Conformal Groups in Geometry and Spin Structures pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser

作者:Pierre Anglès

出品人:

页数:284

译者:

出版时间:2007-11-29

价格:USD 199.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780817635121

丛书系列:

图书标签:

• Conformal Geometry
• Spin Structures
• Differential Geometry
• Topology
• Group Theory
• Mathematical Physics
• Geometric Analysis
• Representation Theory
• Global Analysis
• Riemannian Geometry

好的，以下是为一本名为《Conformal Groups in Geometry and Spin Structures》的图书撰写的详细内容简介，该简介聚焦于不包含该书特定主题，而是侧重于其他几何学、拓扑学和数学物理领域。 --- 几何与拓扑的广袤疆域：非线性动力学、奇异点理论与范畴论的应用 本书导论：超越经典，探索现代数学的结构性连接 本书并非聚焦于共形群或自旋结构这一特定领域，而是深入探讨了支撑现代数学物理图景的三个核心支柱：奇异点理论（Singularity Theory）在分类问题中的应用、非线性偏微分方程（PDEs）的动力学行为分析，以及范畴论（Category Theory）在代数拓扑和几何结构化中的核心作用。本书旨在为读者提供一个广阔的视野，理解这些看似分散的领域是如何通过深刻的结构性原理相互联系的，特别是在处理复杂系统的稳定性和不变性问题时。 第一部分：奇异点理论与几何结构的局部稳定性 奇异点理论，作为微分拓扑与代数几何的交汇点，是理解光滑映射（Smooth Maps）在低维流形上行为的关键工具。本书的这一部分将详尽阐述如何使用莫尔斯理论（Morse Theory）和奇点分类（Classification of Singularities）来分析函数和向量场在临界点附近的局部结构。 我们将从拓扑学的基础概念出发，引入拉格朗日奇点（Lagrangian Singularities）和射影空间中的超曲面（Hypersurfaces in Projective Space）。核心内容在于深入探讨阿诺德（Arnold）的分类定理，特别是针对有限型奇点（$A_k, D_k, E_6, E_7, E_8$）的几何解释。我们不会涉及共形变换下的不变性，而是专注于局部等价类（Local Equivalence Classes）的识别，即如何通过普法夫斯（Pfaffian）和规范变换（Gauge Transformations）来区分不同类型的奇点。 重点章节将分析拓扑刚性（Topological Rigidity）的概念，即在高维空间中，某些代数结构（如环面或某些李群的旗形空间）的映射，其奇点性质如何严格地由其低维近似决定。我们还会探讨稳定映射（Stable Maps）的概念，并将其应用于拓扑数据分析（Topological Data Analysis, TDA）的初步框架构建中，着重于持久同调（Persistent Homology）在识别数据集中拓扑特征中的实际应用，完全独立于共形不变性。 第二部分：非线性偏微分方程的动力学分析 本书的第二部分将完全聚焦于非线性动力学系统的演化行为，特别是那些不依赖于黎曼几何或辛几何结构，而是源于物理学中非保守或耗散过程的方程。 我们将深入研究非线性抛物方程（Nonlinear Parabolic Equations），如修正的Korteweg-de Vries (KdV) 方程和Allen-Cahn方程在复杂边界条件下的解的存在性与唯一性。讨论将集中在爆破现象（Blow-up Phenomena）的分析，通过使用能量泛函（Energy Functionals）的构造，严格证明解在有限时间内失去光滑性的条件。 一个关键部分是关于孤立子（Solitons）和准孤立子（Quasi-solitons）的结构分析。我们利用反散射方法（Inverse Scattering Method）来分析可积系统（Integrable Systems），但我们的重点将放在非可积系统（Non-integrable Systems）的数值稳定性分析和混沌行为（Chaotic Behavior）的识别上。例如，在研究Navier-Stokes方程的湍流模型时，我们将侧重于概率性正则性理论（Probabilistic Regularity Theories）和耗散性（Dissipativity），而不是寻找任何形式的共形对称性。 我们还将探讨平均场理论（Mean-Field Theories）在描述大量相互作用粒子系统中的应用，这些理论通常涉及高维空间中的随机微分方程，其分析工具主要集中在马尔可夫链（Markov Chains）和大偏差理论（Large Deviation Theory），这些都与经典的共形几何框架截然不同。 第三部分：范畴论在代数与几何结构化中的作用 本书的第三部分是对现代数学语言——范畴论——的系统性介绍，重点是其作为统一抽象框架的功能，而非在特定几何模型（如拓扑场论）中的实例化。 我们将从范畴（Categories）、函子（Functors）和自然变换（Natural Transformations）的基本定义开始，随后过渡到更高级的概念，如极限（Limits）与余极限（Colimits）在构造通用对象中的作用。核心内容将围绕恩培尔构造（Embellishments）和恩培尔完备性（Embellishment Completeness），这些概念用于描述特定代数结构（如环或模）之间的关系。 本书将详细阐述阿贝尔范畴（Abelian Categories）和同调代数（Homological Algebra）的基本工具，包括长正合序列（Long Exact Sequences）的推导和应用。我们特别关注Grothendieck 范畴的特性及其在处理无限过程时的优势。 在几何应用的方面，我们将讨论概形（Schemes）的概念，但焦点在于层理论（Sheaf Theory）如何提供一种描述局部数据一致性的通用方法，而不是研究其上的特定度量结构。我们会利用德拉姆上同调（de Rham Cohomology）的范畴论解释，来理解微分形式的代数结构，并将其与奇异同调（Singular Homology）进行对比，完全避免讨论与共形变换相关的超同调（Supercohomology）或自旋纤维丛（Spin Fiber Bundles）。 结论：跨越学科的桥梁 《几何与拓扑的广袤疆域》提供了一条穿梭于奇异点分类的刚性、非线性动力学的演化不确定性以及范畴论的抽象结构之间的路线图。它强调了数学方法在处理复杂性时的普适性，为那些寻求理解现代几何与拓扑学中非局部、非线性及结构化问题的研究者提供了坚实的理论基础。本书的价值在于其对不同数学分支的综合考察，而非专注于某一特定、技术性极强的几何结构。

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