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出版者:Houghton Mifflin Company

作者:Joseph Gallian

出品人:

页数:576

译者:

出版时间:2004-12-15

价格:128.76

装帧:Hardcover

isbn号码:9780618514717

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好的，这是一本名为《代数几何导论：从经典到现代》的图书简介，该书内容与《Contemporary Abstract Algebra》完全不同，专注于代数几何领域，详述如下： --- 代数几何导论：从经典到现代 (Introduction to Algebraic Geometry: From Classical to Modern) 卷首语 代数几何是数学中最迷人、最具活力的交叉学科之一，它架设了抽象代数（特别是交换代数）与经典几何直观之间的桥梁。本书旨在为具有扎实线性代数和基础抽象代数（群、环、域）背景的读者，提供一条清晰、严谨且富有启发性的学习路径，深入探索代数几何的核心概念与现代工具。 本书的叙事结构采取“从经典直观出发，迈向现代结构”的模式，旨在平衡几何的直观性与代数方法的精确性。我们从对经典代数曲线和曲面的几何研究入手，逐步引入概形论的基石，为读者构建一个坚实的理论框架，以理解当代代数几何的前沿研究。 第一部分：经典基础与扎根（The Classical Roots and Foundations） 本部分旨在复习和引入代数几何所需的关键代数工具，并从具有几何意义的具体例子入手，激发读者的兴趣。 第1章：复射影空间与代数集 本章首先引入复数域 $mathbb{C}$ 上的射影空间 $mathbb{P}^n(mathbb{C})$ 的概念，阐述其相对于仿射空间 $mathbb{A}^n(mathbb{C})$ 的重要性，特别是在处理“无穷远点”时的完备性。我们详细讨论齐次坐标、射影坐标变换以及射影空间上的拓扑结构（例如，与经典流形结构的联系）。 随后，我们引入代数集（Algebraic Sets）的概念，即多项式零点集，这是代数几何研究的最初对象。通过对平面三次曲线（如椭圆曲线的初步接触）的实例分析，读者可以直观地感受到这些集合的几何性质与其定义多项式的关系。我们建立扎里斯基拓扑（Zariski Topology），并探讨其与经典欧几里得拓扑的本质区别，强调其对代数几何研究的中心地位。 第2章：理想、环与零点（Ideals, Rings, and Zeros） 本章的核心在于希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz），这是连接几何对象（代数集）与代数对象（多项式环的理想）的桥梁。我们将从交换代数的基础知识，如素理想、极大理想、维数理论的初步概念（如Krull维度）出发。 详细分析希尔伯特零点定理的弱形式和强形式，并展示如何使用它来证明代数几何中的基本等价性：代数集之间的关系等价于其坐标环中理想之间的包含关系。本章还引入了不可约代数集的概念，并将其与素理想联系起来，奠定了研究“几何对象”的代数结构基础。 第3章：几何结构：函数域与维度 我们转向研究代数集的内部结构。本章探讨函数域（Function Fields）的概念，即坐标环的分式域（Field of Fractions），这是研究代数簇的内在性质的关键工具。我们将引入函数域的度量、维度的代数定义，并证明经典几何直觉（如曲线的维度是1，平面的维度是2）在代数框架下的精确表述。 第二部分：簇与局部性质（Varieties and Local Properties） 在掌握了代数集的基本概念后，本部分开始系统地研究更精细的对象——代数簇（Algebraic Varieties），并引入局部分析的方法。 第4章：代数簇的定义与结构 本章正式定义“代数簇”（Projective Varieties），并区分更一般的“仿射簇”（Affine Varieties）。我们探讨了如何通过局部性质来构建全局对象，引入了凝聚 sheaf（凝聚层）的初步概念，虽然暂不深入层论的复杂性，但强调其在定义“局部光滑”和“局部完备性”上的必要性。 我们详细研究了光滑点（Smooth Points）和奇点（Singular Points）的代数判别法，例如，使用雅可比矩阵（Jacobian Matrix）来确定一个点是否为奇点。通过对经典二次曲面（Quadric Surfaces）的分析，读者将学会如何识别和分类几何对象中的“坏点”。 第5章：有理映射与奇点的消除 几何学家渴望找到“最漂亮”的代表，即那些没有奇点的簇——光滑簇。本章探讨了有理映射（Rational Maps）的概念，以及如何通过“奇点消除”（Desingularization）的技术来“修复”具有奇点的簇。 核心内容包括：对Blow-up操作的详细介绍。Blow-up是代数几何中最重要的局部重构工具之一，它允许我们将一个奇点替换为一个更简单的、具有良好结构的射影空间。我们通过实例展示如何使用Blow-up来处理尖点（Cusps）和交点，为进入现代代数几何的概形论打下坚实基础。 第三部分：现代代数几何的基石：概形论（The Foundations of Modern Geometry: Schemes） 本部分是本书的现代核心，我们将引入亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）的概形理论。我们假设读者已掌握基本同调代数概念（如张量积和平坦性）。 第6章：环、预层与概形的定义 本书从这里开始，不再局限于复数域 $mathbb{C}$ 或任意代数闭域 $k$，而是将结构推广到任意交换环 $R$ 上的结构。 我们首先定义预层（Presheaf）的概念，并随后构建了“扎里斯基拓扑上的预层”的推广——层（Sheaf）。重点讲解了正规层（Ferm sheaf）的概念，这是理解概形结构的关键。 本章的最高潮是概形的定义：将一个交换环 $R$ 与其素理想谱 $ ext{Spec}(R)$ 的扎里斯基拓扑相结合，再在其上赋予一个特定的结构层。我们详细解释了为何概形可以作为“局部环化空间”的统一框架，并且能够处理特征 $p$ 域上的几何结构，这是经典理论无法企及的。 第7章：从环谱到结构层：几何直觉的重塑 本章深入探究 $ ext{Spec}(R)$ 的几何内涵。素理想对应于概形中的“点”，而局部环（Localization）对应于这些点附近的邻域。我们证明了仿射概形 $ ext{Spec}(R)$ 的结构层满足所有层的公理。 接着，我们引入了“结构层”（Sheaf of Rings）的概念，并定义了“局部同构”的概念，这是概形之间的态射（Morphisms）的精确定义。我们展示了经典代数集如何被“嵌入”到概形的世界中，作为结构层固定的特例。 第8章：态射与点外（Morphisms and Points Beyond） 本章聚焦于概形之间的映射——态射。我们展示了态射如何通过局部环同态的逆运算自然产生。本章将对比经典代数簇的态射与概形态射的差异，突出概形理论在处理非代数闭域（如有限域 $mathbb{F}_p$）或具有“特征 $p$ 效应”的几何时的优越性。 我们引入了“通开子集”（Open Subsets）和“结构层”的进一步研究，并探讨了“点外”（Generic Points）的概念，这是理解概形内在结构复杂性的关键。最后，我们讨论了态射的局部性质，如平坦性（Flatness）和局部完备性的概形化描述，为后续学习层上同调（Sheaf Cohomology）奠定理论基础。 结语 本书提供了一个严谨的、从经典几何直觉向现代概形理论过渡的框架。掌握本书内容后，读者将具备阅读和理解当代代数几何前沿文献所需的必要代数和几何工具，包括莫迪智能（Mori Dream Surfaces）、代数簇的重整化理论以及更深层次的层上同调理论。 --- 目标读者： 具有扎实抽象代数基础（群论、环论、域论）的数学本科高年级学生、研究生，以及希望系统学习代数几何的数学研究人员。

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《Contemporary Abstract Algebra》这本书，是一次令人难忘的数学探索之旅。作者以一种极其富有洞察力的方式，将抽象代数的核心概念娓娓道来。我一直以来都对数学的结构性美感和逻辑一致性深感着迷，而这本书恰好满足了我对这一领域的渴望。书中从群的诞生，到子群、陪集、商群，再到同态、同构，以及最终的环和域，作者都以一种逻辑清晰、层层递进的方式呈现。我尤其赞赏作者在解释抽象概念时所使用的丰富案例，这些案例如同甘露，滋养了我对数学的理解。例如，书中在讲解对称群时，用到的几何变换和排列的例子，让我能够直观地理解群的运算和性质。书中的习题设计也相当出色，它们既能够帮助我巩固所学的知识，又能够引导我进行更深层次的思考。我记得有一个关于费马小定理的习题，要求证明一个关于模运算的性质，通过反复研读书中关于群论在数论中的应用，并尝试了几种不同的证明方法，最终得以解决，那种克服困难的喜悦至今令我回味无穷。这本书的优点还体现在其清晰的章节划分、合理的篇幅安排以及恰到好处的数学符号运用，这些都为我提供了极佳的阅读体验。作者在行文中展现出的严谨与趣味相结合的风格，也让我对数学产生了更深的敬意。

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在我看来，《Contemporary Abstract Algebra》是一本真正意义上的“入门”级抽象代数书籍。作者以一种极具启发性的方式，将抽象的数学概念变得触手可及。我一直对数学背后的逻辑结构和普遍性原则感到好奇，而这本书正好填补了我在这一领域的知识空白。书中从最基础的群的定义开始，到子群、陪集、正规子群，再到同态、同构，最后延伸到环和域，每一个概念的引入都伴随着大量生动形象的例子和详尽的证明。我特别喜欢作者在解释抽象概念时所采用的类比手法，例如，在讲解群的运算时，作者会将其与日常生活中的一些操作联系起来，这极大地降低了理解的门槛。书中的习题设计也非常精巧，它们既能够帮助我巩固所学的概念，又能够引导我进行更深入的思考。我曾经在解决一个关于同构映射的习题时，因为对概念理解不够透彻而感到困惑，但通过反复阅读书中相关的讲解，并尝试了书中提供的几种证明思路，最终成功地找到了解决方案，那种茅塞顿开的感觉至今记忆犹新。这本书的优点还体现在其清晰的章节划分、合理的篇幅安排以及恰到好处的数学符号运用，这些都为我提供了极佳的阅读体验。作者在行文中展现出的严谨与趣味相结合的风格，也让我对抽象代数产生了前所未有的浓厚兴趣。

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我必须承认，在翻开《Contemporary Abstract Algebra》之前，我对抽象代数的印象是晦涩难懂、高高在上。然而，这本书的出现彻底颠覆了我的认知。作者并非直接抛出冷冰冰的定义和定理，而是巧妙地将数学的内在逻辑和美感融入到文字之中。从最基本的集合论概念开始，逐步构建起群、环、域等核心结构。我尤其惊叹于作者在解释抽象概念时所采用的类比和直观的例子，它们如同灯塔，照亮了我前进的道路。例如，在讲解群的性质时，作者引入了对称群的例子，这让我立刻联想到几何图形的对称性，从而更容易理解群的封闭性、结合律等概念。关于子群和陪集的部分，也通过生动形象的图示和例子，化解了初学者可能遇到的困难。最让我印象深刻的是，书中不仅强调了抽象结构的定义，更注重探讨这些结构之间的联系和转化。同态和同构的概念，在作者的笔下不再是枯燥的符号游戏，而是揭示代数系统之间深刻关系的钥匙。学习过程中，我也尝试了书中的一些习题，它们的设计既有巩固基础的练习，也有挑战思维的难题，让我能够在解决问题的过程中不断深化理解。我曾被一个关于置换群的习题困扰了许久，但通过反复思考和查阅书中的相关讲解，最终豁然开朗，那种克服困难的喜悦感难以言喻。这本书的优点远不止于此，其清晰的章节划分、合理的篇幅安排，以及恰到好处的数学符号使用，都为我提供了极佳的阅读体验。它让我看到了抽象代数不仅仅是枯燥的符号演算，更是对数学世界深层规律的一种探索，充满了智慧和创造力。

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我不得不说，《Contemporary Abstract Algebra》是一本让我对抽象代数刮目相看的书籍。作者以一种极其令人振奋的方式，将复杂的数学概念变得易于理解和接受。我一直对数学的内在逻辑和普遍性原则充满好奇，而这本书恰好填补了我在这方面的知识空白。书中从群论的基石——群的定义和运算规则，到子群、陪集、正规子群，再到同态、同构，最后延伸到环和域，作者都以一种循序渐进、层层递进的方式进行讲解。我尤其欣赏作者在解释抽象概念时所使用的各种直观的例子，这些例子如同明灯，照亮了我前进的道路。例如，书中在讲解群的阶数时，用到的关于周期性运动的例子，让我能够更深刻地理解群的结构。书中的习题设计也相当精巧，它们既能够帮助我巩固所学的概念，又能够引导我进行更深层次的思考。我曾经在解决一个关于循环群的习题时，因为对概念理解不够透彻而感到困惑，但通过反复阅读书中相关的讲解，并尝试了书中提供的几种解题思路，最终成功地找到了解决方案，那种豁然开朗的感觉至今难忘。这本书的优点还体现在其清晰的章节划分、合理的篇幅安排以及恰到好处的数学符号运用，这些都为我提供了极佳的阅读体验。作者在行文中展现出的严谨与趣味相结合的风格，也让我对抽象代数产生了前所未有的浓厚兴趣。

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这是一本真正能激发你对数学热情的书。《Contemporary Abstract Algebra》的作者以一种不可思议的清晰度和深度，揭示了抽象代数的奥秘。我一直以来都对数学背后的逻辑结构和普遍性原则抱有强烈的兴趣，而这本书恰恰填补了我在这一领域的知识空白。书中从最基础的群的定义和性质开始，逐步深入到子群、陪集、正规子群，再到同态、同构，最后延伸到环和域，作者都以一种逻辑严谨且易于理解的方式进行讲解。我特别欣赏作者在解释抽象概念时所使用的各种直观的例子，这些例子如同指路明灯，帮助我更轻松地理解那些抽象的概念。例如，书中在讲解环的性质时，用到的关于整数环和多项式环的例子，让我能够更直观地理解环的运算和结构。书中的习题设计也相当精巧，它们既能够帮助我巩固所学的概念，又能够引导我进行更深层次的思考。我曾经在解决一个关于群的同态映射的习题时，因为对概念理解不够透彻而感到困惑，但通过反复阅读书中相关的讲解，并尝试了书中提供的几种解题思路，最终成功地找到了解决方案，那种豁然开朗的感觉至今难忘。这本书的优点还体现在其清晰的章节划分、合理的篇幅安排以及恰到好处的数学符号运用，这些都为我提供了极佳的阅读体验。作者在行文中展现出的严谨与趣味相结合的风格，也让我对抽象代数产生了前所未有的浓厚兴趣。

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《Contemporary Abstract Algebra》这本书，让我对数学的抽象之美有了全新的认识。作者以一种极其细腻和深入的方式，将抽象代数的核心概念展现得淋漓尽致。我一直对数学的逻辑严谨性和普适性抱有浓厚的兴趣，而这本书恰好满足了我对这一领域探索的渴望。书中从群的定义和基本性质，到子群、陪集、商群，再到同态、同构，以及最终的环和域，作者都以一种逻辑清晰、层层递进的方式呈现。我尤其赞赏作者在解释抽象概念时所使用的丰富案例，这些案例如同画卷，徐徐展开抽象代数的宏伟图景。例如，书中在讲解群的分类时，用到的关于不同类型群的例子，让我能够更全面地理解群的多样性。书中的习题设计也相当出色，它们既能够帮助我巩固所学的知识，又能够引导我进行更深层次的思考。我曾经在解决一个关于正规子群的习题时，因为对概念理解不够透彻而感到困惑，但通过反复阅读书中相关的讲解，并尝试了书中提供的几种解题思路，最终成功地找到了解决方案，那种攻克难题的喜悦至今令我回味无穷。这本书的优点还体现在其清晰的章节划分、合理的篇幅安排以及恰到好处的数学符号运用，这些都为我提供了极佳的阅读体验。作者在行文中展现出的严谨与趣味相结合的风格，也让我对数学产生了更深的敬意。

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一本关于抽象代数的好书，它以一种我从未想过的方式深入探讨了数学的结构。我一直对代数的抽象概念感到好奇，但往往因为过于理论化的讲解而望而却步。然而，这本《Contemporary Abstract Algebra》彻底改变了我的看法。作者以一种循序渐进的方式，从最基础的概念入手，逐步引导读者进入更加复杂的领域。我尤其喜欢书中丰富的例子和习题，它们不仅帮助我巩固了所学的知识，更激发了我进一步探索的兴趣。例如，书中关于群论的讲解，从对称群的定义到正定群的应用，都让我耳目一新。我曾对对称性在数学和现实世界中的普遍性感到惊叹，而这本书为我提供了一个严谨的框架来理解这一切。作者在解释同态和同构时，也非常生动形象，让我能够真正理解不同代数结构之间的联系。此外，书中对环和域的讨论，也让我对这些核心概念有了更深刻的认识。我曾经在学习其他数学科目时遇到过理解上的瓶颈，而这本书的清晰解释，为我打下了坚实的基础，让我能够更自信地面对未来的学习挑战。这本书不仅是一本教科书，更像是一位耐心而渊博的导师，引导我一步步揭开抽象代数的奥秘。即使我不是数学专业的学生，我也从中获益匪浅，对数学的欣赏和理解也达到了一个新的高度。它的语言通俗易懂，但又不失严谨，使得即便是初学者也能轻松上手。我特别欣赏作者对于定理证明的详细阐述，每一个步骤都经过精心设计，清晰易懂，不会让人感到困惑。这本书的排版也很舒适，大量的空白和清晰的章节划分，使得阅读体验非常愉悦。总而言之，这是一本极具价值的数学书籍，无论你是初学者还是有一定基础的学习者，都能从中获得深刻的启发。

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这本书不仅仅是关于抽象代数，更是一次关于数学思维的启迪之旅。作者以一种极其人性化的方式，将复杂的数学概念变得易于理解。我一直在寻找一本能够真正帮助我理解代数核心思想的书籍，而《Contemporary Abstract Algebra》正是我梦寐以求的那一本。它的结构非常清晰，从最基础的群论开始，逐步深入到环和域，每一个概念的引入都伴随着大量的例子和证明。我尤其喜欢书中对于不同代数结构之间关系的探讨，例如，作者如何展示群的性质如何体现在环和域中，这让我对数学的统一性有了更深的认识。在学习群论时，我曾对拉格朗日定理感到困惑，但书中详细的证明过程和对阶数的解释，让我恍然大悟。同时，书中关于正定群和交换群的章节，也为我打开了新的视角，让我看到了抽象代数在解决实际问题中的强大应用。例如，书中提到群论在密码学中的应用，这让我惊叹于数学的实用性。我尝试了书中的一些挑战性习题，它们不仅锻炼了我的解题能力，更培养了我独立思考和分析问题的能力。即使某些习题一时难以解决，书中提供的提示和思路也总能指引我走向正确的方向。这本书的语言风格也非常吸引人，作者在严谨的数学论述中，不乏幽默和智慧的点评，使得阅读过程充满乐趣。我曾经尝试过其他几本抽象代数的书籍，但无一例外都让我感到难以消化，而这本《Contemporary Abstract Algebra》却让我对这个领域产生了浓厚的兴趣。它让我相信，任何复杂的数学概念，只要有好的解释和引导，都能被理解和掌握。

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《Contemporary Abstract Algebra》这本书带给我的不仅仅是知识，更是一种数学的感知能力。作者以一种极其引人入胜的方式，将看似晦涩的抽象代数概念，转化为易于理解的数学语言。我一直以来都对数学的逻辑结构和美感有着浓厚的兴趣，而这本书恰恰满足了我对这种兴趣的追求。从群论的基石——群的定义和运算规则，到更复杂的同态、同构、正定群、交换群以及环和域，作者都以一种循序渐进、层层递进的方式进行讲解。我尤其赞赏作者在解释抽象概念时所使用的各种类比和直观的例子，这些例子如同桥梁，将抽象的数学概念与我们熟悉的世界联系起来，让我能够更轻松地理解。例如，书中在讲解群的同态时，用了许多关于映射的例子，让我能够直观地理解群之间的结构性联系。书中的习题设计也相当精妙，它们不仅能够帮助我巩固课堂上学到的知识，更能激发我深入思考，培养我的解题能力。我曾经在解决一个关于置换群的习题时，因为思路不清晰而陷入困境，但通过反复阅读书中关于置换群的讲解，并参考书中提供的解题思路，我最终成功地找到了解决方案，那种攻克难题的喜悦至今难忘。这本书的优点还体现在其清晰的章节划分、合理的篇幅安排以及恰到好处的数学符号运用，这些都为我提供了极佳的阅读体验。作者在行文中展现出的严谨与趣味相结合的风格，也让我对数学产生了更深的敬意。

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第一次阅读《Contemporary Abstract Algebra》的时候，我就被它那种深入浅出的讲解方式所折服。作者并没有把抽象代数写成一本只供数学专业人士阅读的书籍，而是让任何对数学结构感兴趣的人都能从中获得乐趣和知识。我一直对数学的抽象性和普遍性感到着迷，而这本书正好满足了我的好奇心。从群的定义和性质，到同态、同构、正定群、交换群，再到环和域，作者都以一种逻辑严谨且易于理解的方式呈现。我尤其欣赏书中对于抽象概念的直观解释，例如，作者在讲解正规子群时，用到的陪集和商群的构造，让我能够通过更具象化的方式去理解这个抽象的概念。书中的习题设计也非常巧妙，既有帮助巩固基础的练习，也有能够激发深入思考的难题。我记得有一个关于循环群的习题，要求证明一个关于子群阶数的性质，通过认真研读书中关于循环群的章节，并尝试了几种不同的证明思路，最终得以解决，那种成就感非常强烈。此外，这本书在介绍不同数学结构时，还会适当地提及它们在其他数学领域甚至物理学、化学中的应用，这极大地增强了我学习的动力，让我看到了数学的生命力和实用性。这本书的排版也非常人性化，大量的空白和清晰的章节划分，使得长时间的阅读也不会感到疲劳。作者在行文中展现出的深厚功底和对数学的热情，也深深地感染了我。总之，这是一本我愿意反复阅读、从中汲取营养的书籍，它为我打开了通往抽象代数世界的大门。

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经典, 吐血推荐, 适合入门级.

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