具体描述
Translated into many languages, this book has been the standard university-level text for decades. Revised and enlarged by the author in 1952, it offers today's students exercises in construction problems, similitude, and homothecy, properties of the triangle and the quadrilateral, harmonic division, and circle and triangle geometry.
好的，这是一份为一本名为《College Geometry》的图书撰写的、内容详尽的简介，但不包含《College Geometry》这本书的实际内容。这份简介旨在描绘其他可能存在的、与高等几何相关的图书的主题和深度。 --- 《高等数学中的几何构造与拓扑基础：解析方法与非欧几何的探寻》 一本书，带你穿越维度，重塑空间认知。 本书并非传统意义上的欧几里得几何教材，它是一部深入探索现代几何学基础、连接代数结构与空间形态的深度专著。它旨在引导读者超越平面上的尺规作图和固定角度的限制，进入一个由黎曼流形、射影变换和高维拓扑构成的广阔领域。本书的读者群体定位于具备扎实微积分基础，并希望深入理解几何学在物理学、计算机图形学和现代数学理论中所扮演核心角色的本科高年级学生、研究生以及专业研究人员。 第一部分：解析几何的深化与代数基础 本卷聚焦于如何利用先进的代数工具来描述和分析几何对象。我们不再满足于笛卡尔坐标系下的简单曲线和曲面方程，而是转向更具普适性的向量空间理论。 1. 线性代数与欧几里得空间的高级应用： 我们首先回顾并深化了内积空间的概念，引入了正交基、施密特正交化过程，并探讨了如何利用这些工具来精确地定义距离、角度和投影。重点分析了二次型和矩阵的合同关系，它们是理解二次曲面（椭球、双曲面等）几何性质的关键。如何通过特征值分解来“对角化”一个二次曲面，从而揭示其核心对称性，将是本节的重头戏。 2. 仿射空间与射影几何的引入： 仿射几何摆脱了原点的束缚，成为处理相对位置和变换的自然框架。本书详细阐述了射影空间的构造，探讨了无穷远点和无穷远线（或超平面）的概念，如何将平行的概念统一化。我们深入研究了射影不变量，例如交比（Cross-Ratio），并展示了它在透视投影和共轭变换中的强大威力。此外，对同形变换（Homographies）的矩阵表示及其在计算机视觉和几何建模中的应用进行了详尽的讨论。 3. 微分形式与曲线/曲面的局部微分几何： 这是从离散的代数描述转向连续的分析描述的桥梁。我们介绍了曲线的曲率和挠率的精确定义，并引入了弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式组，用以描述空间曲线在任意点上的局部行为。对于曲面，本书严格定义了第一、第二基本形式，并导出了主曲率、高斯曲率和平均曲率。特别是，高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的证明及其深刻意义——曲率可以仅由曲面的第一基本形式确定，展示了内在几何与外在嵌入之间的微妙关系——将被仔细剖析。 第二部分：非欧几何的结构与内在度量 传统几何学的基石——欧几里得第五公设，在本部分被系统地放逐，以构建更广阔的几何世界。 4. 罗氏几何与双曲空间的构造： 我们从黎曼几何的视角审视超平行线和平行线概念的改变。双曲几何（如庞加莱圆盘模型和上半平面模型）的构造及其与传统几何的内在矛盾被清晰展示。本书着重分析了双曲空间中的三角学，例如双曲余弦定理的修正形式，并探讨了这些模型如何自然地嵌入到更宏大的闵可夫斯基时空（虽然侧重几何而非相对论）。 5. 椭圆几何与球面三角学： 球面几何作为负曲率的对立面，提供了理解正曲率空间的途径。本书详述了球面上的“直线”（大圆），并推导了球面三角学的余弦和正弦定理。通过与欧氏和双曲三角学的对比，读者将清晰认识到几何结构如何根本性地影响了三角关系的本质。 6. 黎曼几何的萌芽：曲率张量与测地线： 在为拓扑学做准备时，我们引入了更抽象但更普适的“度量张量”的概念。通过定义协变导数和黎曼曲率张量，我们为描述任意流形上的曲率提供了工具。测地线——测地线方程——被定义为弯曲空间中的“直线”，即两点间最短路径的变分原理。这为读者理解广义相对论中的时空几何打下了必要的解析基础。 第三部分：拓扑学与几何的定性研究 本部分将几何学的研究对象从可测量的、依赖于度量的结构，转向了依赖于连续变形（拉伸、弯曲，但不允许撕裂或粘合）的定性属性。 7. 拓扑空间的严格定义与基本概念： 从开集、闭集到邻域、紧致性、连通性，本书建立了拓扑学的基本词汇。我们讨论了拓扑等价的概念，并用例子说明了哪些性质在拓扑变换下是保持不变的（拓扑不变量）。 8. 同胚与不变量的搜索： 球面与圆环（甜甜圈形状）的拓扑区别是本节的重点。我们引入了基本群（Fundamental Group）的概念，并计算了圆和圆环的基本群。这是第一个能够区分不同拓扑空间的强大代数不变量。我们将证明圆环上的“缠绕数”是一个拓扑不变量，并展示它如何描述了环面上的回路。 9. 欧拉示性数与流形分类的初步探讨： 欧拉示性数 ($chi$) 作为另一个关键的拓扑不变量，将被引入，并应用于多面体（欧拉-庞加莱公式）和更一般的曲面。本书将展示如何通过计算特定曲面上的欧拉示性数，来确定其拓扑类型，为更高级的流形分类理论搭建阶梯。 结语：几何学的未来图景 本书旨在展示几何学不是一个封闭的学科，而是数学思想的动态交叉点。通过解析工具掌握局部性质（微分几何），通过代数工具掌握变换结构（射影几何），并通过拓扑工具掌握全局性质（拓扑学），读者将建立起一个坚实而灵活的几何思维框架，为未来在微分几何、代数几何或数学物理领域的探索做好充分准备。 --- 本书特色： 深度与广度兼备： 覆盖解析、射影、非欧和拓扑四个现代几何的核心分支。 严谨的数学推导： 关键定理均提供详尽的证明，强调几何直觉与分析严谨性的结合。 丰富的例题与习题： 每章末尾设有难度递增的练习题，强化对抽象概念的掌握。 跨学科视角： 穿插介绍几何学在微分方程、广义相对论、计算机图形学中的实际应用背景。
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