Dynamical Systems Method for Solving Nonlinear Operator Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Elsevier Science Ltd

作者:Ramm, Alexander G.

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:2006-11

价格:$ 192.10

装帧:HRD

isbn号码:9780444527950

丛书系列:

图书标签:

Dynamical Systems
Nonlinear Equations
Operator Equations
Numerical Analysis
Fixed Point Theorems
Iteration Methods
Functional Analysis
Mathematical Physics
Applied Mathematics
Computational Mathematics

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具体描述

The book is of interest to graduate students in functional analysis, numerical analysis, and ill-posed and inverse problems especially. The book presents a general method for solving operator equations, especially non-linear and ill-posed. It requires a fairly modest background and is essentially self-contained. All the results are proved in the book, and some of the background material is also included. The results presented are mostly obtained by the author. It contains a systematic development of a novel general method, the dynamical systems method, DSM for solving operator equations, especially non-linear and ill-posed. It is suitable for wide audience and can be used for various courses for graduate students and partly for undergraduates (especially for RUE classes).

现代优化理论与数值分析：面向复杂系统建模的新范式本书聚焦于解决现代工程、物理学、生物学及经济学等领域中普遍存在的复杂系统建模挑战。在这些学科的前沿研究中，我们越来越多地面临需要求解高度非线性、高维度的数学问题，这些问题往往无法通过传统的解析方法求得精确解。本书系统地梳理和深化了现代优化理论在处理此类挑战中的核心作用，并结合先进的数值分析技术，为科研人员和工程师提供一套全面且实用的工具箱。本书的结构设计旨在建立理论深度与实际应用之间的坚实桥梁。我们首先从数学基础出发，对凸优化、非凸优化、变分不等式以及约束优化问题进行深入的探讨。不同于仅停留在经典教科书中的基础介绍，我们将重点放在那些对大规模、高精度计算至关重要的现代理论进展上，例如强对偶性、次梯度方法、内点法（Interior-Point Methods）的最新发展，以及随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）在机器学习和大数据优化中的理论收敛性分析。第一部分：基础理论的重塑与深化我们将重新审视经典的最优化理论。在连续优化方面，书中详细分析了海森矩阵（Hessian Matrix）的性质、拟牛顿（Quasi-Newton）方法的效率提升，以及如何利用曲率信息（如L-BFGS算法）来加速在高维空间中的搜索。特别地，对于那些目标函数不可微或导数计算成本极高的情况，本书引入了光滑化技术（Smoothing Techniques）和次梯度优化（Subgradient Optimization）的全面框架，确保即便是最崎岖的优化地形也能被有效探索。在离散优化方面，本书深入研究了整数规划（Integer Programming）和组合优化问题。我们探讨了分支定界法（Branch and Bound）和割平面法（Cutting Plane Methods）的现代实现，并阐述了松弛化（Relaxation）技术如何为难以求解的离散问题提供高质量的下界估计。第二部分：面向高维和大规模的数值算法本书的核心价值体现在对先进数值算法的精细化处理上。在数值线性代数的背景下，我们探讨了求解大型稀疏线性系统的迭代方法，如共轭梯度法（Conjugate Gradient）及其在非对称系统中的推广（如GMRES）。这些方法是任何大规模优化算法高效运行的基石。针对非线性问题，本书详尽地分析了牛顿法及其修正。重点不仅在于传统的牛顿法，更在于如何利用信赖域方法（Trust-Region Methods）来确保全局收敛性，特别是在函数评估代价高昂的物理模拟或数据拟合场景中。我们提供了详细的算法流程图和收敛性证明，解释了如何根据局部曲率信息动态调整搜索区域的大小。近年来，随机化和近似算法在处理海量数据时显示出无可比拟的优势。本书专门辟章讨论了随机优化，包括AdaGrad, RMSProp, Adam等自适应学习率方法的收敛性分析，并从信息几何的角度探讨了这些方法的内在机制，以期超越“调参”的经验主义，走向理论指导下的参数选择。第三部分：约束处理与专业应用实际问题往往伴随着复杂的约束条件。本书系统地介绍了处理约束的几种主流策略：惩罚函数法（Penalty Methods）、乘子法（Method of Multipliers）以及增广拉格朗日法（Augmented Lagrangian Methods, ALM）。对于等式约束和不等式约束的复杂组合，我们着重探讨了内点法（Interior-Point Methods），它利用障碍函数（Barrier Functions）将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题，并在保证可行性的前提下实现二次收敛。此外，本书面向特定应用领域，提供了专业化的算法框架。这包括： 1. 大规模矩阵分解与低秩逼近：讨论了如何利用交替最小二乘法（Alternating Least Squares）和交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM）来分解大型张量和矩阵，广泛应用于图像处理和推荐系统。 2. 鲁棒优化（Robust Optimization）：针对模型参数不确定性带来的挑战，我们介绍了如何构建对不确定性集合不敏感的优化解，确保工程系统的可靠性。 3. 偏微分方程（PDEs）的数值求解：探讨了如何将基于有限元或有限体积法的PDE离散化结果转化为大规模的优化问题，并利用上述优化算法进行求解，例如在流体力学和结构力学中的应用。本书的独特之处在于其对算法可实现性、计算复杂度和实际性能的全面考量。每一种算法的介绍都伴随着严格的理论分析（如收敛速度、内存需求），以及对数值稳定性的深刻讨论。本书旨在培养读者批判性地评估现有工具并根据特定问题定制新算法的能力，而非仅仅停留在算法的简单应用层面。它为希望在计算数学、应用科学或高科技工程领域进行前沿研究的学者和专业人士，提供了一部不可或缺的参考指南。