Compactifications of Symmetric and Locally Symmetric Spaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Borel, Armand/ Ji, Lizhen

出品人:

页数:496

译者:

出版时间:2005-12

价格:$ 134.47

装帧:HRD

isbn号码:9780817632472

丛书系列:

图书标签:

• 紧致化
• 对称空间
• 局部对称空间
• 几何学
• 拓扑学
• 代数拓扑
• 李群
• 微分几何
• 数学分析
• 表示论

好的，这是一本关于数学主题的图书简介，完全独立于您提到的特定书名，但侧重于几何、拓扑和代数结构。 --- 书名：拓扑几何与范畴论的交汇：几何结构的抽象视角 作者： [此处可设想一位资深数学家的名字] 出版社： [此处可设想一家专业学术出版社] 出版日期： 2024年 ISBN： [此处可设想一个国际标准书号] --- 图书简介 《拓扑几何与范畴论的交汇：几何结构的抽象视角》是一部深入探讨现代数学核心领域——拓扑学、微分几何与抽象代数——之间深刻联系的学术专著。本书旨在为高级本科生、研究生以及研究人员提供一个严谨而全面的框架，用以理解几何对象如何通过代数和范畴论的语言得以精确描述和分类。 本书的核心论点在于，几何的本质并非仅限于具体的流形或空间本身，而在于其上可施加的结构（如微分结构、纤维丛结构）以及这些结构之间保持的同构关系。 通过采用范畴论这一强大的抽象工具，我们可以将看似庞杂的几何问题转化为对特定范畴内态射的系统性研究。 全书结构分为四个主要部分，层层递进，构建起一个从具体实例到高度抽象理论的知识体系。 第一部分：几何基础与拓扑视角 本部分首先回顾了必要的拓扑学预备知识，重点关注同调论与上同调论在区分拓扑空间方面的作用。我们详细阐述了奇异同调、Cech上同调以及De Rham上同调的构造及其它们之间的自然联系（通过De Rham定理）。 随后，本书引入了微分流形的概念，并深入探讨了切空间、向量场和张量场的代数结构。重点在于理解在流形上定义微分形式和外微分的内在机制。我们将同调论的思想提升到微分层面，阐述了De Rham上同调如何作为光滑函数代数上“形状”的代数不变量。这里特别关注纤维丛的引入，作为连接基础空间与局部结构的关键桥梁，并讨论了特征类（如陈类、庞加莱对偶）的几何意义。 第二部分：范畴论作为统一语言 第二部分是本书的理论核心。它系统地介绍了范畴论的基础，包括对象、态射、函子、自然变换、极限与余极限。我们着重于将几何概念范畴化：例如，拓扑空间与连续映射构成的范畴 ($mathbf{Top}$)，微分流形与光滑映射构成的范畴 ($mathbf{Man}$)，以及预层（Presheaves）与层（Sheaves）构成的范畴。 至关重要的部分是函子的构建。我们将重点分析如何从一个几何范畴（如 $mathbf{Man}$）构造出代数范畴（如链复形范畴 $mathbf{Ch}$ 或模块范畴 $mathbf{Mod}$）的函子，特别是上同调函子。通过考察这些函子的精确性（左正合性或右正合性），读者可以清晰地看到代数结构如何精确地反映了几何结构中的局部-全局关系。 此外，我们引入了阿贝尔范畴的概念，并展示了层上同调如何自然地嵌入到阿贝尔范畴的理论框架中，这为处理更复杂的几何对象（如层空间）提供了必要的代数工具。 第三部分：从几何到代数：特定结构的范畴化 本部分将前两部分的概念应用于特定的几何结构，展示范畴论的强大应用力。 1. 代数几何的萌芽：概形理论的拓扑基础 虽然本书不深入代数几何的全部细节，但我们会探讨概形（Schemes）的概念如何通过“环空间”这一范畴的视角被定义。我们对比了拓扑空间范畴与局部环空间范畴之间的关系，凸显了如何用环论的语言取代点集拓扑学，从而更精细地处理奇点问题。 2. 向量丛与内积：黎曼几何的范畴表示 我们研究了光滑向量丛的范畴，以及如何定义丛同态。随后，引入黎曼度量作为一种在每个纤维上定义的特定内积结构，并探讨如何通过这些结构定义联络。从范畴论的角度看，联络的形成过程可以被视为特定函子在纤维丛范畴上的一个“结构化”过程。 3. 表示论与对称性：群作用的几何体现 本书探讨了作用于流形上的李群，以及由这些群作用诱导的G-流形的范畴。我们利用等变上同调（Equivariant Cohomology）的概念，展示了如何通过引入群作用的代数结构（即表示论）来细化传统的拓扑不变量。这种方法强调了对称性在几何分析中的核心地位。 第四部分：高等主题：内嵌与嵌入 最后一部分涉及更前沿的研究方向，重点关注几何结构如何被嵌入到更大的结构中。我们将探讨拓扑嵌入定理的思想，即在什么条件下，一个低维或结构受限的空间可以被“平坦地”嵌入到一个更高维或结构更丰富的空间中，同时保持某些关键拓扑/代数性质。 此外，本书将触及模空间（Moduli Spaces）的概念，这些空间本身就是几何对象的“空间”，它们是研究某一类几何对象（如某一类流形或代数簇）的通用框架。我们从范畴论的角度阐释模空间如何通过极限定理或万有性质被构造出来，强调它们是描述“形变”的框架。 本书的最终目标是培养读者一种“结构思维”：将所有几何问题视为关于对象和它们之间变换的抽象关系。通过这本书，读者将掌握将复杂几何直觉转化为严谨的范畴论语言的能力，从而为探索现代数学前沿研究打下坚实的基础。本书包含大量的练习题和思考题，旨在巩固理论理解并鼓励读者进行原创性探索。

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