Elementary Number Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Pubns

作者:Bolker, Ethan D.

出品人:

页数:208

译者:

出版时间:2007-3

价格:$ 16.89

装帧:Pap

isbn号码:9780486458076

丛书系列:

图书标签:

• number theory
• elementary number theory
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深入探索代数与几何的交织：一本关于抽象结构与构造的导论 书籍名称：《结构与构造：现代数学的基石》 内容简介： 本书旨在为初学者和有一定基础的读者提供一个严谨而直观的视角，审视那些构成现代数学核心的抽象结构及其构造方法。我们专注于两大相互关联的领域：群论（Group Theory）和环论（Ring Theory），并辅以必要的集合论基础和同态理论的深入探讨。本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，并通过大量的实例和几何背景的引入，帮助读者将抽象的概念与具体的数学对象联系起来。 第一部分：严谨的起点——集合论、逻辑与基础代数结构 本部分首先回顾并巩固读者对集合论的理解，重点强调关系的定义、函数的性质（尤其是双射、满射和单射）以及良基归纳法（Well-Founded Induction）在构造性证明中的应用。随后，我们将引入运算（Operations）的严格定义，并探讨满足特定公理的代数结构。 我们详细阐述代数结构的四个基本公理系统：封闭性、结合律、单位元和逆元。在此基础上，我们系统地引入群（Groups）的概念。群论部分不仅涵盖了基本的有限群性质（如拉格朗日定理及其推论，子群的计数），更深入探讨了具有特殊性质的群： 循环群（Cyclic Groups）的结构和生成元。 对称群（Symmetric Groups $S_n$）的元素分解与对偶性。 有限交换群（Finite Abelian Groups）的基本定理及其分类。 正规子群（Normal Subgroups）与商群（Quotient Groups）的构造，这是理解结构收缩和同态定理的关键。 为了增强几何直觉，我们会用刚体运动（Rigid Motions）的例子来具体说明二面体群（Dihedral Groups）和四元数群（Quaternion Groups）的非交换性质。 第二部分：同态、同构与结构保存 在建立了群的基本框架后，本书将重点转向同态（Homomorphisms）的研究。同态被视为连接不同代数结构、同时保留其内部运算关系的桥梁。 核（Kernel）与像（Image）的精确定义及其与正规子群的关系，这是理解结构映射失败程度的核心工具。 第一同构定理（First Isomorphism Theorem）的全面证明与应用，它揭示了商群与像之间的内在同构关系。 更进一步，我们将探讨第二和第三同构定理，这些定理对于在复杂结构中寻找子结构具有极大的威力。 第三部分：环论的扩展——从加法到乘法 环论是群论的自然延伸，它引入了第二个二元运算——乘法，并要求结构在加法上形成一个阿贝尔群。本书对环（Rings）的定义非常细致，区分了具有单位元（Ring with Unity）和不具有单位元的环。 核心内容包括： 交换环（Commutative Rings）与单位环（Rings with Unity）的区分。 子环（Subrings）与理想（Ideals）：理想作为环论中与群论中正规子群相对应的核心概念，将被详尽讨论。我们将强调理想在构造商环（Quotient Rings）中的决定性作用。 环同态（Ring Homomorphisms）及其同构定理在环结构上的对应。 第四部分：特种环与域的深入分析 本部分聚焦于具有特殊乘法性质的环，它们在代数几何和代数数论中扮演基础角色。 整环（Integral Domains）：定义域（Field of Fractions）的构造过程，展示了如何将任何整环嵌入到一个域中，这是建立有理数概念在抽象代数中的对应。 域（Fields）：域被视为“最完备”的代数结构，我们将研究有限域（Galois Fields）的构造，尽管本书不深入费米理论，但对有限域的结构进行初步介绍，展现其在编码理论中的潜力。 主理想整环（Principal Ideal Domains, PIDs）：如 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$。我们将引入欧几里得整环（Euclidean Domains）的概念，并通过“除法算法”的推广来定义PID，这是理解最大公约数和最小公倍数的关键。 唯一分解整环（Unique Factorization Domains, UFDs）：探讨PID蕴含UFD的证明，并引入不可约元素（Irreducible Elements）与素元素（Prime Elements）在PID与一般环中的区别。 第五部分：多项式环与构造性证明 本部分专门处理多项式环 $F[x]$，这是连接抽象代数与古典代数的重要纽带。 多项式环的带余除法及其作为欧几里得整环的地位。 根（Roots）的概念与因子定理（Factor Theorem）的代数证明。 不可约多项式的概念，并将其与素元素的性质进行对比。 环的构造： 利用多项式环的商环来构造新的代数结构，特别是为了寻找特定方程的解而构造扩域的基础。 全书贯穿始终的是对构造性方法的强调，即展示如何从已知的简单结构（如 $mathbb{Z}$ 或有限域 $mathbb{F}_p$）出发，通过商、积、嵌入等操作，构建出更复杂、更有趣的代数实体。本书旨在培养读者一种“结构思维”，使之能够识别和分析不同数学对象之间的内在一致性和差异性。

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