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出版者:Chapman and Hall/CRC

作者:Jonathan D. H. Smith

出品人:

页数:344

译者:

出版时间:2008-8-20

价格:USD 94.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9781420063714

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深入探索数学的基石：群、环与域的奇妙世界 本书旨在为读者提供一个全面且引人入胜的抽象代数入门体验。我们从最基础的概念出发，逐步构建起整个理论框架，力求清晰、严谨，同时又不失数学的内在美感。本书适合具有微积分和基础线性代数知识的本科生，以及任何希望系统学习代数结构，培养深刻数学思维的自学者。 第一部分：群论的坚实基础 我们从代数结构中最基本、也最重要的概念——群 (Group) 开始。群论是现代数学的基石之一，其应用横跨代数、几何、分析乃至物理学。 第一章：基础概念与例子 本章首先定义了群的四条基本公理：封闭性、结合律、单位元和逆元。随后，我们通过大量的具体例子来巩固这些抽象定义：整数集 $mathbb{Z}$ 在加法下的群结构，非零有理数集 $mathbb{Q}^$ 在乘法下的群结构，以及更重要的，对称群 $S_n$。对称群的引入，将代数思维与排列组合的直观性紧密结合。我们详细探讨了置换的分解、奇偶性以及交替群 $A_n$ 的重要性。 第二章：子群与陪集 理解一个群的内部结构，离不开对子群 (Subgroup) 的研究。本章定义了子群的判别准则，并引入了陪集 (Coset) 的概念。陪集不仅是划分群的工具，更是通往更深层次理论的桥梁。我们详细分析了左陪集与右陪集的区别与联系，并引出了拉格朗日定理 (Lagrange's Theorem)——这是一个在有限群理论中具有里程碑意义的结论，它精确地限制了一个有限群的子群阶数与群阶数之间的关系。 第三章：正规子群与商群 拉格朗日定理的后续探索自然引出了对特殊子群——正规子群 (Normal Subgroup) 的关注。只有当子群的左右陪集完全重合时，我们才能在该子群的基础上构建一个全新的、更简洁的群结构，即商群 (Quotient Group) 或因子群。本章详细阐述了正规子群的等价定义，并清晰地展示了商群的运算规则。我们通过具体的例子，如模 $n$ 整数环 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ 构造的群，来具体说明商群的意义：它是对原群进行“模去”某个结构后得到的简化模型。 第四章：同态与同构 代数结构之间的关系是通过同态 (Homomorphism) 来刻画的。本章定义了群同态，并强调了其保持运算结构的特性。同构（Isomorphism）作为一种特殊的同态，意味着两个群在代数结构上是本质相同的。我们引入了核 (Kernel) 和像 (Image) 的概念，并将它们与正规子群的结构紧密联系起来。第一同构定理 (First Isomorphism Theorem) 是本章的核心成果，它提供了识别商群结构的标准工具，并深刻揭示了同态、核与商群之间的内在统一性。 第五章：置换群与 Cayley 定理 回到对称群的魅力。本章专门深入探讨置换群 (Permutation Groups) 的性质。我们学习了置换的循环分解、共轭类结构，并研究了 $S_n$ 的特定子群，如中心化子和正规化子。最后，我们展示了Cayley 定理，这是一个令人震撼的结论：每一个有限群都同构于某个对称群。这表明，对称群在群的家族中占据了“通用模型”的地位。 第六章：特殊群与应用 本章探讨了一些结构更为复杂的群，例如循环群 (Cyclic Groups) 及其性质，以及有限阿贝尔群的结构定理的初步介绍。我们还将目光投向代数在其他领域的应用，例如，通过群作用（Group Action）的概念，我们引入了轨道 (Orbits) 和稳定子 (Stabilizers)，并利用这些工具来重新证明拉格朗日定理，并探索Sylow 定理在有限群分类中的重要性。 --- 第二部分：环论的拓宽视野 在掌握了群论的基础上，我们将代数运算扩展到两种二元运算——加法和乘法，进入环 (Ring) 的世界。环论是代数结构研究从“只有一种操作”到“多种操作相互作用”的关键飞跃。 第七章：环与子环 本章从定义环开始，明确了其需要满足的加法群结构和乘法结合律以及分配律。我们区分了交换环 (Commutative Ring) 和单位环 (Ring with Unity)。随后，我们定义了子环 (Subring)，并探讨了满足特定性质的特殊环，如整环 (Integral Domain)，它本质上是一个没有零因子（Zero Divisor）的交换单位环。 第八章：理想与商环 如同群论中的正规子群，环论中负责构造更简单结构的工具是理想 (Ideal)。本章详细定义了理想，并展示了左理想、右理想和双边理想的区别。在交换单位环中，双边理想构成了商环 $ ext{R/I}$ 的基础。我们分析了商环 (Quotient Ring) 的运算，并类比群同态，建立了环同态的概念。环的第一同构定理在此得到了完美的体现，它再次证明了代数结构间联系的普适性。 第九章：积分域的深度探索 本章聚焦于具有域特征的环结构——整环。我们探讨了整环中的整除性 (Divisibility)、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM) 等概念。在此基础上，我们引入了更精细的结构：欧几里得整环 (Euclidean Domain)，它允许我们通过“除法算法”来定义GCD；主理想整环 (Principal Ideal Domain, PID)，其中每个理想都是由单个元素生成的；以及唯一因子分解整环 (Unique Factorization Domain, UFD)，这是我们熟悉的多项式和整数分解的推广形式。我们证明了欧几里得整环蕴含 PID，PID 蕴含 UFD。 第十章：多项式环与域的构造 多项式环 $F[x]$ 是代数结构中最具实用性的环之一，其中 $F$ 是一个域。本章研究了多项式环的性质，并展示了对于任意域 $F$，多项式环 $F[x]$ 也是一个 PID（甚至是一个欧几里得整环）。我们利用多项式环构造了更高阶的数系，例如通过模一个不可约多项式来构造有限域或扩域的基础。 --- 第三部分：域论与代数的终极目标 第三部分将我们带入域 (Field) 的世界，域是具有加法和乘法两种运算的代数结构中，自由度最高的结构。域论是现代代数解决方程的关键领域。 第十一章：域的性质与特征 本章将域定义为特殊的交换单位环，其中每一个非零元素都有乘法逆元。我们讨论了域的特征 (Characteristic)，它决定了域中元素加法循环的模式（要么特征为零，要么是素数 $p$）。我们分析了域的最小子域（素数域）。 第十二章：域扩张 域扩张是代数几何和伽罗瓦理论的基础。域扩张 (Field Extension) $E/F$ 是指 $E$ 包含 $F$ 作为一个子域。我们引入了次数 (Degree) $[E:F]$ 的概念，它衡量了 $E$ 相较于 $F$ 的“大小”。我们详细考察了由 $F$ 附加单个元素 $alpha$ 所产生的扩张 $F(alpha)$ 的结构，并利用多项式理论来确定其次数。 第十三章：代数扩张与最小多项式 本章聚焦于代数元素 (Algebraic Elements) 和它们的最小多项式 (Minimal Polynomial)。最小多项式不仅唯一确定了代数元素，也是确定域扩张次数的核心工具。我们进一步区分了分裂域 (Splitting Field) 的概念，即包含某个多项式所有根的最小域。 本书在这些核心概念上打下坚实基础，为读者未来深入研究伽罗瓦理论、代数几何或数论等领域做好充分的准备。我们的目标是让读者不仅学会“计算”，更能理解这些结构背后的逻辑必然性和优雅的内在联系。

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这本书的版式设计给我一种专业而又亲切的感觉，清晰的排版和适度的留白，都预示着这是一本值得我深入研读的数学著作。我一直对数学的抽象性与实用性之间的联系感到好奇，尤其是当这些抽象理论能够解释现实世界中的各种现象时，更是让我感到惊叹。我期待《Introduction to Abstract Algebra》能够系统地介绍抽象代数的核心概念，例如群、环、域，并深入探讨它们的性质、定理以及它们之间的相互关系。我尤其希望书中能够包含大量生动形象的例子，帮助我理解这些抽象的概念，并能够将理论知识与实际应用联系起来。我希望通过这本书的学习，我能够掌握群论中的基本工具，例如子群、陪集、同态和同构，并且能够初步理解环和域的结构及其在数学其他分支中的应用，例如在密码学或编码理论中的应用。

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这本书的封面设计就给我一种沉稳而又充满智慧的感觉，深邃的蓝色背景搭配简洁的字体，仿佛预示着即将展开一段严谨而又引人入胜的数学旅程。我是一个对数学理论充满好奇，但又常常在抽象的概念面前感到一丝畏惧的读者。高中时接触到一些基础代数知识，尤其是群论的初步概念，便深深地被它那种“以简驭繁”的逻辑魅力所吸引。我相信，《Introduction to Abstract Algebra》正是通往更深层数学世界的一扇大门，它不仅仅是知识的堆砌，更是一种思维方式的训练，一种认识世界的新视角。我期待这本书能够循序渐进地引导我理解那些看似晦涩难懂的代数结构，从群、环、域这些基本概念出发，逐步深入到它们的性质、定理以及它们在数学其他分支中的应用。我尤其希望书中能够有足够多的例子和练习题，帮助我巩固理解，将抽象的理论具象化，并且能够培养我独立思考和解决问题的能力。我对书中可能出现的诸如同态、同构、子群、正规子群、商群等概念充满了期待，希望能通过生动形象的解释，让我能够真正地“看见”这些数学对象的内在联系和规律。

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这本书的封面设计简洁而又不失学术的严谨感，这让我对即将阅读的内容充满了期待。我一直以来都对数学的逻辑之美和抽象思维方式着迷，而抽象代数正是这一领域的集大成者。我希望《Introduction to Abstract Algebra》能够成为我深入理解这个迷人领域的开端。我期待书中能够清晰、系统地介绍群、环、域等基本代数结构，并深入探讨它们的定义、性质、定理以及它们之间的相互关系。我尤其希望书中能够提供大量的例子和练习题，帮助我巩固对抽象概念的理解，并培养我独立思考和解决数学问题的能力。我相信，通过这本书的学习，我能够更好地掌握群论中的关键概念，例如子群、陪集、同态和同构，并且能够初步理解环和域的结构及其在数学及其他科学领域中的重要作用。

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这本书的厚度与内容的丰富性，预示着一段引人入胜的知识探索之旅。我一直对数学的普适性和抽象性着迷，尤其是那些能够解释宇宙运行规律的理论。虽然我并非科班出身，但我对数学知识始终抱有强烈的求知欲。在我看来，抽象代数是连接具体数字运算与更高级数学理论的桥梁。我希望《Introduction to Abstract Algebra》能够系统地介绍群、环、域这三大基本代数结构，并深入探讨它们的性质、定理以及它们之间的相互关系。我尤其期待书中能够详细介绍群的分类、子群的性质以及商群的构造，这些概念对我理解代数系统的结构至关重要。此外，我也对环的定义、性质以及理想的概念很感兴趣，希望书中能有清晰的解释和生动的例子。我更希望这本书能够帮助我培养严谨的数学思维，提高逻辑推理能力，并最终能够独立地去探索更深层次的数学领域。

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当我看到这本书的标题时，我的思绪立刻被拉回了大学时期，那时我对数学充满了探索欲，但往往被那些晦涩的符号和抽象的概念所困扰。如今，我希望能够重新拾起这份热情，并希望《Introduction to Abstract Algebra》能够成为我这次数学之旅的可靠伙伴。我期待这本书能够以一种清晰且易于理解的方式，引导我深入了解抽象代数的核心概念，例如群论、环论和域论。我希望书中能够详尽地解释群的定义、性质以及各种重要的群结构，例如有限群和无限群。同时，我也非常期待书中能够介绍同态、同构等重要的映射概念，以及它们在理解不同代数结构之间联系中的作用。我尤其希望书中能够包含大量的例子和练习题，帮助我巩固对抽象概念的理解，并培养我独立解决数学问题的能力。我相信，通过这本书的学习，我能够更好地理解数学的逻辑之美，并将其应用于更广泛的领域。

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当我第一次看到这本书的封面时，一种对未知的探索欲油然而生。我一直对数学的抽象性和逻辑之美感到着迷，尤其是那些能够用简洁的符号描绘出复杂世界运行规律的理论。虽然我并非数学专业的学生，但我对代数尤其是抽象代数领域充满了好奇。我希望《Introduction to Abstract Algebra》能够成为我深入了解这个领域的一本极佳的入门读物。我期待书中能够清晰地阐述群、环、域等核心概念，并逐步引导我理解它们的定义、性质、定理以及它们之间的内在联系。我尤其希望书中能够包含大量的例子和练习题，帮助我巩固对抽象概念的理解，并培养我独立思考和解决问题的能力。我希望通过这本书的学习，我能够掌握群论中的基本工具，例如子群、陪集、同态和同构，并且能够初步理解环和域的结构及其在数学其他分支中的应用。

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当我翻开这本书的那一刻，一种久违的学术气息扑面而来。我并非数学专业的科班出身，但一直以来对数学的严谨逻辑和普适性有着浓厚的兴趣。在工作之余，我常常会涉猎一些数学科普读物，但总觉得意犹未尽，总渴望能够更深入地理解那些构建了现代科学基石的抽象理论。这本书的标题《Introduction to Abstract Algebra》恰好击中了我内心的渴望。我期待这本书能够像一位经验丰富的向导，带领我穿越抽象代数的迷宫。我希望书中能够清晰地阐述群论的基本定义和公理，并在此基础上逐步介绍各种重要的群结构，比如对称群、循环群以及它们的性质。同时，我也非常关注书中是否会涉及环和域的概念，以及这些结构之间的联系和区别。尤其是我对域的划分和有限域的构造非常感兴趣，我希望书中能有详细的介绍，让我了解它们在密码学、编码理论等领域的实际应用。更重要的是，我期待这本书能培养我独立推导数学证明的能力，从简单的公理出发，一步步构建起宏大的理论体系，这对我来说是一种智力上的极大挑战和享受。

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当我拿到这本书的时候，一股浓厚的学术氛围扑面而来。我一直对数学的抽象性和逻辑严谨性有着深深的着迷，特别是那些能够揭示宇宙运行规律的深层数学理论。我希望《Introduction to Abstract Algebra》能够成为我探索抽象代数世界的绝佳入门读物。我期待书中能够以清晰、易懂的方式，系统地介绍群、环、域这三大基础代数结构，并深入讲解它们的性质、定理以及它们之间的相互联系。我尤其希望书中能够包含大量的例子和练习题，以便我能够更好地理解和巩固这些抽象概念，并且能够培养我的独立思考能力和解决数学问题的能力。我相信，通过这本书的学习，我能够掌握群论中的关键工具，例如子群、陪集、同态和同构，并且能够初步理解环和域的结构及其在数学和科学其他分支中的广泛应用。

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这本书的封面设计给我一种简洁而又充满力量的感觉，银色的书名在深蓝色的背景下熠熠生辉，仿佛象征着抽象代数所蕴含的深刻智慧。我一直对数学的抽象性和逻辑严谨性着迷，尤其是当它能够描述现实世界中的各种现象时，更是让我感到惊叹。我曾经在大学期间选修过一门基础的离散数学课程，对集合论和图论有初步的接触，但对于更深层次的抽象代数概念，比如群、环、域的理解还比较模糊。因此，我希望《Introduction to Abstract Algebra》能够成为我学习抽象代数的敲门砖。我期待书中能够系统地介绍群的定义、性质以及各种重要的群类型，例如置换群、循环群和直积群。同时，我也非常想了解同态和同构的概念，以及它们在研究不同代数结构之间的关系中的作用。我希望书中能够提供大量清晰的例子和图示，帮助我理解这些抽象概念，并将理论知识与实际应用联系起来。我特别希望书中能够包含一些关于子群、陪集和拉格朗日定理的内容，这对我理解群的内部结构至关重要。

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这本书的装帧设计给我一种既专业又亲切的感觉，封面色彩的选择和字体的大小都恰到好处，传递出一种严谨而又不失引导性的学术信息。我一直对数学的抽象之美和逻辑的严谨性有着浓厚的兴趣，而抽象代数正是通往更深层数学理解的一条重要途径。我希望《Introduction to Abstract Algebra》能够成为我学习抽象代数的首选读物。我期待书中能够系统地介绍群、环、域等核心概念，并深入探讨它们的定义、性质、定理以及它们之间的相互关系。我尤其希望书中能够提供大量生动形象的例子和练习题，帮助我理解这些抽象的概念，并将理论知识与实际应用联系起来。我相信，通过这本书的学习，我能够更好地掌握群论中的基本工具，例如子群、陪集、同态和同构，并且能够初步理解环和域的结构及其在数学其他分支中的重要性。

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