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出版者:北京航空航天大学出版社

作者:陆启韶

出品人:

页数:309

译者:

出版时间:2010-1

价格:35.00元

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isbn号码:9787811249552

丛书系列:高等学校研究生教材

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《常微分方程与动力系统》：探索数学之美，洞悉自然之理 引言 在广袤的数学宇宙中，常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）与动力系统（Dynamical Systems）无疑是最为璀璨的星辰之一。它们以其独特的视角，深刻地揭示了事物随时间演变的规律，勾勒出自然界中无数现象的运动轨迹，并为我们理解和预测复杂系统提供了强大的工具。从微观粒子的运动到宏观天体的运行，从生物体的生长繁殖到经济金融的波动，常微分方程与动力系统无处不在，它们是连接抽象数学与生动现实的桥梁，是探索未知、理解世界的语言。 本书《常微分方程与动力系统》正是这样一部致力于系统性地阐述这一数学分支核心概念、方法与应用的著作。它不仅是一本教科书，更是一次深入数学殿堂的旅程，旨在带领读者领略常微分方程的严谨逻辑，体验动力系统所蕴含的丰富内涵，并最终掌握分析和解决实际问题的能力。本书力求在严谨的理论基础上，结合直观的几何解释和丰富的应用实例，使读者不仅能够理解“是什么”，更能体会“为什么”以及“如何做”。 核心内容概述 第一部分：常微分方程的基石 本部分将从最基础的常微分方程概念入手，为读者打下坚实的理论基础。我们将系统介绍： 方程的定义与分类： 什么是常微分方程？它们是如何被分类（如阶数、线性与非线性、齐次与非齐次等）的？我们将通过具体的例子来阐释这些定义，帮助读者建立清晰的概念框架。 基本概念与术语： 诸如解、初值问题、边值问题、奇异解、存在性与唯一性等关键概念将得到详细的讲解。我们将深入探讨 Picard-Lindelöf 定理等关于解的存在性和唯一性的重要理论，理解这些理论对于分析方程行为的重要性。 一阶常微分方程的解法： 这一部分将聚焦于一阶方程的各种解析解法，包括： 变量可分离方程： 如何识别并求解这类方程，例如简单的速度-位移关系。 线性一阶方程： 使用积分因子法等技巧，解决如人口增长模型、放射性衰变等问题。 全微分方程与积分因子： 介绍如何将非全微分方程转化为全微分方程，以及积分因子的构造方法。 伯努利方程与克莱罗方程： 探讨这些特定类型方程的解法及其特殊之处。 高阶常微分方程的解法： 随着方程阶数的升高，问题变得更加复杂。我们将重点讲解： 线性常系数齐次方程： 特征方程、根的性质（实根、重根、复根）如何决定解的形式，如阻尼振动、谐振子模型。 线性常系数非齐次方程： 待定系数法与常数变易法，如何处理各种类型的非齐次项，例如外力驱动的振动系统。 欧拉-柯西方程： 针对特定形式的高阶方程，介绍其独特的解法。 高阶方程的降阶： 在特定情况下，如何通过变量代换降低方程的阶数。 幂级数解法： 对于一些初等函数无法表示解的方程，幂级数解法提供了一种通用的求解途径，如贝塞尔方程、勒让德方程等。我们将介绍泰勒级数法和福罗贝尼乌斯方法。 数值解法： 在很多情况下，解析解难以获得，数值解法就显得尤为重要。我们将介绍： 基本思想与误差分析： 理解数值解法的原理，以及截断误差和收敛性等概念。 经典的数值方法： 如欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法（RK4等），并分析它们的优缺点和适用范围。 MATLAB/Python等工具的应用： 演示如何使用现代计算工具求解常微分方程，提高求解效率。 第二部分：动力系统的理论与分析 在掌握了常微分方程的解法之后，我们将视角转向动力系统，开始探索方程所描述的“系统”的整体行为。 相空间与相图： 引入相空间的概念，将方程的解可视化为相平面上的轨迹。通过相图，我们可以直观地理解系统的演化方向和整体动态。 平衡点与稳定性： 平衡点是系统静止时的状态。我们将学习如何寻找平衡点，并分析其稳定性（稳定、不稳定、渐近稳定）。线性稳定性分析是这一部分的核心内容。 极限环与周期解： 周期性振荡是自然界中普遍存在的现象。我们将研究极限环的存在性、唯一性及其稳定性，例如在生物节律、电路振荡等模型中。 奇点分类与相图分析： 对于二维自治系统，我们将详细分析各种类型的奇点（节点、鞍点、中心、焦点）及其在相图中的几何表现，以及它们对系统行为的影响。 极限环的存在性与分析： 引入庞加莱-本迪克松定理等工具，研究二维系统中极限环的存在性。 耗散系统与保守系统： 区分这两类系统，理解它们在能量守恒和系统演化方面的不同特性。 李雅普诺夫稳定性理论： 介绍更一般且强大的稳定性分析工具，包括李雅普诺夫函数法，它能够处理非线性系统和更复杂的相空间结构。 分岔理论基础： 当系统的参数发生微小变化时，系统的定性行为可能发生剧烈改变，这就是分岔。我们将介绍一些基本的、常见的局部分岔，如鞍结分岔、跨越分岔、叉式分岔等，以及它们在理解系统从简单到复杂演变过程中的作用。 混沌动力学初步： 介绍混沌现象的基本特征（对初值敏感、伪随机性、吸引子等），以及它在复杂系统研究中的重要性。我们将简要介绍李指数、分形维度等概念。 第三部分：应用与拓展 数学理论的最终目的是服务于现实。本部分将展示常微分方程与动力系统在众多领域的实际应用，让读者深刻体会其价值。 物理学应用： 力学： 牛顿定律的微分方程形式，单摆、弹簧振子、阻尼振动、受迫振动等经典力学模型的分析。 电路理论： RLC电路的动力学方程，瞬态响应与稳态分析。 热力学与传热： 传导、对流的微分方程模型。 工程学应用： 控制理论： 稳定性分析、系统响应、控制器设计。 机械工程： 结构振动、疲劳分析、流体动力学。 电气工程： 电力系统暂态分析、信号处理。 生命科学应用： 人口动力学： 捕食者-食饵模型（Lotka-Volterra方程）、逻辑斯蒂增长模型。 流行病学： SIR模型、SEIR模型等传染病传播的动力学分析。 生物化学： 酶动力学、代谢通路建模。 神经科学： 神经元模型（Hodgkin-Huxley模型、FitzHugh-Nagumo模型）的分析。 化学应用： 化学反应动力学： 反应速率方程的微分形式，稳态近似。 经济学与金融学应用： 宏观经济模型： 经济增长模型、国民收入动态模型。 金融市场建模： 资产价格演变、期权定价模型（Black-Scholes方程）。 其他交叉领域： 生态学： 群落动态、物种演化。 社会科学： 舆论传播、城市发展模型。 学习方法与特色 本书在编排上力求循序渐进，从易到难，确保读者能够逐步掌握。 理论与实践相结合： 每章都包含丰富的例题和习题，覆盖了理论概念的理解和计算技巧的运用。例题力求典型且具有启发性，习题则由浅入深，鼓励读者独立思考和解决问题。 几何直观与代数严谨并重： 对于关键概念，本书会尽量提供几何解释（如相图），帮助读者建立直观的理解，同时不放松数学的严谨性。 现代计算工具的辅助： 在数值解法和部分应用部分，会适当介绍如何利用MATLAB、Python等工具进行模拟和可视化，强调理论与计算的结合。 深入浅出的讲解风格： 避免过于深奥的数学语言，力求用清晰、简洁的语言解释复杂的概念，使不同背景的读者都能有所收获。 结语 《常微分方程与动力系统》是一本旨在为读者开启数学世界一扇重要之门的著作。通过学习本书，您将不仅掌握解决一类重要数学问题的强大工具，更能培养严谨的逻辑思维能力和分析复杂系统的洞察力。无论您是从事科研、工程、金融，还是对自然现象的内在规律充满好奇，本书都将是您宝贵的伙伴。我们相信，在数学的海洋中，常微分方程与动力系统是探索未知、发现真理的关键航道。愿本书能助您在这趟旅程中，驶向更广阔的知识彼岸。

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作为一名偏爱应用层面的研究者，我非常关注一本书中案例研究的丰富程度和贴近实际问题的程度。这本书在引入背景知识时，似乎并没有局限于传统的经典物理模型，而是涵盖了一些现代交叉学科的议题。我注意到其中提到了某些在生态学或金融领域中出现的非线性反馈机制的数学建模。这种跨领域的融合，极大地拓宽了我的视野，让我开始思考如何将书中学到的工具箱应用到我当前研究中遇到的那些棘手的非线性耦合问题上。更重要的是，它对模型简化和参数辨识的讨论，非常贴近工程实际中的挑战——如何从噪声数据中提取出有意义的数学结构。这种理论与实践的无缝衔接，而非将两者割裂开来的做法，体现了作者深厚的工程素养和对学科前沿的敏锐把握。

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这本书的习题设计堪称一绝，它们绝非简单的计算练习，而是精心设计的“思维探险”。我翻阅了几个章节后的配套练习，发现它们的目标导向性非常明确：一部分巩固基础定义，另一部分则直接导向更深层次的定理证明或开放性问题的探索。有些习题的设置简直就是对某一关键定理的“反向工程”，要求读者从结果出发，重新审视推导过程中的每一个细微假设。这种“逆向思维”的训练对于提升数学分析能力至关重要。此外，它似乎还巧妙地融入了一些需要借助计算软件辅助完成的实验性习题，这在传统的纯理论教材中是比较少见的。这表明作者深知，在当今时代，理论研究也必须与计算工具相结合，这种与时俱进的教育理念，让这本书在众多经典著作中脱颖而出，成为了一本既经典又现代的参考书。

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这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，硬壳精装，触感温润，封面设计简约而不失格调，那种深沉的蓝与银色的字体搭配，散发出一种古典而严谨的气息。初次翻阅，排版上的用心便显而易见，字体大小适中，行距宽松有度，即便是长时间阅读也不会感到视觉疲劳。更值得称赞的是，书中的图表和公式的绘制达到了教科书级别的精准和清晰度。那些复杂的几何图形和抽象的向量场，都以极高的分辨率清晰呈现，辅助理解那些抽象的数学概念。我特别留意了目录结构，它编排得极具逻辑性，从基础的线性系统开始，逐步过渡到更高级的非线性现象，这种循序渐进的引导方式，对于初学者来说无疑是一种福音。尽管我尚未深入研究其核心内容，仅从这“外在美”来看，它就足以让人感受到作者和出版方在制作过程中的一丝不苟和对知识传播的敬畏之心。这不仅仅是一本书，更像是一件值得珍藏的艺术品，让人在阅读之余，也享受着翻阅的愉悦。

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我对这本书中关于“定性分析”的章节抱有极高的期待，那部分内容在其他资料中往往一笔带过，或者处理得较为肤浅。但从章节的标题和引言的描述来看，作者似乎对相空间几何结构有着独到的见解。我特别欣赏它在概念引入时所采用的类比手法，它没有一味地堆砌公式，而是巧妙地借用了物理世界中的直观图像来阐释那些高维空间中的拓扑变换。比如，它如何描述吸引子的稳定性和分岔现象，这种描述方式似乎更加强调“动态过程”而非“静态解集”。我感觉作者花费了大量的精力去构建一个完整的“几何直觉”体系，让读者不仅知道“是什么”，更能理解“为什么会是这样”。这种注重“理解”而非仅仅“计算”的教学理念，无疑是高等数学教育中的一股清流，它培养的不仅仅是解题者，更是能够洞察系统行为的思考者。

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我是在一次学术交流会上听闻这本书的，当时几位前辈都提到了其在理论深度上的突破。我赶紧找来试读了一番，首先感受到的就是其叙述语言的精炼与凝练。不同于某些教材那种冗长、事无巨细的解释，这本书的文字仿佛是经过千锤百炼的提纯，直击问题的核心，每一个句子都似乎蕴含着深刻的数学洞察力。阅读过程中，我时常需要停下来，反复咀嚼那些简洁的定理陈述和巧妙的证明过程。它似乎更偏向于一位经验丰富的导师在耳边低语，用最经济的语言勾勒出最复杂的数学蓝图。对于那些已经有一定基础的读者而言，这种直截了当的风格无疑是极大的效率提升。当然，这也意味着它对读者的预备知识有着较高的要求，它不会花大量篇幅去“铺路”，而是直接构建主体结构，这要求我们必须自带“脚手架”才能跟上作者的思路。这种自信而有力的学术表达，是很多教材中难得一见的品质。

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