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出版者:Birkhäuser

作者:David Finston

出品人:

页数:200

译者:

出版时间:2014-9-11

价格:GBP 36.71

装帧:Board book

isbn号码:9783319044972

丛书系列:Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology

图书标签:

• 数学
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现代数学的基石：深入剖析《线性代数与矩阵理论》 一、本书概述与定位 《线性代数与矩阵理论》是一部旨在为读者构建坚实线性代数基础，并深入探讨矩阵理论前沿应用的权威性教材。本书聚焦于代数结构在向量空间上的具体实现，以及由此衍生的矩阵运算、特征值理论及其在各个科学领域中的实际效能。它不仅仅是一门纯粹的数学学科介绍，更是一座连接抽象理论与工程实践的桥梁。本书的编写严格遵循数学逻辑的严谨性，同时兼顾了教学的清晰度和启发性，力求使初学者能够逐步掌握其核心概念，并使有一定基础的读者能够深入理解其理论的精妙之处。 本书的内容组织遵循“从具体到抽象，再回归应用”的原则。首先从基础的向量、线性方程组入手，逐步引向向量空间、线性变换等核心抽象概念，随后深入探讨矩阵分解、谱理论等高阶理论，最后通过丰富的实例展示其在优化、信号处理、量子力学等领域中的强大威力。 二、核心章节内容详述 第一部分：基础奠基——向量空间与线性方程组 (Chapters 1-3) 第1章：数域与向量空间的基本概念 本章首先界定了数域（实数域 $mathbb{R}$、复数域 $mathbb{C}$）的性质，这是所有线性代数运算的基础环境。随后，详细定义了向量空间（Vector Space）的公理化结构，包括向量的加法和数乘运算的封闭性与满足的八条公理。重点讨论了 $mathbb{R}^n$ 和多项式空间 $P_n(x)$ 等常见向量空间的具体实例。 第2章：子空间、基与维度 子空间（Subspace）是向量空间中的重要结构，本章清晰阐述了如何检验一个集合是否构成子空间。随后引入了线性组合、线性无关性（Linear Independence）的概念，这是构建基（Basis）的前提。生成（Span）的概念与基的唯一性被详尽论证。最终，定义了向量空间的维度（Dimension），并探讨了子空间的维度关系，例如秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）。 第3章：线性映射与矩阵表示 线性映射（Linear Transformation）是连接不同向量空间的桥梁。本章从函数角度定义了线性映射的性质（保持加法和数乘）。核心在于展示如何将一个抽象的线性映射转化为具体的矩阵形式。深入讨论了矩阵的乘法、逆矩阵的求法以及初等行变换（Elementary Row Operations）在求解线性方程组 $Ax=b$ 中的作用，包括高斯消元法和 LU 分解的原理。 第二部分：矩阵理论与特征分析 (Chapters 4-6) 第4章：行列式 行列式（Determinant）作为矩阵的一个重要标量不变量，在判断矩阵可逆性和体积/定向变换中起着关键作用。本章从置换和逆序数定义出发，推导出行列式的莱布尼茨公式，并系统地阐述了行列式的性质，如行/列的线性相关性、与逆矩阵的关系。计算方法上，重点讲解了如何利用三角化来简化行列式的计算。 第5章：特征值与特征向量（谱理论的初探） 特征值问题 $mathbf{Av} = lambdamathbf{v}$ 是线性代数中最具影响力的概念之一。本章详细介绍了特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的计算方法，即求解特征多项式 $det(mathbf{A} - lambda mathbf{I}) = 0$。讨论了代数重数与几何重数的概念，并引入了相似变换（Similarity Transformation）的概念，即通过相似矩阵保持特征值不变的性质。 第6章：对角化与矩阵的经典分解 对角化（Diagonalization）是简化矩阵运算的关键技术。本章探讨了矩阵可对角化的充分必要条件（拥有完整的特征向量组）。随后，深入探讨了正交对角化（Orthogonal Diagonalization），特别是针对对称矩阵（Symmetric Matrices）的性质，证明了实对称矩阵一定可以被正交对角化。本章的重头戏是引入了矩阵的经典分解形式：$LU$ 分解、QR 分解以及对正定矩阵的 Cholesky 分解，这些分解在数值计算中至关重要。 第三部分：内积空间与高级理论 (Chapters 7-9) 第7章：内积空间与正交性 本章将向量空间的理论提升到了更高的层次——内积空间（Inner Product Space）。在定义了内积（Inner Product）之后，可以引入长度（范数 Norm）和角度（正交 Orthogonality）的概念。重点介绍了施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process），用于从任意基构造一组正交基。正交投影（Orthogonal Projection）在解决最小二乘问题中具有不可替代的作用。 第8章：更深入的谱理论与二次型 本章回归特征值理论，深入探讨 谱定理（Spectral Theorem），它深刻揭示了对称矩阵的结构。随后，将重点转向二次型（Quadratic Forms）——形如 $mathbf{x}^T mathbf{A} mathbf{x}$ 的表达式。通过合同变换（Congruence Transformation）和特征值分析，推导了二次型的标准形，并引入了 正定性（Positive Definiteness） 的判据，这是优化理论中判断极值性质的基础。 第9章：广义特征值问题与矩阵函数 本章介绍了超越基础特征值问题的领域。首先处理了广义特征值问题 $mathbf{Av} = lambda mathbf{Bv}$，这在振动分析中非常常见。最后，探讨了矩阵函数的概念，特别是矩阵指数函数 $e^A$ 的定义（通过泰勒级数展开），及其在求解线性常微分方程组 $mathbf{x}'(t) = mathbf{Ax}(t)$ 中的应用。 三、本书的教学特色与优势 1. 理论与计算的平衡： 本书在严格的数学证明基础上，提供了大量的计算实例和算法流程图，确保读者不仅理解“是什么”，更能掌握“怎么算”。 2. 结构清晰的图示： 大量使用几何图示（尤其在 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 中）来解释线性变换、投影和子空间的关系，帮助直观理解抽象概念。 3. 面向应用的深度： 每一章节末尾都附有“应用选讲”，如最小二乘法的几何解释、主成分分析（PCA）的矩阵基础、以及迭代法（如雅可比法和高斯-赛德尔法）的收敛性分析，使读者能将理论知识迁移到实际问题中。 4. 严格的数学语言： 本书坚持使用规范的数学术语和符号，为读者未来学习更高级的数学分支（如泛函分析、微分几何）打下坚实的基础。 《线性代数与矩阵理论》是数学、物理、工程、计算机科学及经济管理等领域学生和研究人员不可或缺的参考书。它将引导读者穿越代数结构的神奇迷宫，最终掌握现代科学分析问题的核心工具。

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初次翻开《抽象代数》，我被它那冷峻而深邃的标题所吸引，内心充满了对未知数学领域的期待。这本书的编排结构堪称典范，逻辑线索清晰，从最基础的群的概念入手，层层递进，逐步揭示了环、域等更高级的代数结构。作者在阐述每个概念时，都力求做到既严谨又易于理解。例如，在定义群时，作者不仅给出了数学上的公理化定义，还辅以大量的实例，从熟悉的整数加法群到抽象的置换群，帮助读者建立起直观的认识。书中对定理的证明过程详尽而透彻，即便是一些看似复杂的证明，作者也总是能层层剥离，一步一步引导读者走向答案。我尤其赞赏书中在解释抽象概念时所采用的类比和直观解释，这极大地降低了学习的门槛，使得那些原本可能令人望而生畏的数学概念变得生动起来。书中提供的练习题是这本书的另一大亮点，它们不仅是对所学知识的巩固，更是对理解深度和思维灵活性的极大考验。我常常在思考一道题的过程中，不断回顾和反思前面学习到的概念，这使得学习过程变成了一个自我发现和自我完善的过程。通过学习《抽象代数》，我不仅掌握了抽象代数的基本理论，更重要的是，我学会了一种严谨的数学思维方式，这对我今后在数学领域乃至其他逻辑性强的学科上的学习都将大有裨益。这本书无疑是一份宝贵的财富，它为我的数学学习之路奠定了坚实的基础。

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我最近刚结束了对《抽象代数》这本书的学习，总体来说，这是一次令人着迷但又充满挑战的旅程。作为一本介绍抽象代数核心概念的入门读物，它成功地为我打开了数学世界的一个新维度。书中对群论、环论和域论的讲解，循序渐进，从最基础的定义开始，逐步深入到更复杂的结构和定理。我特别欣赏作者在引入新概念时所做的详尽铺垫，例如在介绍群的概念时，不仅给出了严谨的数学定义，还通过一系列经典的例子，如整数加法群、对称群等，帮助读者建立直观的理解。书中对于证明的论述也十分清晰，虽然有时需要反复阅读才能完全消化，但这种严谨性正是抽象代数魅力的所在。在学习的过程中，我不仅仅是在记忆公式和定理，更是在学习一种新的思考方式，一种逻辑严密、推导精确的数学思维。这本书也让我认识到，数学并非枯燥的数字游戏，而是充满创造性和探索性的智力活动。例如，当我第一次理解了同态映射的概念，并看到了它如何在不同代数结构之间建立联系时，那种豁然开朗的感觉至今仍让我印象深刻。此外，书中提供的练习题质量很高，它们不仅巩固了课堂知识，更激发了我对更深层次问题的思考。有些题目虽然难度不小，但一旦解答出来，那种成就感是无与伦比的。总的来说，《抽象代数》是一本优秀的教材，它为任何对数学，特别是高等数学有浓厚兴趣的读者提供了一个坚实的基础。它需要耐心和毅力，但回报绝对是巨大的。

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这本书，我可以说是在“惊险”与“惊喜”中读完的。作为一本讲解抽象代数的书籍，《抽象代数》果然名副其实，初次接触时，那些令人眼花缭乱的定义和定理，确实让我感到有些吃力。然而，作者的叙述风格，却如同一位经验丰富的向导，即使在最崎岖的山路上，也能巧妙地指引方向。我特别喜欢书中对“陪集”概念的讲解，作者通过对群的划分，形象地展示了陪集作为一种集合关系，如何揭示群的内部结构。书中对于“良序原理”和“良基”（well-foundedness）的讨论，也让我对集合论和序理论有了更深的认识，虽然这部分内容与群论、环论相比稍显不同，但其数学严谨性同样令人称道。我花了不少时间在消化书中的证明，有些证明需要反复推敲，甚至需要借助纸笔进行演算，但每一次的成功理解，都带来了智力上的巨大满足。书中的练习题也是一大挑战，有些题目需要将多个概念融会贯通才能解答，这极大地锻炼了我解决复杂问题的能力。通过阅读《抽象代数》，我不仅收获了抽象代数领域的知识，更重要的是，我学会了一种严谨而富有创造性的数学思考方式。这本书让我明白，理解数学的本质，需要耐心、毅力和对抽象概念的深入探索。

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《抽象代数》这本书，我可以说是在“震撼”与“启发”中度过的。它以其高度的抽象性和严谨性，为我打开了数学世界的一个全新视角。作者的写作风格，既有学院派的严谨，又不乏引导性的思考。我特别喜欢书中对“交换群”的分类，这让我看到了即使是抽象的代数结构，也可以通过分类和研究来理解其内在的规律。书中对环的“唯一因子分解整环”（UFD）和“主理想整环”（PID）的讨论，让我看到了代数结构之间精妙的联系和层次。我还在书中学习到了如何利用抽象代数的工具去解决一些看似棘手的问题，这是一种非常宝贵的学习体验。这本书的练习题质量极高，它们不仅仅是对知识的巩固，更是对理解深度和思维灵活性的极大考验。我常常在思考一道题的过程中，不断回顾和反思前面学习到的概念，这使得学习过程变成了一个自我发现和自我完善的过程。总而言之，《抽象代数》是一本极具深度和广度的书籍，它不仅传授了抽象代数的知识，更重要的是，它塑造了我解决数学问题的思维方式。

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《抽象代数》这本书，对我来说，是一次非常深刻的学习体验。它所涵盖的数学内容，远超我之前的认知范围，打开了我对数学世界更广阔的视野。作者的写作风格，虽然保持了学术的严谨性，但却又不失启发性。我尤其欣赏书中对“自同构群”的介绍，它揭示了一个代数结构内部的对称性，这种视角让我对抽象代数的内在美有了更深的体会。书中的群论部分，我花费了大量时间去理解各种类型的群，例如有限交换群的结构定理，这让我对群的分类和性质有了更全面的认识。接着，书中对环和域的讲解，更是将我带入了更复杂的代数世界。我印象深刻的是，作者在讲解域扩张时，引入了“本原元”的概念，这让我看到了抽象代数在数论和伽罗瓦理论等领域的重要应用。虽然有些证明过程极其精巧，需要反复琢磨，但每一次的理解都给我带来了极大的成就感。这本书也让我学会了如何通过严谨的逻辑推理去解决问题，以及如何去构建和分析复杂的数学模型。总而言之，《抽象代数》是一本极具挑战性但回报丰厚的书籍，它不仅传授了知识，更塑造了我解决数学问题的思维方式。

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《抽象代数》这本书，给我留下了难以磨灭的印象。我一直对数学的抽象化和结构性特征充满好奇，而这本书正好满足了我的求知欲。作者在构建整本书的知识体系时，展现了极高的专业水准和教学智慧。从最基础的集合、映射概念开始，逐步引入群、环、域等核心代数结构，每一步的推进都显得恰到好处。我特别喜欢书中对群论中“伯恩赛德引理”的解释，它将抽象的群论概念与实际的计数问题联系起来，让我看到了数学理论的强大应用能力。在理解环和域的概念时，作者也通过大量的例子，例如整数环、多项式环、有限域等，帮助我建立起直观的认识。书中的证明虽然严谨，但作者总能通过恰当的提示和引导，让我能够跟随其思路一步步理解。我还在书中学习到了如何利用抽象代数的工具去解决一些看似棘手的问题，这是一种非常宝贵的学习体验。阅读这本书，让我体会到了数学的深刻性和美妙之处，它不仅仅是符号和公式的堆砌，更是一种关于结构、关系和逻辑的深刻探索。这本书也极大地提升了我解决问题的能力，以及我分析和理解复杂概念的逻辑思维能力。

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初次接触《抽象代数》这本书，我被它那严谨而又富有逻辑性的数学语言所吸引。作者的叙述风格，仿佛一位经验丰富的向导，引领我穿梭在抽象代数的奇妙世界。从群论的基础，到环论和域论的深入探索，每一步的推进都显得那么自然而富有条理。我特别欣赏书中对“西罗定理”的详细阐述，它揭示了有限群的结构，让我对有限群的性质有了更深刻的理解。书中对环的理想和模的讨论，也让我认识到抽象代数是如何将代数结构进行更细致的划分和研究。作者在讲解过程中，常常会穿插一些历史性的故事和数学家的思想，这为这本略显“硬核”的教材增添了一抹人文色彩，让我在学习的间隙感受到数学的温度。我还在书中学习到了如何利用抽象代数的工具去解决一些看似棘手的问题，这是一种非常宝贵的学习体验。完成这本书的学习，不仅仅是知识的积累，更是一种思维方式的重塑。我学会了如何用更加抽象和普遍的视角去看待数学问题，这对我未来的学习和研究将大有裨益。

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终于合上了《抽象代数》这本书，我的内心充满了对数学的敬畏和对知识的渴望。这本书的写作风格，仿佛一位耐心的老师，一步步引导我深入理解抽象代数的概念。我最欣赏的是书中对“群的阶”和“元素的阶”的区分，这让我对群的结构有了更细致的认识。书中对“有限单群”的介绍，虽然只是一个引子，但它已经让我感受到了数学研究的深度和广度。我还在书中学习到了如何利用抽象代数的工具去解决一些看似棘手的问题，这是一种非常宝贵的学习体验。这本书的练习题也是我学习过程中的重要组成部分，它们不仅仅是对所学知识的检验，更是对理解深度和思维灵活性的极大考验。我常常在思考一道题的过程中，不断回顾和反思前面学习到的概念，这使得学习过程变成了一个自我发现和自我完善的过程。总而言之，《抽象代数》是一本极具价值的书籍，它不仅传授了抽象代数的知识，更重要的是，它塑造了我解决数学问题的思维方式。

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刚读完《抽象代数》这本书，我的大脑仿佛经历了一场思维的“大洗礼”。作为一本深入探索数学核心结构的书籍，它无疑是一部严谨的学术著作，但其内在的逻辑性和美感却也同样令人着迷。我最欣赏的是作者处理概念的方式，总是先给出直观的解释，再辅以严谨的定义和证明，这种“由浅入深”的教学方法，极大地缓解了我初次接触抽象代数时的畏惧感。书中的群论部分，通过对对称群、循环群等经典例子的细致分析，让我对群的结构有了清晰的认识。而环和域的概念，则进一步拓展了我对代数结构的理解边界。作者在讲解过程中，经常会引用一些具体的数学实例，这些实例不仅加深了我对抽象概念的理解，更让我看到了抽象代数在数学其他分支中的应用潜力。书中的证明过程，虽然有些需要花上一些时间去消化，但每一处推理都环环相扣，逻辑严密，让我深刻体会到数学证明的严谨性和力量。我尤其喜欢书中关于同构的讨论，它展示了不同数学对象之间潜在的共性，这是一种非常深刻的洞察。完成这本书的学习，不仅是知识的积累，更是一种思维方式的重塑。我学会了如何用更加抽象和普遍的视角去看待数学问题，这对我未来的学习和研究将产生深远的影响。

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《抽象代数》这本书，对于我这样一个对数学有着深厚兴趣的探索者而言，无异于打开了一扇通往全新数学宇宙的大门。我并非科班出身，但这本书的写作风格却意外地平易近人。作者并没有一开始就抛出晦涩难懂的定义，而是通过一系列精心挑选的例子，潜移默化地将读者引入抽象代数的奇妙世界。从群论的基础概念，如子群、陪集、正规子群，到环论的理想、模，再到域论的扩张，每一步的推进都显得那么自然而富有逻辑。我印象最深刻的是作者对同态和同构的阐述，它如同数学界的“翻译官”，揭示了不同代数结构之间深刻的内在联系。阅读书中对这些抽象概念的解释，仿佛是在解读数学语言的奥秘。那些严谨的证明，虽然需要反复推敲，但每一次成功理解，都会带来巨大的智力上的满足感。书中穿插的那些历史典故和数学家的小故事，也为这本略显“硬核”的教材增添了一抹人文色彩，让我在学习的间隙感受到数学的温度。我尤其喜欢那些“挑战题”式的练习，它们不仅仅是知识的检验，更是对思维的锻炼，每一次的解答都是一次对抽象概念的深刻理解和灵活运用。这本书的价值，绝不仅仅在于它传授了多少抽象代数知识，更在于它塑造了我如何去思考、如何去推理、如何去探索未知的数学领域。它是一本值得反复品味，并从中汲取智慧的优秀教材。

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