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出版者:Houghton Mifflin College Div

作者:Berresford, Geoffrey C./ Rockett, Andrew Mansfield

出品人:

页数:863

译者:

出版时间:

价格:143.96

装帧:HRD

isbn号码:9780618293421

丛书系列:

图书标签:

• Calculus
• Applied Mathematics
• Mathematics
• Engineering Mathematics
• STEM
• Higher Education
• Textbook
• Differential Calculus
• Integral Calculus
• Functions

《现代工程数学原理：从离散到连续的桥梁》 本书旨在为工程、计算机科学及相关理工科领域的学生和专业人士，提供一套全面、深入且高度实用的现代数学工具箱。我们聚焦于那些直接支撑现代工程分析、建模与优化的核心数学分支，力求在严谨的理论推导与直观的工程应用之间架起坚实的桥梁。 --- 第一部分：离散系统的数学基础与建模 在现代工程的许多领域，从算法设计到网络理论，离散数学是理解和构建系统的基石。本部分深入探讨了处理非连续、可计数问题的数学框架。 第一章：集合论与逻辑基础的再审视 虽然基础知识为人熟知，但本章从更抽象和结构化的角度重新审视了集合论在定义复杂数据结构和关系中的作用。我们强调范畴论的初步概念，特别是关于结构保持映射（同构与同态）的讨论，这为后续的抽象代数和图论打下坚实基础。重点讲解了公理化集合论（如ZFC的简要概述）如何确保数学推导的可靠性。 第二章：组合学与计数艺术 本章超越了基础的排列组合，深入到高级的计数技术。我们详尽阐述了生成函数（Generating Functions）的强大威力，并将其应用于解决线性递推关系和组合恒等式。随后，引入指数生成函数处理带有标记或标签的组合问题。此外，对概率生成函数的深入探讨，使其成为分析随机过程的有力工具。最后，通过普鲁克定理和拉格朗日反演公式，展示了在复杂约束下精确计数的技巧。 第三章：图论与网络分析 图论是连接离散结构与实际系统的核心学科。本章从连通性、平面图理论入手，继而深入到流与割（Max-Flow Min-Cut Theorem及其Ford-Fulkerson算法的实际应用，如资源调度）。我们详细分析了图的代数表示，包括邻接矩阵和拉普拉斯矩阵，并探讨了谱图理论在网络聚类、降维和系统稳定性分析中的应用。对于动态系统，我们引入了有向无环图 (DAG) 的时间序列分析方法。 第四章：离散结构中的代数方法 本部分重点关注在有限或可计数空间中定义的代数结构。群论的引入不仅仅是为了抽象概念，而是聚焦于对称性在晶体结构、密码学和优化问题中的应用。我们详细讲解了环与域，特别是有限域（Galois Fields）在编码理论（如Reed-Solomon码）中的构造与运算。矩阵代数在此部分被提升到更抽象的层面，讨论其在线性变换和模运算下的行为。 --- 第二部分：连续系统的核心：分析与变换 本部分是理解物理现象、信号处理和优化问题的数学核心。我们专注于极限、变化率和积分的严格处理，并引入了将复杂问题转化为易于处理形式的强大变换技术。 第五章：严格的实数分析基础 本章建立了微积分的严格基础，强调拓扑概念（开集、闭集、紧致性）在证明中的关键作用。我们详细分析了序列与级数的收敛性，特别是对傅里叶级数和功率级数的收敛半径和一致收敛性的严格论证。这为后续处理无限维函数空间中的问题奠定了必要的严密性。 第六章：多元微积分与优化几何 超越单变量，本章深入研究多变量函数的微分和积分。重点在于方向导数、梯度、Hessian矩阵的几何意义及其在无约束优化（牛顿法、拟牛顿法）中的应用。多重积分的计算被系统化，引入雅可比行列式进行坐标变换，特别是在处理极坐标、柱坐标和球坐标系下的体积和面积计算。对向量场的分析，如散度、旋度和线积分的Green定理、Stokes定理和散度定理，是连接场论与工程物理的核心。 第七章：常微分方程 (ODE) 的定性与半解析解法 本章不仅关注求解特定形式的ODE，更强调解的存在性与唯一性定理（如Picard迭代）。对于高阶线性ODE，我们深入研究特征方程、常数变易法，并使用拉普拉斯变换进行系统的求解。对于非线性系统，本章引入相平面分析，探讨平衡点、相轨迹、极限环以及稳定性理论（Lyapunov方法的基础概念），旨在理解系统长期行为而无需求解解析表达式。 第八章：傅里叶与拉普拉斯变换：频域分析的利器 本章是工程分析的“瑞士军刀”。我们详细区分傅里叶级数、傅里叶变换以及双边拉普拉斯变换的适用范围和性质。重点在于展示如何利用这些变换将复杂的微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。对卷积定理的深入理解，使其成为系统响应分析的基石。此外，对Z变换的介绍，将其无缝扩展到离散时间系统的分析中。 --- 第三部分：泛函分析与偏微分方程 (PDE) 的应用视角 本部分将数学工具推向无限维空间，为处理涉及空间和时间连续变化的复杂物理系统（如热传导、流体力学、波动）做准备。 第九章：偏微分方程的分类与基本解 本章系统地分类了一阶和二阶PDE（线性、拟线性），重点分析热方程（扩散）、波动方程（对流）和拉普拉斯方程（稳态）。我们通过分离变量法，演示如何将PDE转化为一组ODE，并引入傅里叶级数作为在特定边界条件下的本征函数展开。 第十章：边界值问题与Green函数 针对复杂的几何形状和非齐次源项，本章引入Green函数方法。我们详细阐述了如何利用Green函数构造PDE的积分形式解，这在电磁场理论和量子力学中的散射问题中至关重要。本章还简要介绍了变分法的基础，展示了如何将PDE问题转化为最小化一个泛函的问题，这直接导向有限元方法的思想。 第十一章：线性代数的高维推广：谱理论 我们将线性代数的概念推广到无限维空间，探讨算子（Operators）的概念。重点在于自伴算子的性质，以及它们在斯图姆-刘维尔 (Sturm-Liouville) 理论中的核心地位。本章阐明了为什么许多物理系统（如薛定谔方程、振动模式）的解可以自然地分解为一组正交的本征函数（本征模态）的组合，并讨论了其在模态分析中的应用。 --- 本书特色： 双向连接： 每一章节都包含“从工程到数学”和“从数学到工程”的双向引导，确保读者理解每种工具背后的物理或计算意义。 案例驱动： 采用大量来自控制论、信号处理、数值方法和优化理论的真实世界案例来阐释抽象概念。 计算验证： 鼓励读者使用Python/MATLAB等工具，对关键的解析解进行数值验证，加深对稳定性和收敛性的理解。 目标读者： 专攻电气、机械、航空航天、土木工程、计算机图形学及理论物理的本科高年级学生和研究生。

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