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出版者:Springer

作者:S.I. Gelfand

出品人:

页数:222

译者:

出版时间:1999-06-22

价格:USD 69.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540653783

丛书系列:

图书标签:

• 其余代数7
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《同调代数》（Homological Algebra）是一部深入探讨代数结构及其相关同调理论的著作。本书旨在为读者提供一个全面而严谨的框架，以理解如何通过研究模、链复形、同调群等概念来揭示代数对象的内在性质。本书内容丰富，涵盖了同调代数的核心思想和重要技术，适用于数学专业的研究生、博士生以及对抽象代数和代数拓扑有浓厚兴趣的学者。 本书的开篇首先回顾了代数中一些基础但至关重要的概念，为后续更为抽象的讨论奠定基础。这包括对模（modules）的详细介绍，特别关注其作为阿贝尔群的结构以及在环上的作用。读者将深入理解直和、子模、商模、模同态等基本概念，并学习如何分析这些结构。接着，本书将引入自由模（free modules）和投射模（projective modules）的概念，它们是构建同调理论的关键构件。自由模作为最“简单”的模，可以通过基的概念来描述，而投射模则具有更强的“覆盖”能力，能够“吸收”同态。本书将详细阐述它们的定义、性质以及在模论中的重要作用，例如自由模是投射模的一个重要例子，并且在某些条件下，投射模可以被自由模覆盖。 本书的重点之一在于链复形（chain complexes）和上链复形（cochain complexes）的引入。链复形是一系列模（或代数对象）以及它们之间的链映射（或上链映射）组成的序列，并且相邻映射的复合为零。这些看似简单的结构，却是理解同调代数工具的核心。本书将详细介绍链复形的定义、分类（如短精确序列），以及如何进行链复形的运算，例如张量积和 Hom 函子在链复形上的作用。复形的同调（或上同调）的概念将在此阶段被揭示，这涉及到计算由链复形激发的同调群，从而揭示隐藏在复形中的代数信息。 本书的核心内容之一是范畴论（category theory）的应用。同调代数在很大程度上是一种用范畴论的语言和工具来研究代数对象的理论。本书将介绍范畴、函子（functors）、自然变换（natural transformations）等基本范畴论概念，并展示它们如何应用于模论和代数拓扑。特别是，本书将重点关注左正合函子（left exact functors）和右正合函子（right exact functors）的概念，以及它们如何与链复形和同调群相互作用。通过范畴论的视角，读者将能更深刻地理解不同代数结构之间的联系以及函子的传递性。 随后，本书将深入探讨构造性同调代数的关键工具：内射外延（injective envelopes）和投射分解（projective resolutions）。内射模（injective modules）是与投射模相对立的概念，它们能够“接收”任何子模的映射。内射外延为每个模提供了一个“最小”的内射覆盖，这在构造同调群时非常有用。投射分解则为任意模提供了一个由投射模组成的链复形，使得我们可以通过研究这个分解来计算模的同调群。本书将详细阐述如何构造这些分解，以及它们在计算 Ext 函子和 Tor 函子中的作用。 Ext 函子（Extension functor）是同调代数中用于度量两个模之间“扩展”数量的工具。本书将详细介绍 Ext 函子的定义，它通常是通过投射分解（或内射分解）来定义的。Ext 函子可以被看作是 Hom 函子在链复形上的推广，它能够捕捉到由一个模“扩展”到另一个模的各种可能性。例如，一个短精确序列 $0 o A o B o C o 0$ 的存在，与 $operatorname{Ext}^1(C, A)$ 的非零性密切相关。本书将深入探讨 Ext 函子的各种性质，包括它们的定义、计算方法、以及在代数拓扑中的应用，例如纤维丛（fiber bundles）的研究。 Tor 函子（Torsion functor）是另一个重要的同调工具，它与张量积（tensor product）密切相关。Tor 函子通常通过投射分解（或内射分解）来定义，是张量积函子在链复形上的推广。Tor 函子能够捕捉到张量积运算所带来的“扭曲”或“坍缩”的程度。本书将详细介绍 Tor 函子的定义，研究其性质，并展示其在代数几何和交换代数中的应用，例如研究代数簇的相交理论（intersection theory）。 本书还将介绍一些更高级的主题，例如谱序列（spectral sequences）。谱序列是一种强大的计算工具，它能够将复杂的同调计算分解为一系列更易于处理的步骤。谱序列在代数拓扑、代数几何以及表示论等领域有着广泛的应用。本书将介绍基本的谱序列，如 Serre 谱序列和 Grothendieck 谱序列，并展示如何使用它们来计算同调群。 此外，本书还可能涉及射影维度（projective dimension）和内射维度（injective dimension）的概念。这些维度衡量了一个模“接近”于投射模或内射模的程度。射影维度为零的模就是投射模，而内射维度为零的模就是内射模。本书将探讨维度如何影响模的同调性质，以及如何利用维度来简化计算和证明。 为了帮助读者更好地掌握这些抽象概念，本书将包含大量的例题和练习题。这些题目覆盖了本书介绍的各个方面，旨在巩固读者对理论的理解，并培养他们运用同调代数工具解决问题的能力。读者将有机会在实践中运用链复形的运算、构造分解、计算 Ext 和 Tor 函子，以及理解谱序列的工作原理。 总而言之，《同调代数》是一部为希望深入理解抽象代数结构和代数拓扑基本工具的读者量身打造的著作。它循序渐进地引导读者进入同调代数的世界，从基础的模和函子，到复杂的链复形、谱序列和维度理论。通过本书的学习，读者将能够熟练掌握同调代数的研究方法，并将其应用于更广泛的数学领域。本书的严谨性、全面性和深刻性，使其成为该领域一本不可或缺的参考书。

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这本书的习题部分，简直是作者对读者智慧的终极考验，但同时也是其最大的价值所在。它们绝非那些简单的代数运算或定义验证，每一道题都像是一块精心打磨过的拼图，需要你运用前面章节学到的所有工具，进行深层次的逻辑重构和创新应用。我尤其欣赏作者在设计难题时所采用的“引导式”思路，很多题目并非直接索要答案，而是要求读者去“证明一个关键引理”或者“构造一个反例”，这种方式强迫读者必须完全内化知识点，而不是仅仅停留在表面记忆。完成其中几道具有挑战性的证明后，那种豁然开朗的感觉，比单纯听讲座收获的满足感要深刻得多，这是一种真正的知识内化的过程。当然，对于新手来说，这些题目可能会让人感到气馁，但附在每章末尾的“提示与讨论”部分，提供了恰到好处的指引，它没有直接给出解法，而是点拨思路的关键节点，确保你不会陷入死胡同，这种平衡把握得相当精准。

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我花了数周时间对比了市面上几本同类型的参考书，这本书在“历史背景和动机阐述”这一块的处理上，无疑是领先的。作者深知，数学概念的诞生往往伴随着特定的科学问题或哲学争论。他没有割裂理论与现实的联系，而是花了不少篇幅去追溯某些结构是如何在解决古典几何或数论难题中自然涌现的。例如，在介绍张量积的性质时，他追溯到了早期物理学家在处理多维空间变换时遇到的困难，这种叙事手法极大地增强了学习的代入感——我们不是在学习一套凭空创造的规则，而是在重演人类智慧克服困难的历史进程。这种对“为什么需要它”的强调，远比单纯知道“它是什么”更为重要，它赋予了这些抽象工具以生命力和存在的合理性，让学习过程充满了目的性和内在的驱动力。

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这本书的装帧设计简直是一场视觉盛宴，封面采用了那种略带磨砂质感的深蓝色纸张，中央烫金的标题“群与环的交响”在灯光下低调地闪烁着，透露出一种古典而深沉的气息。内页纸张的选择也十分考究，米白色、厚实且触感温润，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到明显的疲劳。排版上，作者显然花费了大量心血，字体清晰锐利，行距与页边距的留白拿捏得恰到好处，使得每一个数学符号和公式都能在版面上呼吸，不会显得拥挤局促。特别是那些复杂的图示和结构图，它们被清晰地嵌入到正文流程中，没有那种生硬的割裂感，阅读体验非常流畅。这本书的物理质感，让人有一种想把它捧在手心、细细摩挲的冲动，它不仅仅是一本工具书，更像是一件值得收藏的艺术品。拿到手里时，那种沉甸甸的分量感，就预示着其中蕴含的知识的厚重。细节之处见真章，比如页码的字体设计，那种略带手写感的衬线体，为这部严谨的著作增添了一抹人文的温度，体现了出版方对阅读体验的极致追求，这在当代技术数学书籍中是难能可贵的。

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我必须得说，作者在构建抽象概念之间的联系时，展现出一种近乎魔术师般的洞察力。他没有直接抛出那些令人望而生畏的定义，而是像一个技艺精湛的建筑师，先从最基础的集合论结构开始，逐步搭建起一个宏伟的代数框架。最让我印象深刻的是他对“函子”这一核心概念的阐述，他没有满足于给出教科书式的范畴定义，而是通过引入一系列类比——比如不同数学领域之间的“翻译官”，或者不同几何形态之间的“映射桥梁”——使得原本极其抽象的工具变得直观可感。阅读过程中，你会发现作者总是在不经意间将看似不相关的领域连接起来，比如他如何巧妙地利用拓扑学的视角来解释某些纯代数结构的稳定性。这种跨学科的视野极大地拓宽了我的思维边界，让我意识到，数学语言的魅力并不在于其自身的复杂性，而在于它能以如此精炼的方式描述宇宙中普遍存在的规律和模式。这种教学上的匠心，使得即便是初次接触这些领域的读者，也能找到清晰的路径。

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从语言风格上来说，这本书散发着一种独特的、略带学术幽默感的英式严谨。作者的叙述总是保持着一种沉稳的、不急不躁的节奏，即使在讨论最前沿或最棘手的问题时，语气也从未变得浮躁或夸张。他习惯于用一种“对话式”的口吻来引导读者思考，比如他会在一些关键的证明步骤后插入一句类似于“现在，我们必须面对这个看似无可避免的困境”的句子，这种拟人化的表达，瞬间拉近了读者与冰冷数学符号之间的距离。不过，这种风格的缺点在于，对于那些偏好极简主义和高度压缩信息的新一代读者来说，可能会觉得某些过渡性的解释略显冗长。但对我而言，正是这种详尽而富有人情味的论述，构建了一个安全且富有探索精神的学习环境，让我敢于质疑和深入探究每一个前提假设。

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