Algebraic Number Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Jürgen Neukirch

出品人:

页数:588

译者:Schappacher, Norbert

出版时间:1999-06-22

价格:USD 169.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540653998

丛书系列:Grundlehren der mathematischen Wissenschaften

图书标签:

• 数学
• 代数数论
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• 代数整数
• 狄利克雷单位定理
• 类群
• 二次域

《代数数论》—— 探索数域的奥秘 本书将带领读者踏上一段引人入胜的旅程，深入探索代数数论这一数学分支的深邃世界。本书旨在为读者构建一个坚实的理论基础，并在此基础上揭示代数数论在现代数学中的重要地位及其广泛应用。 核心概念与理论基石 本书将从最基本的概念入手，循序渐进地阐述代数数论的核心内容。我们将首先介绍数域（Number Fields）的概念，这是一个代数数论的基石。数域是指包含有理数域 $mathbb{Q}$ 的一个有限扩张。我们将深入探讨数域的结构，例如其环 of Integers（代数整数环），以及这个环的性质，例如它是否为唯一因子分解整环（UFD）或主理想整环（PID）。 本书将详细讲解理想（Ideals）的概念及其在数域中的行为。我们将重点关注整环中的理想分解，特别是唯一分解的可能性。这涉及到迪富斯（Dedekind Domains）的概念，它是一类具有良好理想性质的整环，而数域的代数整数环恰好是迪富斯整环。我们将深入研究迪富斯整环的理想性质，包括素理想（Prime Ideals）的分解以及类群（Class Group）的概念。类群是衡量一个数域的代数整数环偏离 PID 的程度的一个重要不变量，其阶数被称为类数（Class Number）。 关键定理与方法 本书将重点介绍和证明一系列代数数论中的经典定理。 单位定理（Unit Theorem）：我们将详细阐述 Dirichlet 单位定理，该定理描述了数域的代数整数环中单位群的结构。我们将揭示单位群是一个有限生成阿贝尔群，并精确地刻画其生成元。 理想的类群：我们将深入研究理想的类群，并证明其有限性。理解类群的结构对于研究丢番图方程（Diophantine Equations）以及数域的算术性质至关重要。 二次域（Quadratic Fields）：本书将花费篇幅专门讨论二次域，即形如 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 的数域，其中 $d$ 是一个无平方因子的整数。我们将分析二次域的代数整数环的结构，研究其类数，并介绍一些关于二次域类数的著名猜想，如高斯猜想。 分圆域（Cyclotomic Fields）：我们将深入研究分圆域，即形如 $mathbb{Q}(zeta_n)$ 的数域，其中 $zeta_n$ 是一个 $n$ 次本原单位根。分圆域在代数数论中扮演着核心角色，它们与费马大定理（Fermat's Last Theorem）的证明有着紧密的联系。我们将探讨分圆域的 Galois 群结构、理想分解以及类数性质。 L-函数（L-functions）：虽然本书的核心是代数结构，但我们将为读者介绍Dedekind zeta-function 和 Dirichlet L-series 等重要的 L-函数。这些函数在数论中扮演着至关重要的角色，它们与数的分布、素数的算术性质以及类群等问题有着深刻的联系。 技术工具与证明技巧 在探索这些理论的同时，本书将详细介绍和运用代数数论中常用的技术和证明方法。 Galois 理论（Galois Theory）：Galois 理论在研究数域的对称性方面起着不可或缺的作用。我们将利用 Galois 理论来分析数域的扩张，研究其自同构群，并理解代数整数环中理想的分解如何受到 Galois 群的影响。 模算术（Modular Arithmetic）：模算术是代数数论的基础工具之一，我们将频繁地运用模算术来分析数域的性质，特别是在处理同余关系和素理想的分解时。 几何数论（Geometric Number Theory）：虽然本书不直接深入几何数论的几何方面，但我们将介绍一些与之相关的概念，例如Minkowski 空间和Minkowski 边界，它们为证明类群的有限性提供了强有力的几何直观。 应用与展望 本书不仅关注理论本身，还将适时地提及代数数论在其他数学领域的应用，例如： 丢番图方程：代数数论提供了解决许多丢番图方程的强大工具。 代数几何（Algebraic Geometry）：数域与代数簇的定义密切相关。 编码理论（Coding Theory）：有限域的结构与代数数论有着千丝万缕的联系。 密码学（Cryptography）：某些现代密码学算法的安全性依赖于数域的某些算术性质。 本书旨在为读者提供一个全面且深入的代数数论入门。通过学习本书，读者将能够掌握代数数论的核心概念和基本工具，并对这一迷人领域在现代数学研究中的重要性有深刻的理解。本书适合数学系学生、研究人员以及所有对数论及其相关领域充满好奇心的读者。

评分☆☆☆☆☆

1. 研究生阶段读过，算起来应该是2007年左右的事了。 前两章处理的不错，比S. Lang的书要更容易入门 第三章当时缺乏一些基本的知识，没有读。 随后的四、五、六三章是类域论。当时硬生生的读了下来。 最有用的是Adele语言的那部分东西。 第7章，对于Dedekind Zeta函数，其证明...

评分☆☆☆☆☆

1. 研究生阶段读过，算起来应该是2007年左右的事了。 前两章处理的不错，比S. Lang的书要更容易入门 第三章当时缺乏一些基本的知识，没有读。 随后的四、五、六三章是类域论。当时硬生生的读了下来。 最有用的是Adele语言的那部分东西。 第7章，对于Dedekind Zeta函数，其证明...

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1. 研究生阶段读过，算起来应该是2007年左右的事了。 前两章处理的不错，比S. Lang的书要更容易入门 第三章当时缺乏一些基本的知识，没有读。 随后的四、五、六三章是类域论。当时硬生生的读了下来。 最有用的是Adele语言的那部分东西。 第7章，对于Dedekind Zeta函数，其证明...

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1. 研究生阶段读过，算起来应该是2007年左右的事了。 前两章处理的不错，比S. Lang的书要更容易入门 第三章当时缺乏一些基本的知识，没有读。 随后的四、五、六三章是类域论。当时硬生生的读了下来。 最有用的是Adele语言的那部分东西。 第7章，对于Dedekind Zeta函数，其证明...

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1. 研究生阶段读过，算起来应该是2007年左右的事了。 前两章处理的不错，比S. Lang的书要更容易入门 第三章当时缺乏一些基本的知识，没有读。 随后的四、五、六三章是类域论。当时硬生生的读了下来。 最有用的是Adele语言的那部分东西。 第7章，对于Dedekind Zeta函数，其证明...

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计非常朴实，给人一种沉稳厚重的感觉，仿佛蕴含着深邃的数学智慧。当我第一次翻开它，扑面而来的是严谨的数学语言和抽象的概念，初时确实有些挑战。例如，书中对代数整数环的定义，及其与普通整数环的类比和区别，就花了相当长的时间去理解。我反复阅读了关于唯一分解整环、主理想整环和欧几里得整环的章节，试图在脑海中构建起它们之间的层级关系。尤其是在学习代数数域的扩张、判别式以及理想的分解时，感觉就像在迷宫中探索，每一步都需要小心翼翼地推理。书中对数域的例子，比如二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$，虽然在本科阶段有所接触，但这本书深入地探讨了它们的算术性质，比如单位群的结构（狄利克雷单位定理）和理想类群的有限性。这个过程让我深刻体会到，看似简单的代数结构背后，隐藏着多么丰富和深刻的数学内涵。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来的最大冲击，在于它如何将代数和数论这两个看似独立的领域巧妙地融合在一起。数域的引入，使得我们可以用代数工具去研究数论问题。例如，对整数方程的分析，通过将其转化为数域中的理想方程，常常能获得更清晰的洞察。书中对数域的分类，特别是关于类数和单位数的概念，让我开始理解研究数域算术性质的难点和重点。我花费了大量时间去理解关于算术函数和 L-函数的部分，虽然这些内容可能有些高级，但它们在解析数论中的重要作用让我意识到代数数论的深远影响。

评分☆☆☆☆☆

初次接触这本书时，其抽象的定义和复杂的定理让我感到有些畏惧。然而，随着阅读的深入，我逐渐体会到其中蕴含的数学美感。书中对素数的分解性质在不同数域中的研究，比如在二次域中，素数是分裂、惰性还是 ramified，这些都与数域的判别式以及二次互反律有着深刻的联系。我对书中关于 Zeta 函数的引入和讨论印象深刻，虽然其解析性质的深入探讨超出了这本书的范畴，但其代数数论的根源让我对其有了更深的理解。

评分☆☆☆☆☆

从一开始，我就被书中引入的抽象代数工具深深吸引。特别是伽罗瓦理论在数域扩张中的应用，简直是数学的艺术。理解伽罗瓦群如何刻画域的自同构，以及它与域扩张的中间域之间的对应关系，是一个令人振奋的过程。书中对分圆域的深入探讨，比如单位根的代数数论性质，以及克罗内克-韦伯定理的背景和意义，都让我惊叹于数学家们构建理论的宏伟蓝图。我花了很多时间去理解有限域上的代数曲线，以及与之相关的黎曼-洛赫定理，虽然这些内容可能超出了我最初的预期，但其优美性和普适性着实令人着迷。书中对于丢番图方程的解决，尤其是在数域中的推广，比如费马大定理的证明思路，虽然具体证明非常复杂，但作者通过代数数论的视角，为我们揭示了其背后深刻的代数结构。

评分☆☆☆☆☆

这本书为我打开了一扇新的数学大门。我不再仅仅将数论视为对整数性质的研究，而是看到了其背后更深层的代数结构。通过对数域的学习，我理解了为什么素数在不同的代数结构中会有不同的行为。书中关于算术函数与代数数域之间的联系，也让我对这些函数有了全新的认识。我尤其对书中关于类数公式的讨论感到着迷，虽然公式本身非常复杂，但它统一了数域的许多重要算术不变量，展现了数学理论的统一性。

评分☆☆☆☆☆

阅读这本书的过程，需要耐心和毅力。我反复推敲书中关于理想类群的定义及其有限性的证明。理解这个概念，需要对群论和环论有扎实的掌握。书中对代数数域的结构，特别是其单位群和类群的分解，提供了深入的分析。这些结构是理解数域算术性质的关键。我还对书中关于代数几何的一些初步介绍印象深刻，例如，如何将代数数论的问题转化为代数簇上的问题，这预示着更广阔的研究前景。

评分☆☆☆☆☆

这本书在讲解代数数论的基本概念时，非常注重逻辑的严谨性和理论的系统性。从域的扩张，到代数整数的定义，再到理想论的引入，每一步都建立在前一章的基础之上，层层递进。我印象深刻的是关于代数整数环的单位群的研究，狄利克雷单位定理的证明，需要理解指数映射和对数映射的性质，以及利用点格的几何直观来理解。书中对判别式的定义和性质的讨论，以及它在理想分解中的作用，也花费了我不少精力去消化。我特别喜欢书中对一些经典问题的介绍，比如二次互反律的代数数论证明，以及更一般的数域上的互反律。这些内容不仅展示了代数数论的强大威力，也让我看到了不同数学分支之间的紧密联系。

评分☆☆☆☆☆

读这本书的过程，更像是一次漫长而精密的智力探险。书中对于一些数域，比如 $mathbb{Q}(i)$ 和 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 的算术性质的详细分析，让我能更具体地体会到抽象概念的实际含义。当我理解了代数整数环的构成，以及其理想的分解方式时，我开始能够独立地分析一些简单的丢番图方程。例如，书中关于 Pell 方程的代数数论解释，提供了一种比初等方法更具普适性的视角。对于素数的分解行为在不同数域中的变化，我进行了深入的学习，理解了素因数在代数整数环中如何分解为不同的素理想，以及这与数域的判别式之间的深刻联系。

评分☆☆☆☆☆

总而言之，这本书是一部极具挑战性但也极具价值的著作。它要求读者具备扎实的抽象代数和数论基础，并且愿意投入大量的时间去消化和理解。我从中学习到了如何运用抽象代数的工具来解决数论问题，以及如何通过数域的结构来理解整数的性质。书中对一些前沿问题的初步介绍，也激发了我进一步深入学习的兴趣。我深切体会到，代数数论是一门既古老又充满活力的数学分支，它不断地与其他数学领域产生深刻的互动，并催生出新的研究方向。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙述风格非常严谨，丝毫没有含糊的地方。每一个定义都清晰明确，每一个定理的证明都层层递进，逻辑严密。我花了很多时间去理解代数整数环的局部化，以及在素理想上的性质。这对于理解理想的分解和关于判别式的计算至关重要。书中对于类数的计算，虽然往往很困难，但作者介绍了一些重要的工具和方法，比如使用 Minkowski 边界。这让我对数域的结构有了更直观的认识。

评分☆☆☆☆☆

入门时候用的，看了前三章，Henniart说后面类域论写的不是很合适就没看。

评分☆☆☆☆☆

我的代数数论入门书，现在看来作为入门书这个太悍。

评分☆☆☆☆☆

我的代数数论入门书，现在看来作为入门书这个太悍。

评分☆☆☆☆☆

只学了两章多一点，发现自己完全不是这块料...

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只学了两章多一点，发现自己完全不是这块料...