Continuous Cohomology, Discrete Subgroups, and Representations of Reductive Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:A. Borel

出品人:

页数:260

译者:

出版时间:1999-10-26

价格:USD 68.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821808511

丛书系列:Mathematical Surveys and Monographs

图书标签:

• 数学
• 其余代数7
• Cohomology
• Representation Theory
• Reductive Groups
• Discrete Subgroups
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• Lie Groups
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• Mathematics
• Group Theory

连续上同调、离散子群与约化群的表示 本书深入探讨了数学中三个相互关联且极具影响力的领域：连续上同调（Continuous Cohomology）、离散子群（Discrete Subgroups）以及约化群（Reductive Groups）的表示论（Representation Theory）。这三个主题各自独立已是研究热点，而本书的独特之处在于揭示了它们之间深刻而微妙的联系，为理解这些抽象数学结构提供了全新的视角和强大的工具。本书的目标读者是代数几何、表示论、李群理论以及相关领域的资深研究者和高年级研究生。 第一部分：连续上同调的理论基础 连续上同调理论是研究拓扑空间（特别是光滑流形或更一般的拓扑群）的“穴”或“连通性”的工具，但它侧重于那些在拓扑意义上“连续”的链复形。与离散上同调（如奇异上同调）不同，连续上同调允许我们处理那些在代数上离散但拓扑上可能非常“稠密”的结构。 本部分将从以下几个核心概念入手： 拓扑群与李群： 详细介绍李群的基本性质，包括其代数结构和微分结构。重点关注局部紧致群（Locally Compact Groups）和其上的Haar测度，这是建立连续上同调理论的基石。我们将讨论不同类型的局部紧致群，尤其是它们的完备性、连通性和单连通性等拓扑性质。 链复形与上同调： 复习经典的链复形和上同调理论，然后将其推广到局部紧致群的框架下。我们将定义并研究连续链复形（Continuous Chain Complexes），以及基于这些复形的连续上同调群（Continuous Cohomology Groups）。这涉及到对连续映射和连续的线性算子的细致分析。 抽象的连续上同调构造： 介绍构建连续上同调的几种主要方法，例如： Cech上同调的推广： 探讨如何将Cech上同调的思想推广到局部紧致群上，利用开覆盖的框架来定义上同调。 De Rham上同调的视角： 虽然De Rham上同调通常定义在光滑流形上，但其思想可以启发我们理解具有特定光滑结构的群上的连续上同调。 代数结构与连续性： 探讨代数结构（如代数群）与拓扑结构如何协同工作，影响连续上同调的性质。 连续上同调的性质： 分析连续上同调群的基本性质，包括其函子性（Functoriality）、长正合序列（Long Exact Sequences）以及与拓扑不变量的关系。我们将重点关注那些适用于无限维群或具有复杂拓扑结构的群的性质。 实例与应用： 通过具体的例子来阐明连续上同调理论的威力，例如： 阿贝尔群的连续上同调： 研究阿贝尔群（特别是局部紧致阿贝尔群）的连续上同调，这与经典的同调论有密切联系。 李群的代数上同调： 探讨李群的代数上同调，这为理解其结构提供了代数工具。 嵌入与同构： 分析在不同拓扑结构下，连续上同调群的嵌入关系和可能的同构。 第二部分：离散子群的几何与代数特性 离散子群是那些其元素在拓扑上“彼此远离”的子群。在研究局部紧致群时，离散子群扮演着至关重要的角色，它们往往代表了群的“紧凑”或“稳定”部分，并且与群的结构和表示紧密相关。 本部分将深入探讨离散子群的以下方面： 定义与例子： 明确定义离散子群，并给出各种重要的例子，如整数集在实数加法群中的离散子群，或在一个李群中的离散的李子群。 离散子群的结构： 分析离散子群的内部结构，包括其阶（Order）、生成元（Generators）以及其在群的同胚（Homeomorphism）下的行为。 商群（Quotient Spaces）的拓扑： 研究一个局部紧致群与其离散子群所形成的商空间 G/H 的拓扑性质。当 H 是 G 的离散子群时，G/H 通常是一个拓扑流形，其几何结构取决于 G 和 H 的具体性质。 子群的稠密性与离散性： 探讨子群的稠密性（Density）与离散性（Discreteness）之间的相互作用。某些子群可能在代数上是离散的，但在拓扑上是稠密的，这会带来有趣的现象。 对群作用的影响： 研究离散子群作为群作用（Group Action）的固定子群（Stabilizer）或轨道（Orbit）时的行为。这对于理解群的表示至关重要。 离散子群与几何： 探讨离散子群在几何学中的应用，例如在曲面理论、几何群论以及遍历理论（Ergodic Theory）中，离散子群的出现往往伴随着有趣的几何结构。 实例分析： 重点分析： 晶格（Lattices）理论： 在李群的框架下，研究晶格（紧致群的离散子群）及其性质。 有限群的离散子群： 在更一般的群论背景下，探讨有限群中离散子群的结构。 第三部分：约化群的表示理论 约化群（Reductive Groups）是数学中一类非常重要的群，包括线性约化群（如 GL(n), SL(n), O(n), Sp(n)）和代数约化群。它们的表示理论得到了广泛而深入的研究，并且在数论、几何学和物理学中有广泛应用。 本部分将聚焦于约化群的表示论，并将其与前两部分的概念联系起来： 表示的基本概念： 复习群表示的基本定义，包括单群表示（Irreducible Representations）、酉表示（Unitary Representations）和不可约表示（Irreducible Representations）的完备性。 约化群的结构： 详细介绍约化群的结构，包括其根系（Root Systems）、Weyl群（Weyl Group）和Cartan分解（Cartan Decomposition）。我们将重点关注代数约化群（Algebraic Reductive Groups）和李约化群（Lie Reductive Groups）的联系。 有限维表示： 深入研究约化群的有限维表示。我们将介绍支配权（Dominant Weights）理论，用于分类不可约有限维表示。这涉及到Peter-Weyl定理（Peter-Weyl Theorem）和Weyl的指标公式（Weyl's Character Formula）等经典结果。 无限维表示： 探讨约化群的无限维表示，特别是主系列（Principal Series）和补充系列（Complementary Series）的表示。我们将分析这些表示的性质，如可积性（Integrability）和可约性（Reducibility）。 容许表示（Admissible Representations）： 引入容许表示的概念，这对于研究局部紧致群的表示至关重要。我们将探讨容许表示的性质，以及它们如何与连续上同调联系起来。 特殊约化群的表示： 重点研究一些特殊的约化群，例如： GL(n) 的表示： 其表示论非常丰富，涉及到Young图（Young Diagrams）和对称群（Symmetric Groups）。 SL(n) 的表示： 与GL(n)密切相关，但有其独特性。 正交群和辛群的表示： 这些群的表示在对称性研究中有重要地位。 表示论与分析： 探讨表示论在调和分析（Harmonic Analysis）中的应用，例如对群上的函数进行分解和积分。 第四部分：连续上同调、离散子群与约化群表示的交汇 本书的核心价值在于揭示这三个看似独立的领域之间的深刻联系。本部分将整合前三部分的内容，展示它们是如何相互作用，并产生新的深刻结果： 离散子群在约化群表示中的作用： 离散子群作为“轨道”： 约化群作用在一个集合上的轨道（Orbits）往往与离散子群的行为密切相关。 离散子群的“共形”或“固定”： 许多表示的性质可以通过研究它们在离散子群下的行为来理解。例如，研究表示是否在某个离散子群下“退化”或“收缩”。 晶格上的表示： 研究约化群作用在晶格（Lattices）上的表示，这是数论和几何学的交汇点。 连续上同调在分析表示时的应用： 表示的分类与上同调： 某些表示的分类可以被转化为对特定连续上同调群的计算。 上同调的“衰减”： 分析表示的上同调如何随维度变化而“衰减”，这与表示的性质有关。 计算表示的“不变量”： 连续上同调可以提供计算表示的各种不变量（Invariants）的工具。 离散子群与连续上同调的相互作用： 商空间上的上同调： 研究由群 G 和其离散子群 H 形成的商空间 G/H 的连续上同调。这往往与 G 的表示理论和 H 的结构有关。 离散子群的“上同调特征”： 某些离散子群可以通过其在上同调群中的“行为”来刻画。 具体理论的整合： Bott-Borel-Serre定理的推广： 探讨将 Bott-Borel-Serre定理（涉及李群的代数上同调）的思想推广到更一般的局部紧致群及其离散子群。 Deligne-Mumford紧化（Compactification）的视角： 从代数几何的角度，考虑如何通过引入“边界”或“紧化”来处理某些“病态”的结构，这与离散子群的出现有关。 Langlands纲领（Langlands Program）的初步接触： 尽管不直接展开，但本书的研究方向与Langlands纲领中关于数域上的群表示与自守形式（Automorphic Forms）的联系有微妙的呼应。特别是，对局部域上群表示的研究，以及与数的算术性质的关联，都隐含着这种联系。 未解决问题与未来方向： 指出当前研究中的一些关键未解决问题，并展望未来可能的研究方向，例如： 如何更系统地利用连续上同调来理解更复杂的约化群的表示？ 离散子群在非交换群表示的谱分析（Spectral Analysis）中扮演何种角色？ 这些理论在量子场论（Quantum Field Theory）或统计力学（Statistical Mechanics）中的潜在应用。 本书并非对这些主题进行浅尝辄止的介绍，而是力求提供一个深入、系统且具有启发性的论述。读者将在阅读过程中，不仅掌握各个领域的经典结果，更能理解它们之间的内在联系，并为进一步的独立研究奠定坚实的基础。本书强调概念的严谨性，同时辅以大量的例子和计算，旨在引导读者深入理解这些抽象而强大的数学工具。

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这本书的行文风格是极其内敛而有力的，几乎没有多余的感性描述，一切都服务于精确的逻辑传递。对于不熟悉相关背景的读者来说，这无疑是一个巨大的挑战，它假设读者已经对代数群论和同调代数有着扎实的基础。然而，正是这种毫不妥协的严谨性，使得这本书成为了一部可靠的参考资料。我特别欣赏它在关键定理证明前的铺垫工作，虽然篇幅不长，但每一步都是为最终的结论蓄力的关键环节。它不是一本为了迎合大众阅读而降格处理复杂性的著作，它尊重读者的智力，邀请读者共同完成思维的飞跃。读完一章，我常常感到精神上的疲惫，但随之而来的却是知识体系被系统性强化的满足感，仿佛大脑的某个区域被重新编码，处理信息的效率都提高了。

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这本书的封面设计非常引人注目，那种深邃的蓝色调和复杂的几何图形交织在一起，立刻就给人一种高深莫测的感觉。我拿起它的时候，感觉手里沉甸甸的，这重量似乎不仅仅是纸张的物理重量，更承载着作者在这片抽象数学领域里耗费的无数心血。我尤其欣赏那种排版上的克制与精准，每一个公式的对齐、每一个符号的选取，都透露出一种不容置疑的专业性。初翻几页，那种扑面而来的纯粹的数学语言的魅力就牢牢抓住了我。它似乎不是在向你解释一个概念，而是在引导你进入一个全新的、由逻辑和结构构建的世界。对于那些长期沉浸在代数几何或拓扑学领域的研究者来说，这本书的语言节奏无疑是极度舒适的，它省略了初学者可能需要的那些冗长铺垫，直接切入核心的深刻洞察。那种对细节的执着，对理论边界的不断拓展的渴望，让这本书本身就像是一个精密的数学仪器，值得反复摩挲品味，感受其内部逻辑的严密性。

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这本书的阅读体验，更像是一次长时间的、高强度的智力攀登，而非轻松的知识漫步。我发现自己不得不频繁地停下来，不是因为内容晦涩难懂，而是因为某些论证的巧妙之处需要时间去细细消化，去体会作者是如何用极其简洁的步骤，跨越了看似不可逾越的鸿沟。它对前沿问题的处理方式，尤其是在探讨某些特定群表示下的上同调行为时，那种洞察力简直令人叹为观止。我能感受到作者在试图建立一个全新的、统一的视角来审视那些看似分散的数学分支。对于渴望在这些交叉领域做出原创性贡献的博士生而言，这本书无疑提供了一张极富启发性的“地图”，指明了尚未被充分探索的区域。那种在阅读中产生的“原来如此！”的瞬间，是衡量一本严肃数学专著价值的关键指标，而这本书提供了无数个这样的瞬间，每一次都伴随着对现有知识体系的重新校准。

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这本书在组织结构上展现出一种高级的模块化设计。它似乎遵循着一个从宏观到微观，再回到宏观的螺旋上升路径。一开始可能从较为广义的李群表示入手，然后逐步深入到离散子群对这种表示的“扰动”或“约束”效应，最终又将这些局部分析的结果，整合回对更整体、更具普遍性的代数结构的新认识中。这种布局使得读者在面对大量的技术细节时，依然能够把握住整体的脉络。特别是它在引入某些新的构造时，都提供了清晰的动机和历史背景，让人明白为什么这个特定的工具会被选择，而不是其他看似相似的工具。这种对“为什么”的深刻解答，往往比单纯的“是什么”更具价值，它使得理论的学习不再是孤立的知识点堆砌，而成为一个有机的、不断生长的知识树。

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我注意到这本书在处理某些经典问题时，采取了一种令人耳目一新的角度。它没有仅仅停留在对已有理论的复述和整理，而是深入挖掘了离散子群在连续结构中所扮演的“非连续”角色，这种张力是全书的灵魂。我感觉作者在试图解构传统上对“连续”和“离散”的二元对立，通过引入一种更细致的代数拓扑工具，来揭示它们之间深层次的同构关系。这种视角上的转换，极大地拓宽了我对表示论应用范围的理解。例如，在某些特定的几何背景下，那些本应表现出平滑性质的函数，如何因为离散采样的引入而展现出全新的、分立的代数特征，书中对此的论述细致入微，充满数学上的美感。它不再是纯粹的符号游戏，而更像是在探索自然界中隐藏的秩序与不连续的微妙平衡。

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