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出版者:科學齣版社

作者:韓茂安

出品人:

頁數:134

译者:

出版時間:2018-1-1

價格:CNY 36.00

裝幀:平裝

isbn號碼:9787030550484

叢書系列:

圖書標籤:

• 常微分方程
• ODE
• 常微分方程
• 微分方程
• 數學分析
• 高等數學
• 數學教材
• 工程數學
• 解題技巧
• 注釋
• 基礎理論
• 學術參考

常微分方程：理論、方法與應用 《常微分方程：理論、方法與應用》是一本旨在係統闡述常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）基本理論、核心求解方法及其在各個學科領域廣泛應用的學術專著。本書麵嚮高等院校數學、物理、工程、經濟、生物等專業的高年級本科生、研究生以及相關領域的科研人員，力求在嚴謹的數學基礎上，深入淺齣地展現常微分方程的魅力及其作為描述自然和社會現象的強大工具。 內容概述： 本書共分為十餘章，圍繞常微分方程的定義、性質、解的存在唯一性、綫性方程組、穩定性理論、數值解法以及一些重要應用展開。 第一部分：基礎理論與存在性 緒論： 開篇章節將詳細介紹常微分方程的定義、階數、綫性與非綫性、齊次與非齊次等基本概念，並通過生動有趣的例子，如人口增長模型、放射性衰變、牛頓第二定律等，引入常微分方程在建模中的核心地位。此部分還將簡要迴顧微分在微積分中的作用，為後續理解微分方程的求解打下基礎。 一階常微分方程： 深入探討瞭一階常微分方程的各類求解方法。包括： 初等積分法： 詳細講解瞭可分離變量方程、齊次方程、一階綫性方程、伯努利方程、全微分方程及其積分因子法。每種方法都配有詳盡的推導過程和多角度的算例，並分析其適用條件與局限性。 幾何意義與相平麵分析： 引入瞭一階自治方程的相平麵分析，通過分析嚮量場和奇點（平衡點）的性質，揭示方程解的定性行為，如趨於穩定、不穩定或周期性振蕩，而無需顯式求解。 存在唯一性定理： 嚴謹地證明瞭皮卡-林德洛夫（Picard-Lindelöf）定理，確立瞭初值問題解的存在性與唯一性條件。通過對局部Lipschitz條件的引入和證明，讀者將深刻理解解的“好”與“壞”的本質區彆。 高階綫性常微分方程： 重點關注高階綫性方程的理論與方法。 齊次綫性方程： 詳細討論瞭常係數齊次綫性方程的特徵方程法，包括實根、重根、復根情況下的特解形式。對變係數齊次綫性方程，則介紹降階法、常數變易法等。 非齊次綫性方程： 講解瞭多種求解非齊次綫性方程的方法，如待定係數法（適用於常係數方程）、常數變易法（適用於變係數方程）以及拉普拉斯變換法。 常數變易法與Green函數： 深入講解瞭常數變易法作為一種通用求解方法，以及Green函數在求解非齊次方程（特彆是邊界值問題）中的作用和構建方法。 解的存在性與性質： 討論瞭高階綫性方程解的綫性無關性、Wronskian行列式的性質，以及解的連續依賴於初始條件等重要理論。 第二部分：係統與穩定性 綫性常微分方程組： 基本概念與理論： 引入瞭綫性方程組的嚮量形式錶示，並將其與矩陣理論緊密結閤。討論瞭矩陣指數的定義及其在求解綫性方程組中的作用。 常係數綫性方程組： 詳細講解瞭利用特徵值與特徵嚮量求解常係數綫性方程組的方法，包括代數重根和幾何重根的處理。 綫性方程組的穩定性： 基於矩陣的特徵值分析，深入探討瞭綫性係統平衡點的穩定性，為後續非綫性係統的穩定性分析奠定基礎。 非綫性常微分方程組與穩定性理論： 平衡點與綫性化： 引入非綫性方程組的平衡點概念，並重點闡述瞭綫性化方法。通過將非綫性係統在平衡點附近綫性化，可以近似分析係統的局部行為，判斷平衡點的穩定性。 李雅普諾夫穩定性： 詳細介紹瞭李雅普諾夫（Lyapunov）直接法和間接法。直接法通過構造李雅普諾夫函數，無需求解方程，即可判斷穩定性；間接法則依賴於綫性化方法的結論。 極限環與吸引子： 探討瞭非綫性係統中可能齣現的周期解（極限環）的概念，以及吸引子的存在，這些都是非綫性係統特有的豐富動力學行為。 分岔理論初步： 簡要介紹分岔的概念，即係統參數微小變化導緻其定性行為（如平衡點的數目、穩定性或極限環的齣現）發生劇烈改變的現象，展示瞭混沌理論的萌芽。 第三部分：數值解法與應用 常微分方程的數值解法： 針對許多無法解析求解的微分方程，本書提供瞭多種重要的數值求解方法。 歐拉方法（Euler Methods）： 包括顯式歐拉法和隱式歐拉法，作為最基本的數值方法，詳細講解其原理、誤差分析（局部截斷誤差與全局截斷誤差）以及收斂性。 改進歐拉法與梯形法： 講解瞭比歐拉法精度更高的改進歐拉法和梯形法，通過預測-校正的思想提高精度。 龍格-庫塔方法（Runge-Kutta Methods）： 詳細介紹瞭二階、四階等經典的龍格-庫塔方法，它們在精度和穩定性之間取得瞭良好的平衡，是工程應用中最常用的方法之一。 多步法： 引入瞭 Adams-Bashforth 和 Adams-Moulton 等多步法，利用曆史信息來預測當前步的值，提高瞭計算效率。 辛幾何積分器： 簡要介紹辛幾何積分器在守恒係統（如哈密頓係統）數值模擬中的優勢，能夠更好地保持係統的長期演化性質。 邊界值問題數值解法： 講解瞭打靶法（Shooting Method）和有限差分法（Finite Difference Method）等求解邊界值問題的數值方法。 重要應用領域： 本書的最後一大部分將通過一係列具體的案例，展示常微分方程在不同領域的強大應用能力。 物理學： 力學： 簡諧振動、阻尼振動、受迫振動、單擺、行星軌道（開普勒定律）、兩體問題、三體問題簡介。 電磁學： RLC 電路、電磁波傳播方程（簡化情況）。 熱力學： 傳熱問題（一維情況）。 工程學： 控製理論： 係統響應、穩定性分析、反饋控製設計。 電路分析： 動態電路的瞬態與穩態分析。 機械工程： 振動分析、結構動力學。 生物學： 種群動力學： 羅特卡-沃爾泰拉捕食者-獵物模型、邏輯斯蒂增長模型、競爭模型。 流行病學： SIR 模型、SEIR 模型等傳染病傳播模型。 化學動力學： 化學反應速率方程。 經濟學： 經濟增長模型： Romer 模型、Solow 模型。 金融模型： Black-Scholes 期權定價模型（簡化）。 本書特色： 1. 理論與實踐並重： 既有嚴謹的數學理論推導和證明，又配有大量的算例和應用，使讀者在掌握理論的同時，能夠體會微分方程的實際效用。 2. 循序漸進的難度： 內容組織從基礎的一階方程到復雜的非綫性係統和數值方法，層層遞進，確保不同背景的讀者都能逐步掌握。 3. 豐富的圖示與錶格： 大量圖示（如相平麵圖、解的軌跡圖、數值誤差圖）和錶格（如各類方法的比較）幫助讀者直觀理解抽象概念。 4. 詳實的習題： 每章末尾都配有不同難度等級的習題，包括理論證明、計算練習和建模問題，以鞏固所學知識。 5. 強調建模思想： 貫穿全書，注重引導讀者如何將實際問題抽象為微分方程模型，並對模型進行分析和解釋。 《常微分方程：理論、方法與應用》旨在成為一本全麵、深入、實用的常微分方程教材和參考書，幫助讀者構建紮實的理論基礎，熟練掌握求解技巧，並能夠靈活運用常微分方程解決科學與工程中的實際問題。

評分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

說實話，這本書的排版和裝幀設計，真的體現瞭齣版方對讀者的尊重。在理工科教材中，清晰度往往是第一位的，而《常微分方程基本問題與注釋》在這方麵做到瞭極緻。紙張的質感很好，長時間閱讀眼睛也不會感到特彆疲勞，這對於需要啃厚厚一本數學書的學生來說，簡直是個福音。更重要的是，公式的排版簡直是教科書級彆的示範。那些復雜的希臘字母、上下標、積分符號，每一個元素都清晰、規範地呈現齣來，完全沒有那種模糊不清或者擠在一起的廉價感。我以前看有些教材，光是辨認一個公式裏的符號就要費半天勁，嚴重影響瞭閱讀節奏。但這本書，我可以專注於數學邏輯本身，而不是被糟糕的印刷分散注意力。此外，書中對重要定理的黑體加粗、關鍵步驟的縮進處理，都使得知識點的層次感非常分明。當你快速瀏覽時，那些核心的結論和定義會自然而然地跳齣來，這對於考前復習或者快速迴顧某個知識點時，效率提升是顯而易見的。這種對細節的關注，讓這本書不僅僅是一本學習資料，更像是一件製作精良的工具書。

评分☆☆☆☆☆

這本書的價值遠超其定價，尤其對於那些自學常微分方程的群體而言，簡直是如獲至寶。我記得我開始接觸這門學科時，最大的障礙是找不到一個能真正“對話”的教材。很多書要麼太過於注重推導的嚴密性，導緻實踐性不足；要麼就是應用案例堆砌，但缺乏對背後數學原理的深入剖析。而《常微分方程基本問題與注釋》找到瞭一種近乎完美的平衡點。它在講解每個求解技巧時，總會伴隨著一句精煉的總結，點明這個技巧背後的核心思想，這比單純地記住步驟要有效得多。例如，在講解變分法在某些物理問題中的應用時，它會用一種非常直觀的方式解釋“作用量最小原理”的物理意義，而不是直接套用變分符號。這種注重“直覺建立”的教學方法，極大地降低瞭學習麯綫的陡峭程度。對於我這樣的業餘學習者來說，可以按照自己的節奏來消化知識，書中的結構設計使得跳躍式學習也變得可行，你不必強求一次性完全理解所有細節，可以先掌握“基本問題”的解法，再迴頭深挖“注釋”中的高階見解。總而言之，這是一本真正做到“深入淺齣”的傑作。

评分☆☆☆☆☆

這本《常微分方程基本問題與注釋》的書，簡直是為像我這種剛接觸常微分方程的初學者量身定做的“救星”啊！我記得我剛拿到書的時候，心裏還有點忐忑，畢竟數學這東西，尤其是涉及到“微分方程”這種聽起來就有點玄乎的領域，總讓人覺得門檻很高。可是翻開目錄一看，那些清晰的章節劃分和“基本問題”的提法，一下子就讓我踏實瞭不少。書裏對每一個核心概念的引入都非常循序漸進，不像有些教材上來就甩一堆復雜的公式讓你望而卻步。作者似乎非常清楚初學者的思維定勢和容易卡殼的地方，總能在關鍵節點給齣非常詳盡的文字解釋，把抽象的數學語言轉化成瞭更容易理解的邏輯步驟。舉個例子，比如講解綫性常微分方程的通解結構時，它不是簡單地拋齣公式，而是通過對齊齊次解和特解的討論，一步步引導你理解為什麼會有這樣的結構。那種感覺就像是，身邊有一個非常耐心的老師，在你快要迷失方嚮的時候，輕輕地幫你撥開眼前的迷霧，指引你看到前方的清晰路徑。我個人特彆喜歡它在例題後的“注釋”部分，那裏麵往往藏著一些解題技巧的“潛規則”或者更容易齣錯的陷阱提醒，這對於我這種愛犯迷糊的人來說，簡直是無價之寶。讀完前幾章，我對微分方程的整體框架有瞭非常紮實的初步認識，不再是零散的知識點堆砌，而是一個有機的整體，這為後續深入學習打下瞭極其堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

這本書給我的最大感受是“係統性”和“完整性”，它仿佛是一部常微分方程的百科全書，但又不像傳統百科那樣枯燥晦澀。它成功地將理論推導、方法論、以及應用實例編織成一個密不可分的整體。我尤其欣賞它在介紹應用背景時所展現齣的學術視野。比如，當講解常係數綫性微分方程時，它不僅僅停留在經典的機械振動模型，而是會穿插一些關於電路理論或者控製係統中的狀態空間錶示法，這使得不同專業的學生都能從中找到與自己領域相關的切入點。這種跨學科的視野，極大地拓寬瞭我對常微分方程應用邊界的認知。閱讀過程中，我發現作者對於曆史上的重要進展也有所涉及，雖然篇幅不長，但能讓人瞭解到這些數學工具是如何一步步發展和完善起來的，這無疑增加瞭學習的趣味性。而那些“注釋”部分，常常會引嚮更深層次的分析，比如當討論穩定性時，它會提及龐加萊映射的概念，這種“由此及彼”的引導機製，極大地激發瞭我的好奇心，驅使我去探索更多的相關領域。這本書沒有把自己定位成一個“解題速成班”，而是定位成一個引領者，引領讀者走進更廣闊的數學世界。

评分☆☆☆☆☆

我用瞭市麵上好幾本不同的常微分方程教材，但不得不說，這本《常微分方程基本問題與注釋》在“深度”和“廣度”的平衡上做得尤為齣色。對於那些已經有一定基礎，想要嚮更高階應用邁進的讀者來說，這本書的價值就體現齣來瞭。它不像有些入門書籍那樣，隻停留在求解一些標準形式的方程，而是非常巧妙地將理論與實際問題進行瞭有效的嫁接。我特彆欣賞它在處理一些非綫性方程組時的那種嚴謹又不失靈活性的態度。作者在介紹一些近似解法和定性分析方法時，並沒有草草瞭事，而是深入剖析瞭每種方法的適用條件、局限性以及背後的數學原理。我記得有一次我在處理一個涉及到物理模型的微分方程組時遇到瞭瓶頸，卡在瞭穩定性分析上。翻閱這本書的相關章節，它不僅給齣瞭李雅普諾夫函數構建的通用思路，還詳細對比瞭不同參數下相平麵的拓撲結構變化，這種細緻入微的分析，直接幫我理清瞭思路，甚至讓我對相平麵分析有瞭全新的理解。這本書的注釋部分也常常能給齣一些前沿研究的綫索，它不隻是教你怎麼“解”方程，更是在啓發你思考“為什麼”要用這種方法，以及這種方法能揭示齣係統的哪些本質特性，這種深層次的引導，對於培養獨立研究能力至關重要。

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