具体描述
This concise text offers an introduction to the fundamentals and standard methods of the calculus of variations. In addition to surveys of problems with fixed and movable boundaries, its subjects include practical direct methods for solution of variational problems. Each chapter features numerous illustrative problems, with solutions. 1961 edition.
《数学物理中的泛函分析与偏微分方程前沿专题》 本书导言：深邃的数学世界与前沿的应用图景 在现代数学与理论物理的交汇点上，泛函分析与偏微分方程（PDEs）构成了理解自然界基本规律的基石。本书《数学物理中的泛函分析与偏微分方程前沿专题》旨在为深入研究者和高年级研究生提供一个全面、深入且具有高度前沿性的视角，探讨这两个核心领域中最新、最具挑战性的理论进展及其在物理学、工程学和应用数学中的尖端应用。我们摒弃基础概念的冗余叙述，直接切入复杂问题的核心，聚焦于那些定义了当前研究边界的理论框架和技术工具。 第一部分：先进泛函分析的结构与动力学 本部分是对传统巴拿赫空间和希尔伯特空间理论的有力拓展，深入剖析了在非线性、非局部算子作用下，函数空间的内在结构所呈现出的复杂性与美感。 第一章：测度、积分与抽象勒贝格理论的再审视 我们将从更一般的测度空间出发，重新审视勒贝格积分的定义及其在更广阔的函数类（如Bochner可积函数、向量值测度）中的推广。重点探讨了Fubini定理在涉及非可分变量时的严格性考量，以及非标准测度（如概率测度、几何测度）对泛函分析理论的修正作用。特别关注了与随机场和随机微分方程密切相关的无穷维空间上的概率测度构造问题。 第二章：算子理论的非局部性与谱结构 超越经典的紧算子和自伴算子理论，本章聚焦于非紧、半有界甚至全纯算子的研究。我们详细阐述了由非局部微分算子（如分数阶微分算子）诱导的半群理论，及其在描述异常扩散现象中的应用。引入了度量空间上的谱理论，探讨了当谱不再是离散点集，而是连续区域时，如何定义和分析相关算子的特征值与特征函数。内容涵盖了拓扑不变量在谱分析中的应用，如Atiyah-Singer指标理论在特定拓扑流形上的作用。 第三章：凸分析、极大值原理与非光滑优化 本章将凸分析的工具箱扩展到更一般、非光滑的背景下。重点研究非凸集的变分原理和次微分（Subdifferential）理论。我们详细分析了Clarke次微分和Mordukhovich极限次微分在处理不可微目标函数时的优势，并将其应用于求解具有接触不连续性的物理系统。此外，极大值原理不再局限于经典PDEs，而是扩展到随机微分方程的黏性解（Viscosity Solutions）的构造，以及涉及形状优化和拓扑优化的敏感性分析。 第二部分：前沿偏微分方程的理论与解的正则性 本部分是本书的核心，它致力于解决当前PDE研究中最具挑战性的非线性、高维以及涉及奇异性的问题。 第四章：非线性椭圆型方程的全局解构造 本章专注于高维、高阶非线性椭圆型方程，特别是与几何分析紧密相关的方程（如高维Yamabe方程、Monge-Ampère方程的变体）。核心在于能量泛函的非凸性带来的挑战。我们将深入探讨“山路定理”（Mountain Pass Theorem）的推广、极小能量解的层次结构分析，以及利用集中性分析（Concentration-Compactness Principle）来控制临界点行为，从而避免解的失散或退化。 第五章：流体动力学与非牛顿流体的复杂性 本章将PDEs的研究提升到描述复杂流体运动的层面。重点不在于经典的Navier-Stokes方程的完全可解性，而是转向高粘度流体（如Power-Law流体）和磁流体动力学（MHD）中的三维、非稳态问题。分析集中于边界层理论的严格数学描述，以及如何利用熵耗散方法来证明解的长期稳定性，特别是当流体表现出湍流特征时的数学建模困境。 第六章：演化方程中的奇性、爆破与全局存在性 对于非线性抛物型和双曲型方程，本章探讨解在有限时间内形成奇性（爆破）的机制和条件。我们详细考察了反应-扩散方程中的模式形成，并利用临界指数方法来确定爆破的精确时间尺度。对于双曲型方程（如非线性波动方程），重点在于奇性传播的几何构造（Chow定理的推广）以及如何通过引入耗散项或扰动来驯服非线性，从而保证全局光滑解的存在性。 第七章：随机偏微分方程（SPDEs）的路径依赖性 本章处理由空间维度噪声驱动的偏微分方程，这是连接随机分析与PDEs的关键领域。我们超越Krylov-Bogoliubov定理的经典框架，聚焦于空间时间噪声对解的正则性的影响。核心内容包括正则化技巧（如Malliavin Calculus的应用），随机拟微分算子的定义与计算，以及在随机场方程中如何处理非线性项与噪声项之间的“棕色噪声”耦合问题，以获得路径依赖的解的弱解或随机黏性解。 本书的特色与目标读者 本书的写作风格追求逻辑的严密性、论证的深入性，并保持了对数学物理直觉的尊重。我们避免使用过于简化的例子，而是直接面对真实世界物理模型中出现的复杂数学结构。本书的读者应具备扎实的泛函分析基础、熟悉勒贝格积分理论，并对常微分方程或基础PDEs有深入了解。本书是为致力于在微分几何、数学物理、计算科学和前沿工程领域进行原创性研究的人士量身定制的专业参考书。通过对这些前沿专题的系统梳理，读者将能够掌握当前解决复杂数学物理问题所需的最尖端工具和思想体系。
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