《组合设计理论与编码理论》对组合设计和编码的基本概念、方法和理论作了比较简单的介绍，并介绍了组合设计和编码的联系。全书共分九章。第一章有限关联结构从有限关联结构出发给出了组合设计的基本概念。第二章介绍拉丁方与正交序列的一般理论。第三章介绍几类对称设计。第四章介绍有限射影几何与有限仿射几何。第五章介绍Hadamard矩阵与Hadamard 2-设计。第六章到第八章介绍了编码理论中一些与设计有关系的码。第九章讨论了设计与编码的关系。
《组合设计理论与编码理论》可作为数学系研究生的教材，也可作为通信专业本科大四的教材，或者作为从事应用数学和编码理论研究人员的参考书。
《组合设计理论与编码理论》—— 深入探索数学结构与信息传输的奥秘 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探讨组合设计理论和编码理论这两个紧密联系又各具特色的数学分支。这两大理论在现代科学、工程以及信息技术的多个领域扮演着至关重要的角色，理解它们的内在机制和相互关联，对于推动理论研究和实际应用都具有深远的意义。 第一部分：组合设计理论——结构之美与排列之妙 组合设计理论，顾名思义，是关于如何构造和研究具有特定性质的数学结构（即“设计”）的学科。这些设计通常由一个“点集”和一系列“块集”（或称为“子集”、“线”）组成，而点集和块集之间的关系遵循着一套精确的规则。这些规则是组合设计理论的核心，它们定义了设计的“身份”和“功能”。 在本书的第一部分，我们将从组合设计理论的基础概念入手。我们将详细介绍什么是“设计”，包括点、块、以及它们之间的连接方式。我们将学习如何用数学语言精确地描述一个设计，例如通过 incidence matrix（关联矩阵）。 接着，我们将深入探讨几种最基本、也最经典的组合设计类型。 有限几何（Finite Geometries）：我们知道欧几里得几何是我们在中学时代学习的平面几何，它充满了点、线、圆等概念，并且遵循着一系列公理。有限几何就是将这些几何概念“离散化”，在有限的点的集合上构建几何结构。例如，一个射影平面（Projective Plane）就是一个简单的有限几何，它具有有限个点和有限条线，每两条线恰好相交于一个点，每两个点恰好确定一条线。我们将学习有限几何的基本性质，如阶（order）、点数、线数等，并了解它们与组合设计之间的深刻联系。这些结构不仅是理论上的美学体现，在密码学、纠错码等领域也有着重要的应用。 平衡不完全区组设计（Balanced Incomplete Block Designs, BIBD）：BIBD是组合设计理论中一个非常重要且应用广泛的类。一个BIBD由一个点集 $v$ 和一个块集 $b$ 组成，每个块包含 $k$ 个点，并且任意两个不同的点恰好出现在 $lambda$ 个共同的块中。此外，系统中也存在一些限制，例如每点出现的次数 $r$。BIBD的设计目标在于确保在分组或实验中，任何两个元素的比较都是“公平”或“均衡”的。我们将详细推导BIBD的基本参数关系，如 $bk = vr$ 和 $lambda(v-1) = r(k-1)$，并探讨BIBD的存在性条件。我们还将研究一些特殊的BIBD，如拉丁方（Latin Squares）的构造，以及它们在统计实验设计、图论等方面的应用。 拉谟设计（ Designs）：拉谟设计是一类更具一般性的组合设计，它允许块的大小不一定相同，但仍然满足某些均衡性条件。例如，在农业实验中，我们可能需要比较不同品种的作物在不同地块上的表现，而地块的大小可能不同。拉谟设计提供了一种灵活的框架来解决这类问题。本书将介绍拉谟设计的定义，以及如何通过优化算法或组合构造方法来找到有效的拉谟设计。 会议设计（Conference Designs）：这类设计在统计学和实验设计中尤为重要，尤其是在需要同时考虑多个因素的影响时。我们将学习会议设计的构造方法，并理解其在减少实验误差、提高估计效率方面的作用。 除了介绍这些经典的设计类型，我们还将探讨组合设计中的一些核心问题，例如： 存在性问题（Existence Problems）：给定一组参数，是否存在满足这些参数的组合设计？这是一个具有挑战性的问题，我们将会介绍一些已知的存在性定理和构造方法，例如Stanley-Reisner定理在代数和组合学中的应用，以及一些通用构造技术。 唯一的构造问题（Uniqueness Problems）：如果一个组合设计存在，它是否是唯一的？例如，著名的Fano平面是唯一的阶为2的射影平面。我们将探讨如何证明设计的唯一性，并介绍一些相关的研究成果。 对偶性（Duality）：组合设计常常具有美丽的对偶性，例如一个设计的点和块可以相互对调，而保持设计的许多性质。我们将深入研究这些对偶关系，以及它们如何帮助我们理解和构造新的设计。 关联（Incidence Geometry）：我们将从更抽象的角度来审视组合设计，将其视为一种“关联几何”。通过研究点和块之间的关系，我们可以建立起与传统几何学，甚至与代数结构之间的联系。 图论方法（Graph-Theoretic Approaches）：许多组合设计可以被自然地表示为图。例如，BIBD可以看作是图中的一个特殊结构。我们将介绍如何利用图论的工具和理论来研究组合设计，如使用图的性质来证明存在的或无存在性的结果。 在组合设计理论的学习过程中，我们将强调构造和计数。我们将介绍各种有效的构造方法，从直接构造到利用已知的结构来生成新的设计。同时，我们也会探讨如何计算特定类型设计的数量，这对于理解它们的稀有性或普遍性至关重要。 第二部分：编码理论——信息传输的坚固盾牌 编码理论，顾名思义，是研究如何有效地编码和解码信息，以确保信息在传输或存储过程中不被破坏的数学分支。在现实世界中，信号传输总会伴随着噪声和干扰，这可能导致信息的丢失或错误。编码理论的目标就是设计巧妙的编码方案，使得接收方能够检测到错误，甚至纠正错误，从而恢复原始信息。 本书的第二部分将带领读者进入编码理论的奇妙世界。我们将从信息论的基础概念开始，理解信息熵、信道容量等核心思想。 信道模型（Channel Models）：我们将首先介绍几种常见的通信信道模型，例如二元对称信道（Binary Symmetric Channel, BSC）、离散无记忆信道（Discrete Memoryless Channel, DMC）等。理解信道的特性是设计有效编码方案的前提。 线性码（Linear Codes）：线性码是编码理论中最重要和最易于分析的码类之一。在一个线性码中，码字（即编码后的信息）的线性组合仍然是一个码字。我们将详细介绍线性码的基本概念，如生成矩阵（Generator Matrix）和校验矩阵（Parity-Check Matrix）。它们是定义和操作线性码的核心工具。 距离度量（Distance Measures）：为了衡量编码的纠错能力，我们需要引入“距离”的概念。汉明距离（Hamming Distance）是衡量两个码字之间差异的最常用度量。我们将学习如何计算汉明距离，以及码的最小距离（Minimum Distance）如何决定其纠错能力。 纠错码（Error-Correcting Codes）：这是编码理论的核心应用。我们将深入探讨不同类型的纠错码，以及它们的构造和性能。 Hamming Codes：这是一种非常经典且实用的线性块码，能够纠正单个错误。我们将学习Hamming码的构造方法，以及它们是如何通过巧妙的校验位设计来实现纠错的。 BCH Codes (Bose-Chaudhuri-Hocquenghem Codes)：BCH码是一类强大的多重纠错码，能够纠正一定数量的错误。我们将学习BCH码的代数构造原理，理解它们与有限域（Finite Fields）以及多项式（Polynomials）之间的密切关系。 Reed-Solomon Codes：Reed-Solomon码是BCH码的一个重要特例，它们在符号（而非比特）层面进行编码，这使得它们在处理突发错误（Burst Errors）方面表现出色。Reed-Solomon码在CD、DVD、条形码、卫星通信等领域有着广泛的应用。我们将分析Reed-Solomon码的构造和解码算法。 循环码（Cyclic Codes）：循环码是一类特殊的线性码，其中任何一个码字的循环移位也是一个码字。我们将学习循环码的代数结构，以及它们与多项式环之间的关系。BCH码和Hamming码都属于循环码的范畴。 卷积码（Convolutional Codes）：与块码将数据分成独立的块进行编码不同，卷积码将数据看作是连续的比特流，并通过一个有限状态的编码器进行处理。卷积码在移动通信、无线局域网等领域有着广泛的应用。我们将介绍卷积码的表示方法（如编码器图、状态图）以及解码算法（如Viterbi算法）。 码的性能分析（Performance Analysis of Codes）：我们将学习如何评估不同编码方案的性能，包括错误检测概率、错误纠正概率、以及在给定信道模型下的误比特率（Bit Error Rate, BER）。 限界（Bounds on Code Performance）：理论上，我们总希望找到性能最好的编码方案。我们将介绍一些重要的限界，如Gilbert-Varshamov bound、Plotkin bound、Singleton bound等，它们为我们提供了关于码率和最小距离之间关系的理论上限，指导我们设计更优的码。 纠错算法（Decoding Algorithms）：编码的目的是为了纠错，因此有效的解码算法至关重要。我们将介绍一些经典的解码算法，如最大似然译码（Maximum Likelihood Decoding）、代数译码（Algebraic Decoding）等，并分析它们的复杂度和效率。 理论的融合与实际的应用 本书的特色在于，我们将不断强调组合设计理论与编码理论之间的内在联系。事实上，许多优秀的纠错码都是直接或间接基于组合设计的。例如，Finite Geometries是构造某些BCH码和Reed-Solomon码的重要数学基础。BIBD的参数关系也启发了许多码的设计。反过来，编码理论也为组合设计的研究提供了新的视角和工具，例如，利用码的性质来构造新的组合设计。 通过对这两个理论的学习，读者将能够： 理解信息传输的根本限制：了解噪声如何影响信息，以及为何需要编码。 掌握设计高效通信系统的原理：学会如何选择或设计合适的编码方案来应对不同的信道条件。 欣赏数学结构的美妙：认识到抽象的数学概念如何转化为实际的工程应用。 为进一步深入研究打下坚实基础：无论是信息论、密码学、统计学，还是计算机科学，组合设计和编码理论都是重要的支撑。 本书力求在概念的清晰度、数学的严谨性和应用的广泛性之间取得平衡。我们通过详细的推导、丰富的例子和图示，帮助读者逐步掌握复杂的理论。对于初学者，本书提供了坚实的基础；对于有一定基础的读者，本书将带来更深入的理解和更广阔的视野。希望本书能激发读者对组合设计与编码理论的兴趣，并为他们在各自的领域做出贡献提供有力的支持。
