，在多变量多项式环中，传统的单变量除法算法需要被推广。我们将介绍多变量多项式除法的概念，以及“约化多项式”在其中扮演的角色，它告诉我们一个多项式是否能被一个理想的生成元整除。 格罗布纳基的定义与性质： 这是本书的核心概念之一。我们将正式定义格罗布纳基，并阐述其最根本的性质：一个理想的格罗布纳基基与原理想生成相同的多项式集合，但具有更优良的计算特性。我们将探讨格罗布纳基基如何“简化”理想，使得许多关于代数簇的问题变得更容易解决。 Buchberger算法： 这是计算格罗布纳基基的标准算法。我们将详细剖析Buchberger算法的原理，包括“S-多项式”的构造以及算法的迭代过程。尽管算法可能在计算上较为复杂，但理解其逻辑是掌握格罗布纳基计算的基础。我们也将讨论算法的收敛性以及它如何保证生成一个格罗布纳基基。 格罗布纳基的应用概览： 在深入研究具体的几何应用之前，我们将简要回顾格罗布纳基在代数几何中的一些经典应用，例如判断一个多项式是否属于一个理想，求解多项式方程组，以及计算代数簇的维度等。这为后续与凸多面体的联系奠定基础。 第二部分：凸多面体基础 在掌握了格罗布纳基理论的基石后，我们将转向凸几何的世界，深入了解凸多面体的基本概念和性质。 凸集与凸组合： 我们将从最基础的凸集定义出发，任何两个点之间的线段都包含在该集合中。随后，我们将引入凸组合的概念，这是构建凸体的基本方式。 凸多面体的定义与表示： 凸多面体是凸集的一个重要子类，它们可以通过有限多个半空间的交集（半空间表示）或者有限个顶点的凸组合（顶点表示）来定义。我们将详细介绍这两种表示方式，并探讨它们之间的对偶关系。 顶点、边、面： 凸多面体具有丰富的组合结构。我们将研究其顶点（zero-dimensional faces）、边（one-dimensional faces）以及更高维的面（faces）。这些几何元素的数量和排列组合是刻画多面体性质的关键。 凸多面体的组合类型： 不同的凸多面体可能具有相同的组合结构，即使它们的几何形状不同。我们将探讨凸多面体的组合类型（combinatorial type），以及如何通过其面的格（face lattice）来刻画这种类型。 对偶多面体： 对于一个给定的凸多面体，我们可以构造一个与之相关的“对偶多面体”。对偶多面体的顶点对应原多面体的面，而原多面体的顶点则对应对偶多面体的面。我们将解释对偶性的概念以及它在几何和组合中的重要作用。 计算几何中的凸多面体： 凸多面体在计算几何中扮演着核心角色，例如在计算凸包、点在多面体内判定等问题中。我们将简要介绍这些应用，为理解格罗布纳基的几何计算能力做铺垫。 第三部分：格罗布纳基与凸多面体的交织 本部分是本书的重头戏，我们将详细阐述格罗布纳基理论如何被应用于解决凸多面体中的关键问题。 多面体表示之间的转换： 凸多面体可以用半空间表示（通过不等式描述）或顶点表示（通过线性组合描述）。从一种表示转换为另一种表示是计算几何中的一个重要问题。我们将展示如何利用格罗布纳基来高效地实现这些转换。例如，通过将半空间表示的线性不等式转化为一个理想，并利用格罗布纳基算法求解，可以得到多面体的顶点。 线性方程组与多面体顶点： 顶点可以看作是线性方程组的解。我们将探讨如何通过构造特定的多项式理想，使得该理想的零点集（variety）恰好是多面体顶点所构成的集合。通过计算这个理想的格罗布纳基基，我们可以获得关于顶点之间关系的深刻信息。 极线（Extreme Rays）与顶点枚举： 对于无界多面体，除了顶点之外，还有极线。格罗布纳基可以被用来枚举一个多面体的所有顶点和极线，这是理解多面体整体结构的基石。我们将展示如何通过对多面体榻榻米（Minkowski sum）等代数工具，并运用格罗布纳基来解决顶点枚举问题。 二面角（Dihedral Angles）与特征： 凸多面体的二面角是其重要的几何特征。我们将探讨如何利用格罗布纳基来计算这些二面角，以及它们与多面体结构的内在联系。这通常涉及到求解一些三角函数相关的代数方程。 点在多面体内判定： 判断一个给定的点是否位于一个凸多面体内，是计算几何中的一个基本问题。我们将介绍如何通过将点的位置关系转化为多项式方程组，并利用格罗布纳基来高效地解决这个问题。 多面体的维度与自由度： 凸多面体的维度直接反映了其在空间中的“自由度”。格罗布纳基基可以帮助我们精确地计算多面体的维度。通过分析格罗布纳基基的结构，我们可以判断多面体是否是“退化”的，即其维度是否低于预期的维度。 多面体的组合结构与格罗布纳基： 凸多面体的面的格（face lattice）描述了其组合结构。我们将展示如何通过对多面体相关的代数对象（例如，描述其面的半空间表示）构造特定的理想，并计算其格罗布纳基基，从而获得关于多面体组合结构的深刻洞察。这包括确定多面体的边数、面的数量以及它们之间的连接关系。 多面体的榻榻米（Minkowski Sums）与格罗布纳基： 两个凸多面体的榻榻米是一个重要的代数和几何操作。我们将探讨如何利用格罗布纳基来计算两个多面体榻榻米的顶点集，这通常涉及求解由原多面体顶点和边构成的代数方程组。 应用实例与案例研究： 为了更好地说明格罗布纳基在凸多面体领域的应用，我们将穿插一些具体的实例，例如，如何利用格罗布纳基来分析某个政治或经济模型中的决策区域（多面体），或者如何用于计算图论中的某些问题。 结论 《格罗布纳基与凸多面体》一书旨在提供一个全面且富有启发性的视角，展示了代数几何和凸几何之间不可分割的联系。通过深入剖析格罗布纳基理论及其在解决凸多面体相关问题中的强大能力，本书不仅为读者提供了坚实的理论基础和实用的计算工具，更开启了对这两个数学领域交叉领域进一步探索的可能性。无论您是代数几何的研究者，还是凸几何的爱好者，抑或是对计算几何抱有浓厚兴趣的学者，本书都将为您带来深刻的启迪和宝贵的知识。它证明了抽象的代数概念能够转化为具体的几何洞察，并为解决复杂的实际问题提供有效的途径。

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从排版和印刷质量来看，这本专著无疑是业界顶尖水准。纸张的厚度和墨水的对比度都非常适宜长时间阅读，即使在光线不佳的环境下，公式和文字依然清晰可辨，这在学术书籍中常常被忽视，但作者和出版方显然对此投入了极大的关注。这本书的索引部分做得非常详尽，涵盖了几乎所有关键术语和定理，这使得我查找特定内容时效率极高，极大地提高了复习和查阅的效率。我尤其喜欢书中附带的“进一步阅读”推荐列表，它指引我探索了许多与其主题相关但角度各异的优秀文献，极大地拓宽了我的视野，体现了作者广博的学术视野和对后学者的负责态度。这本书不是那种一次性读完就束之高阁的类型，它更像是一个工具箱，你会在未来的研究和教学中不断地回来翻阅和参考其中的精妙论述。这种经得起时间考验的品质，是衡量一本优秀学术著作的重要标准。

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这本书的内容组织结构简直是一场数学的盛宴，每一章节的衔接都像是精心编排的乐章，层层递进，引人入胜。我读到关于格罗布纳基在多项式理想求解中的应用时，那种豁然开朗的感觉难以言表。作者并没有简单罗列公式，而是深入剖析了算法背后的思想逻辑，让人明白“为什么”要用这种方式去处理问题，而不是仅仅停留在“如何”操作的层面。特别值得称赞的是，书中穿插了大量历史背景的简短介绍，这使得枯燥的理论学习过程增添了人文色彩，让人感受到数学知识的传承与发展是多么富有生命力。尽管主题涉及高深莫测的代数几何，但作者的叙述风格却保持了一种近乎哲学的思辨性，引导读者去思考数学概念的本质。这种深度的挖掘和广度的涵盖，使得这本书不仅仅是一本技术手册，更像是一本能够启发思维的智力读物。对于希望系统性掌握这方面知识的人来说，这种全景式的展现是无可替代的。

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这本书的封面设计简洁大气，散发着一种学术的严谨气息，我一拿到手就忍不住想翻开它。它的装帧质量非常扎实，书页纸张的触感也相当不错，即便是长时间阅读也不会感到疲劳。从第一页开始，作者就展现出对代数几何和凸几何这两个领域的深刻理解，行文流畅却又不失精确性，让人感觉仿佛置身于一位经验丰富的导师的课堂之中。书中对基本概念的引入非常到位，即便是初次接触这些高级主题的读者，也能在清晰的脉络指引下，逐步建立起坚实的理论基础。我特别欣赏作者在解释复杂定理时所采用的类比和实例，这极大地降低了理解难度，让那些抽象的数学结构变得触手可及。尤其是关于多面体的拓扑性质与其代数表示之间的转换，书中给出的几何直观解释，实在称得上是教科书级别的典范。整体而言，这是一本在学术严谨性和教学友好性之间找到了绝佳平衡点的著作，对于有志于深入研究相关领域的学生和研究人员来说，无疑是一笔宝贵的财富。

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当我翻阅这本书时，我立刻被其中数学推导的清晰度和详尽程度所震撼。许多其他教材中一带而过的证明步骤，在这本书里都被细致入微地展示了出来，这对于我这种需要反复确认每一步逻辑的读者来说，简直是雪中送炭。特别是关于凸多面体的顶点、边和面的组合结构与理想的零点集之间的微妙关系，作者通过几何化的语言，将原本晦涩的代数操作转化为可以想象的几何图像。这种跨领域的对话处理得非常优雅。书中使用的图示和标记系统高度一致且非常专业，极大地帮助我追踪复杂的构造过程。老实说，阅读过程中的挫败感被降到了最低，因为每当我觉得要迷失方向时，总能找到作者设置的清晰路标。这本书的价值不仅在于提供了知识，更在于它教会了如何“思考”这些知识，培养了读者严密的逻辑推理能力。它要求你付出努力，但回报绝对是超值的。

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这本书的语言风格非常成熟且富有韵味，虽然它探讨的是非常前沿和抽象的数学分支，但作者的叙述却始终保持着一种近乎完美的平衡——既没有过度简化而失去严谨性，也没有故作高深而令人望而却步。我感受到了一种深厚的学养在其中流淌，作者似乎在用最精炼的语言，构建起最宏大的数学体系。书中对一些经典结果的重新阐述，往往能提供一个全新的、更具洞察力的视角，这对于那些已经有一定基础的读者来说，是激发新研究灵感的源泉。它不仅仅是知识的传递，更像是思想的交流。我尝试用书中的某个方法去解决了我目前遇到的一个棘手问题，结果发现其效率和优雅性远超我原先的思路。总而言之，这是一部具有里程碑意义的作品，它不仅对格罗布纳基理论和凸多面体理论进行了出色的整合，更在方法论上为后续的研究树立了一个极高的标杆，值得每一位严肃的数学工作者珍藏。

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