Groups and Symmetry

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出版者:American Mathematical Society
作者:David W. Farmer
出品人:
页数:102
译者:
出版时间:1995-11-15
价格:USD 22.00
装帧:Paperback
isbn号码:9780821804506
丛书系列:
图书标签:
  • 数学
  • 抽象代数7
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  • 物理学
  • 化学
  • 数学物理
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具体描述

《群论与几何变换:从欧几里得空间到抽象代数》 内容提要 本书旨在为读者提供一个全面而深入的群论基础,重点探讨群论在几何学、拓扑学以及更广泛的代数结构中的应用。本书的结构设计旨在引导读者从直观的几何对称概念出发,逐步过渡到严谨的抽象代数框架,并最终将这些工具应用于现代数学的各个前沿领域。我们精心挑选了核心概念和关键定理,力求在保持数学严谨性的同时,增强内容的连贯性和可理解性。 第一部分:对称性的几何起源与初步概念 本书的第一部分聚焦于群论的几何直觉基础。我们将从欧几里得空间中的刚体运动(平移、旋转、反射)入手,自然地引入变换群的概念。 第一章:欧几里得空间中的对称性 本章详细阐述了二维和三维欧几里得空间中的等距变换。我们首先定义点集上的变换,然后关注保持距离不变的变换。通过对有限点集(如正多边形、正多面体)的对称操作的分析,读者将初次接触到群的四个基本公理:封闭性、结合律、单位元和逆元。我们将详细讨论旋转群 $C_n$ 和二面体群 $D_n$ 的具体构造,并展示它们如何描述了日常可见的对称现象。本章强调了从具体例子中抽象出数学结构的重要性。 第二章:置换群与有限群基础 本章将视角从几何变换转向有限集合上的置换。我们将详细介绍置换的乘法、循环分解和奇偶性。对称群 $S_n$(所有 $n$ 个元素的置换群)是群论中的一个基石,本章将深入探讨其子群结构。我们引入了陪集、拉格朗日定理及其在计算群阶和子群阶中的应用。通过分析 $S_3$ 和 $A_4$(交错群),读者将为理解更复杂的有限群打下坚实的基础。本章的重点是建立一个清晰的框架,用于分析任何有限群的内部结构。 第二部分:抽象群结构的深入探索 在掌握了有限群的基本工具后,第二部分开始正式进入抽象代数的领域,探讨群结构的核心性质。 第三章:同态、同构与规范子群 本章是连接几何直觉与抽象代数的关键桥梁。我们定义了群同态和同构,它们是衡量不同群之间结构相似性的标准。同构的概念使我们能够将几何群映射到抽象的群表示上。重点是规范子群(正规子群)的引入。规范子群的重要性在于它允许我们构造商群(或因子群)。我们将详细推导第一同构定理,这是群论中最强大且最常用的工具之一,它揭示了同态、核与商群之间的根本联系。 第四章:群作用与轨道-稳定子定理 本章探讨群如何“作用”于一个集合上,这种作用是理解群论应用的关键视角。我们定义了群作用的性质,并详细分析了轨道和稳定子。轨道-稳定子定理是本章的核心成果,它提供了一种计算群作用中轨道大小和稳定子大小的强大方法。我们将利用此定理重新审视 $p$-群(阶为素数 $p$ 的幂的群)的性质,并利用作用的概念证明第二西洛夫定理(Sylow's Second Theorem)的特例,展示群作用在揭示群结构方面的威力。 第五章:西洛夫定理与有限群的结构 西洛夫定理是有限群分类和结构分析的强大工具。本章将完整、严谨地阐述三个西洛夫定理,包括对 $p$-群存在性、共轭关系和个数的描述。我们将利用这些定理来确定特定阶数的群的可能结构,例如阶为 $pq$ 的群的结构。本章的实践部分将集中于如何运用这些定理来区分同构的群,并开始涉及非阿贝尔群的分类问题。 第三部分:群表示论与应用 第三部分将群的抽象结构与线性代数紧密结合,介绍群表示论这一强大的分析工具。 第六章:群表示的基础 本章介绍了群表示的概念,即将群中的元素映射到可逆线性变换(矩阵)上,同时保持群运算的结构(即表示同态)。我们将详细讨论可约表示和不可约表示。核心内容是完全可约性(针对紧群或有限群)以及舒尔引理(Schur's Lemma)在简化不可约表示方面的作用。理解不可约表示是分析复杂表示的基石。 第七章:特征标理论 特征标(Character)是群表示论中用于区分不同表示的关键工具。本章定义了群的特征标,并探讨了它们在线性代数中是如何计算的。我们将推导正交性关系,这是特征标理论中最核心的定理之一,它允许我们利用特征标来分解任意表示,并确定一个表示是否为不可约的。本章将展示如何构建特征标表,这是对有限群结构进行系统描述的有力工具。 第八章:应用:晶体学与光谱学 本章将理论与物理应用相结合。我们将展示如何使用点群(如 $C_{3v}, D_{4h}$)的表示理论来分析晶体结构和分子振动模式。通过量子力学中的微扰理论和选择定则,读者将看到群表示如何直接决定了哪些物理跃迁是允许的(选择定则),以及如何对晶格的对称性进行分类。这部分内容展示了抽象的数学结构如何在描述物理实在中发挥不可替代的作用。 结论 本书最后回顾了群论在现代数学中的核心地位,并简要展望了更高级的主题,如交换环上的模、伽罗瓦理论,以及在拓扑学中对基本群的描述。通过这条从几何对称到抽象代数,再到线性表示的路径,读者将建立起一个坚实且富有洞察力的群论知识体系。

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用户评价

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《Groups and Symmetry》这本书为我打开了一扇通往数学新世界的大门。我一直觉得数学是一门需要天赋的学科,但这本书却用一种极其友好的方式,让我领略到了群论的魅力。作者的叙述风格非常独特,他并没有直接给出复杂的定义,而是从最基础的对称概念出发,循序渐进地引导读者深入理解群论的核心思想。我尤其欣赏书中对几何学和代数学之间联系的阐述,这让我看到了数学的整体性和统一性。我记得在阅读关于“群的阶”和“子群”的部分时,书中用了很多直观的例子,让我能够轻松地理解这些抽象的概念。这本书不仅仅是知识的传授,更是一种思维方式的塑造。它教会我如何用一种更系统、更严谨的方式去分析问题,如何从局部细节中看到整体的结构。我发现自己开始在生活中更加留意对称性,并且能够用数学的语言去描述它们。这本书的阅读体验非常愉悦,我常常会因为书中某个巧妙的证明或某个令人拍案叫绝的应用而感到兴奋。对于任何想要深入了解数学,并且渴望看到数学在现实世界中广泛应用的读者,《Groups and Symmetry》都将是一次极具价值的阅读体验。

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我必须承认,《Groups and Symmetry》这本书彻底颠覆了我对抽象数学的固有印象。一直以来,我都觉得像群论这样的学科离我的生活太遥远,但这本书却用一种非常接地气的方式,将这些看似高深的理论与我们身边无处不在的对称性紧密联系起来。作者的叙述风格非常独特,他没有一开始就抛出冷冰冰的定义,而是通过大量的图示和生活中的例子,一点点地引导读者进入群论的世界。我尤其喜欢书中对晶体学和化学中对称性的讲解,那些复杂的晶格结构和分子式,在群论的框架下变得异常清晰和有条理。我记得在阅读关于“对称操作”的部分时,书中用了一个非常形象的比喻,让我瞬间就理解了不同对称操作之间的组合关系。这本书不仅仅是知识的堆砌,更是一种思维方式的训练。它教会我如何从一个抽象的概念出发,去分析和理解现实世界中的各种现象。我发现自己开始在生活中更加敏锐地注意到对称性,并且能够用更系统、更严谨的方式去描述它们。这本书的阅读体验非常愉快,我常常会因为书中某个巧妙的论证或某个出人意料的应用而感到惊喜。对于任何希望拓宽视野、深入理解科学背后数学原理的读者,《Groups and Symmetry》都是一本绝佳的选择。

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《Groups and Symmetry》这本书是一场智力探险的绝佳向导。我一直对数学的抽象性感到些许畏惧,但这本书却以一种非常友好的方式,将我引入了群论的奇妙世界。作者的叙述风格非常迷人,他并没有直接抛出复杂的定义和定理,而是从一些我们熟悉的对称现象入手,比如图案的重复、物体的旋转和反射,然后层层递进,将这些直观的例子与群论的概念巧妙地联系起来。我特别欣赏书中对几何学和代数学之间联系的阐述,这让我意识到数学的各个分支并非孤立存在,而是相互关联、相互支撑的。我记得读到关于“对称群”的部分时,我仿佛看到了一个清晰的框架,能够帮助我理解各种对称变换的组合规则。书中还穿插了一些历史故事和数学家的趣闻轶事,这让阅读过程更加生动有趣,也让我对数学的发展历程有了更深的了解。我常常会因为书中某个巧妙的证明或某个出人意料的应用而感到兴奋。这本书不仅仅是知识的传授,更是一种思维的启迪。它教会我如何用一种更抽象、更系统的方式去分析问题,如何从局部细节中看到整体的结构。对于任何想要深入了解群论及其在科学、艺术等领域广泛应用的读者来说,这本书都将是一次极具价值的阅读体验。它会让你对“对称”这个概念的理解提升到一个全新的高度。

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对于《Groups and Symmetry》这本书,我只能用“惊为天人”来形容我的感受。它不仅仅是一本关于数学的书,更像是一部关于理解宇宙结构和秩序的哲学著作。我一直对数学在描述自然现象中的作用感到好奇,而这本书恰好满足了我这一点。作者深入浅出地讲解了群论的核心思想,如何通过抽象的代数结构来捕捉和分类“对称性”。我特别被书中关于物理学的应用部分所吸引,比如粒子物理中守恒定律与对称性的深刻联系,以及它在描述基本力时的作用。这些内容让我对物理世界的运作原理有了前所未有的直观感受。书中对数学方法的严谨性毋庸置疑,但同时又不失趣味性。作者善于使用生动的语言和形象的比喻,将那些高深的理论变得易于理解。我记得有一次,我在阅读关于“同态”的章节时,书中用了一个非常贴切的比喻,瞬间就让我茅塞顿开。这本书不仅教授了知识,更重要的是,它培养了一种数学思维方式,一种去发现、去分析、去理解事物背后结构的能力。我发现自己不仅在学习数学,更是在学习一种看待世界的新角度。这本书也极大地激发了我对进一步探索数学领域的兴趣,我开始主动去查阅相关的资料,去思考数学在其他科学分支中的作用。对于那些希望将数学知识与实际应用联系起来,并且渴望深入理解科学世界本质的读者来说,《Groups and Symmetry》绝对是一本不可错过的经典。

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这本《Groups and Symmetry》给我留下了极其深刻的印象,它以一种令人难以置信的方式,将数学的严谨性和艺术的美感融为一体。我一直认为,数学的魅力在于其能够揭示隐藏在事物之下的规律,而这本书恰好展现了这一点。作者在阐述群论概念时,运用了大量生动形象的例子,从晶体的结构到分子的对称性,再到数学本身的对称性,都描绘得淋漓尽致。我尤其喜欢书中对“群”这一抽象概念的解释,它如何通过一组规则来描述对象之间的变换和组合,这让我对抽象代数的威力有了全新的认识。阅读过程中,我常常会因为一个巧妙的比喻或一个令人惊喜的应用而停下思考。书中对于数学证明的讲解也清晰透彻,虽然有时需要反复推敲,但每一次的理解都给我带来了巨大的满足感。它不像是那种枯燥的教科书,而是更像一位经验丰富的导师,耐心地引导你探索知识的海洋。我发现,一旦你掌握了群论的基本原理,你就会开始在生活中注意到更多的对称性,并能够用数学的语言来描述它们。这本书不仅提升了我的数学素养,更重要的是,它培养了我一种分析问题、解决问题的能力,让我能够用更系统的思维去理解世界。对于那些对数学、科学、甚至是哲学感兴趣的读者,这本书都将是一次令人难忘的旅程。

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这本《Groups and Symmetry》让我对数学有了全新的认识。一直以来,我都觉得数学是抽象且遥远的,但这本书却用生动有趣的方式,将群论的概念与我们日常生活中无处不在的对称性紧密联系起来。作者的叙述方式非常独特,他没有直接抛出复杂的定义,而是从生活中最常见的对称现象入手,比如旋转、翻转等,然后逐步将这些概念与群论的核心思想相结合。我特别欣赏书中对晶体结构和分子对称性的讲解,这些复杂的概念在群论的框架下变得异常清晰和有条理。我记得在阅读关于“李群”的部分时,书中用了一个非常巧妙的比喻,瞬间就让我对这个更抽象的概念有了直观的理解。这本书不仅仅是知识的传授,更是一种思维方式的训练。它教会我如何用一种更抽象、更系统的方式去分析问题,如何从局部细节中看到整体的结构。我发现自己开始在生活中更加敏锐地注意到对称性,并且能够用更系统、更严谨的方式去描述它们。这本书的阅读体验非常愉快,我常常会因为书中某个巧妙的论证或某个出人意料的应用而感到惊喜。对于任何希望拓宽视野、深入理解科学背后数学原理的读者,《Groups and Symmetry》都将是一本绝佳的选择。

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《Groups and Symmetry》这本书如同一场精心策划的智力盛宴,让我对数学的理解发生了翻天覆地的变化。我一直认为数学是抽象的、枯燥的,但这本书却用生动而富有吸引力的方式,揭示了群论的迷人之处。作者从日常生活中随处可见的对称现象入手,将抽象的数学概念层层剥开,让我能够直观地理解群论的精髓。我特别欣赏书中对数学美学的探讨,它不仅仅是关于公式和定理,更是关于结构、规律和和谐。我记得在阅读关于“凯莱定理”的部分时,我被它简洁而强大的表述深深吸引,它揭示了所有有限群都可以被看作是置换群的子群,这让我对群论的普适性有了更深的认识。书中还穿插了许多历史典故和数学家的故事,这让阅读过程不再单调,反而充满了人情味。我常常会在某个巧妙的证明或某个令人拍案叫绝的应用中,感受到数学的无穷魅力。这本书不仅教授了知识,更重要的是,它培养了我一种全新的思维方式,一种能够从繁杂的现象中抓住本质、发现规律的能力。我发现自己开始在生活中用数学的眼光去审视事物,去发现隐藏在其中的对称美。对于任何渴望深入了解数学、理解世界运作规律的读者,《Groups and Symmetry》绝对是一本不容错过的经典之作。

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这本《Groups and Symmetry》真的让我大开眼界,尤其是它如何将抽象的数学概念与我们日常生活中几乎随处可见的对称性巧妙地联系起来。我一直觉得数学是一门严谨而冷峻的学科,但这本书彻底改变了我的看法。作者仿佛一位技艺精湛的导游,带领我穿梭于群论的宏伟殿堂。从最基础的置换群讲起,到更复杂的李群,每一个概念都铺陈得有条不紊,逻辑清晰。我尤其喜欢书中对晶体学的讲解,那些复杂的晶格结构,在群论的框架下竟然变得如此规律和可理解。每次翻开这本书,我都能发现新的亮点,比如它在化学、物理甚至艺术领域的应用,都让我对“对称”这个词有了全新的认识。它不是简单的将理论堆砌,而是通过大量的例子和直观的图示,让读者能够真正“看到”群论的力量。我常常会因为一个巧妙的比喻而会心一笑,或者因为一个令人拍案叫绝的证明而沉浸其中。即使是对数学基础不太扎实的读者,只要愿意投入时间和精力,也一定能从中获益匪浅。这本书就像是一把钥匙,打开了通往更深层次理解世界的大门。它让我明白,看似杂乱无章的现象背后,可能隐藏着优雅而深刻的数学规律,而群论正是揭示这些规律的重要工具。我非常推荐任何对数学、科学以及它们如何塑造我们周围世界感到好奇的人阅读这本书。它会挑战你的思维,拓展你的视野,并让你对“美”的定义产生新的思考。

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《Groups and Symmetry》这本书是一次绝佳的数学启蒙。我一直认为数学是一门难以捉摸的学科,但这本书却用一种非常易于理解的方式,将群论的概念娓娓道来。作者的叙述风格非常吸引人,他从生活中的各种对称现象出发,逐步引导读者理解群论的核心思想。我特别喜欢书中对几何图形对称性的讲解,它让我看到了数学在艺术和设计中的应用。我记得在阅读关于“群的表示”的部分时,书中用了很多生动的例子,让我能够轻松地理解这些抽象的概念。这本书不仅仅是知识的传授,更是一种思维方式的培养。它教会我如何用一种更系统、更严谨的方式去分析问题,如何从局部细节中看到整体的结构。我发现自己开始在生活中更加留意对称性,并且能够用数学的语言去描述它们。这本书的阅读体验非常愉快,我常常会因为书中某个巧妙的证明或某个令人拍案叫绝的应用而感到惊喜。对于任何想要深入了解数学,并且渴望看到数学在现实世界中广泛应用的读者,《Groups and Symmetry》都将是一次极具价值的阅读体验。

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这本《Groups and Symmetry》是一次令人振奋的智力之旅。我一直对数学的抽象性感到些许畏惧,但这本书却以一种极其迷人的方式,将我带入了群论的奇妙世界。作者的叙述方式非常独特,他并没有直接抛出复杂的定义和定理,而是从我们熟悉的对称现象入手,将这些直观的例子与群论的概念巧妙地联系起来。我特别欣赏书中对物理学和化学领域应用的讲解,它让我看到了数学在理解自然规律方面的重要作用。我记得在阅读关于“群的同构”的部分时,书中用了一个非常贴切的比喻,瞬间就让我茅塞顿开。这本书不仅仅是知识的传授,更是一种思维的启迪。它教会我如何用一种更抽象、更系统的方式去分析问题,如何从局部细节中看到整体的结构。我发现自己不仅在学习数学,更是在学习一种看待世界的新角度。对于那些希望将数学知识与实际应用联系起来,并且渴望深入理解科学世界本质的读者来说,《Groups and Symmetry》绝对是一本不可错过的经典。它会挑战你的思维,拓展你的视野,并让你对“美”的挑战和理解产生新的思考。

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