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出版者:哈尔滨工业大学出版社

作者:徐诚浩

出品人:

页数:155

译者:

出版时间:2013-6-1

价格:CNY 38.00

装帧:平装

isbn号码:9787560340623

丛书系列:

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《离散数学基础与应用》 内容简介 本书旨在为读者构建一个坚实的离散数学理论框架，并深入探讨其在计算机科学、工程学及现代数学中的实际应用。全书内容覆盖了离散数学的核心领域，从集合论、逻辑学出发，逐步深入到图论、组合数学、代数结构初步以及概率论在离散环境下的应用。本书注重理论与实践的紧密结合，力求以清晰的逻辑结构和丰富的实例，帮助读者掌握抽象思维和严谨证明的方法。 第一部分：数理逻辑与集合论基础 (Foundations: Logic and Set Theory) 本部分奠定整个离散数学的语言基础。首先，详细阐述命题逻辑和谓词逻辑的语法、语义以及推理规则。内容涵盖了命题连接词的真值表、范式（合取范式、析取范式）、逻辑等价性证明，以及如何使用自然演绎法和序列演算进行严谨的逻辑推理。对于谓词逻辑，重点讲解了量词的引入与消除，以及如何用一阶逻辑表达复杂的数学陈述。 随后，进入集合论的核心内容。系统介绍集合的运算（并、交、差、补、笛卡尔积），幂集的概念。深入探讨集合之间的关系（子集、相等性），并引入序关系（偏序、全序）和函数的严格定义（单射、满射、双射）。特别强调使用集合论语言来形式化定义自然数、整数、有理数等基本数系的方法，为后续的归纳法和递归定义打下基础。 第二部分：计数原理与组合分析 (Counting Principles and Combinatorial Analysis) 本部分聚焦于如何精确地计算事件发生的可能性，这是算法分析和概率论的基础。内容从基础的计数原则开始，详细讲解了乘法原理和加法原理。继而深入到排列（允许重复与不允许重复）和组合（带重复与不带重复）的公式推导和应用场景分析。 关键内容包括：二项式定理及其广义形式的证明与应用，包括帕斯卡三角形的性质；容斥原理（Principle of Inclusion-Exclusion）的详细阐述及其在求解“没有固定点”等复杂计数问题中的应用。此外，还涵盖了鸽巢原理（Pigeonhole Principle）及其推广形式，用于证明存在性问题。对于更高级的主题，本书引入了生成函数（Generating Functions）作为解决线性递推关系和复杂计数问题的强大工具，并简要介绍了指数型生成函数在排列问题中的作用。 第三部分：图论及其应用 (Graph Theory and Applications) 图论是离散数学中应用最为广泛的部分之一。本部分从图的基本概念入手，包括图的定义、类型（有向图、无向图、完全图、二分图等）、邻接矩阵与关联矩阵的表示方法。 重点章节深入探讨了图的连通性、通路、回路、割点和桥。关于图的遍历问题，详细讲解了欧拉路径与欧拉回路、哈密顿路径与哈密顿回路存在的充要条件和判定方法。 结构分析方面，本书对树（Trees）进行了详尽的论述，包括树的性质、生成树的概念，并详细分析了最小生成树的构造算法，如Prim算法和Kruskal算法的原理与实现步骤。 在图的着色问题中，本书介绍了图的色数、对偶图，并讨论了四色定理的历史背景和相关研究进展。同时，图论在网络流问题（如最大流/最小割定理，使用Ford-Fulkerson算法）中的应用被单独成章进行阐述，展示了图论在资源分配和优化问题中的强大威力。 第四部分：代数结构初步 (Introduction to Algebraic Structures) 此部分将读者从具体的计数和结构问题导向更抽象的代数思维。它首先回顾了集合上的二元运算的性质，如封闭性、结合律、交换律。 核心内容集中在群论的初步介绍。详细定义了群、半群和独异点的概念。对于群，重点讨论了子群、陪集、拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）及其推论，并引入了同态和同构的概念，以比较不同群的结构相似性。虽然本书不深入到环和域，但为理解抽象代数后续课程提供了必要的预备知识和清晰的数学直觉。 第五部分：关系、排序与递归 (Relations, Ordering, and Recursion) 关系理论是连接逻辑与结构的关键。本部分系统性地分析了二元关系（Binary Relations），包括关系的性质（自反性、对称性、传递性、反对称性）。重点研究了等价关系及其划分，以及偏序关系，引入了哈斯图（Hasse Diagrams）来可视化有限偏序集，并探讨了极大元、极小元、上界和最小上界等概念。 递归方法是离散数学中解决序列和算法效率分析的关键。本书详细讲解了数学归纳法的正式应用，并区分了强归纳法与弱归纳法。随后，深入探讨了线性齐次递推关系的求解方法，包括特征方程法。此外，还讨论了算法的时间复杂度分析中对递归式进行求解（如主定理的应用）。 学习目标与特色 本书特别强调： 1. 严谨的数学证明能力：通过大量的例题和习题，训练读者使用逻辑推理和构造性证明来验证命题的正确性。 2. 模型构建能力：指导读者识别现实世界中的问题（如网络连接、调度问题、信息编码）并将其准确地抽象为离散数学模型（如图、集合、逻辑公式）。 3. 计算思维的培养：将算法思想融入理论学习中，例如在图论和计数部分，明确算法的效率和正确性。 本书适合作为高等院校计算机科学、信息工程、数学及相关理工科专业本科生“离散数学”或“计算数学基础”课程的教材，也可供需要扎实数学基础的软件工程师和科研人员自学参考。每章末尾均附有难度分级的习题，以巩固所学知识。

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对于《高等学校教材•抽象代数》这本书，我的感受可以用“挑战与回报并存”来形容。这本书的语言风格非常学术化，直接切入主题，不带任何“暖场”性质。它就像一位循循善诱的严师，直接将你带入抽象代数的殿堂，让你亲手去触摸那些构成数学基石的抽象概念。从群到环，再到域，每一步都建立在前一阶段的基础上，而且每一步的逻辑跳跃都经过了精心设计。我特别喜欢书中关于同态和同构的讨论，它们揭示了不同数学结构之间潜在的深刻联系，仿佛在告诉你，即使表面形式不同，很多事物在本质上是相同的。这种“共性”的发现，是抽象代数最迷人的地方之一。书中关于模（module）的概念，更是将群和向量空间的思想巧妙地融合，为我打开了一个新的视角。虽然在学习模的部分，我花费了比其他章节更多的时间，因为它涉及到不少新的定义和性质，但我相信，正是因为这种“啃硬骨头”的精神，我才能对抽象代数有一个更全面、更深入的理解。书中的例子虽然相对精炼，但都恰到好处地说明了所要阐述的定理或概念，有助于将抽象的理论与具体的数学对象联系起来。不过，我有时也会觉得，如果能有更多一些“直观”的引导，或者更丰富的应用场景的介绍，可能会对初学者更加友好。即便如此，这本书所提供的严谨性和深度，是无可替代的。它像是一本“内功心法”，需要你一点点地去揣摩，去体会，最终才能融会贯通，掌握其精髓。

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在我深入研读《高等学校教材•抽象代数》的过程中，我越来越能感受到数学的内在逻辑和结构美。这本书的语言风格非常学术化，直截了当，不留任何冗余。作者在引入“有限单群”的概念时，那种精炼的定义和随之而来的深远影响，让我为之震撼。这组概念的提出，不仅仅是为了分类，更是为了揭示有限群结构中最基本的“原子”单元。书中的一些章节，例如关于“布尔代数”（Boolean algebra）的介绍，虽然篇幅不多，但却为理解更抽象的代数结构打下了基础。我特别喜欢书中关于“同态定理”（Isomorphism Theorems）的阐述，这些定理如同一把万能钥匙，能够揭示不同代数结构之间的内在联系，让我能够更好地理解群、环、域之间的相互关系。这本书的阅读过程，需要极大的专注度和毅力，有时一个证明的复杂性会让我望而却步，但一旦克服了困难，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。书中的习题，往往是检验理解程度的关键，例如一道关于“循环群”（cyclic group）性质的题目，需要你不仅理解定义，还要能够进行巧妙的构造性证明。它的价值在于它能够培养你的数学直觉，让你在面对新的问题时，能够快速抓住关键，并运用已有的知识体系来解决。它不仅仅是知识的堆叠，更是一种思维方式的塑造，一种对数学真理的不懈追求。

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在我浏览《高等学校教材•抽象代数》时，我首先被它那严谨而又富有体系化的编排方式所吸引。这本书的结构清晰，从基础的群论开始，逐步深入到环、域以及它们更广泛的推广，形成了一个逻辑严密的知识体系。作者在阐述每个概念时，都力求精确无误，并且辅以必要的引理和定理作为支撑。例如，在学习有限群的性质时，西罗定理（Sylow Theorems）的引入和证明，就是这本书的亮点之一。这组定理的力量在于它能够揭示有限群结构的一些基本特征，即使我们对群的具体运算不甚了解，也能通过西罗定理来推断其子群的存在性和数量。我发现在阅读过程中，理解定理的证明过程比仅仅记住定理本身更为重要，因为它能帮助我理解定理的来源以及它的适用范围。书中的例子，虽然不是铺天盖地，但都经过了精心挑选，旨在 illustrate (阐明) 抽象的概念，例如，在讲解陪集（cosets）的时候，作者用了一个非常形象的例子来解释陪集的划分，这让我对群的结构有了更直观的认识。这本书的难度在于它需要读者具备一定的数学基础，并且能够适应高度抽象的思维方式。有时，一个证明的细节可能会需要花费数个小时去理解，但这正是我认为这本书的价值所在——它培养了我的分析能力和解决问题的能力。它不仅仅是一本教科书，更像是一个思维训练营，让我在逻辑的海洋中遨游，并从中提炼出数学的真谛。

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在我翻阅《高等学校教材•抽象代数》的这段时间里，我深刻地体会到了数学的严谨与精妙。这本书的语言风格非常直接，没有过多的修饰，而是直入主题，将抽象的代数概念层层剥开。作者在阐述群的例子时，从最简单的例子如整数加法群，到更复杂的例子如对称群，每一步都展示了代数结构的普遍性和多样性。我尤其印象深刻的是书中关于“直积”和“半直积”的讨论，这些概念为理解更复杂的群结构提供了有力的工具，也展现了代数结构组合的可能性。在学习环和理想时，我发现理想的引入是为了更好地理解环的性质，特别是关于商环的构造，这是一种非常精巧的数学技巧。这本书的挑战性体现在它要求读者具备扎实的逻辑推理能力和抽象思维能力。有时，一个定理的证明会包含多个步骤，每个步骤都需要严格的论证，这迫使我反复推敲，确保自己理解了每一个细节。书中的习题设计也非常有深度，有些题目需要你综合运用多个定理，才能得出结论。我曾为一道关于“主理想域”（Principal Ideal Domain, PID）的题目反复思索，虽然耗时良多，但最终的解决让我对理想和域的性质有了更深的认识。这本书的价值在于它不仅仅教授了知识，更重要的是训练了我的数学思维方式，让我学会如何在复杂的数学体系中找到清晰的脉络。

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在我翻阅《高等学校教材•抽象代数》的过程中，我越来越被其所展现的数学的逻辑之美所折服。这本书的语言风格非常直接和精炼，直击主题。作者在介绍“置换群”（permutation group）时，那种对对称性的严谨刻画，让我对群的概念有了更直观的认识。例如，对称群 $S_n$ 的结构，是理解置换群性质的关键。书中关于“单群”（simple group）的概念，虽然在初次接触时显得有些抽象，但它在整个有限群论中的基础性作用，让我意识到其重要性。我尤其欣赏书中关于“群的表示”（representation of a group）的初步介绍，这是一种将抽象的群结构映射到更具体的矩阵空间，从而方便分析的方法。这本书的阅读过程，需要极大的专注度和反思，有时一个证明的细节可能会需要花费大量的时间去理解，但一旦掌握，就会带来深刻的领悟。书中的习题，是检验学习成果的关键，例如一道关于“克莱尔群”（Kronecker group）性质的题目，需要你不仅理解定义，还要能够灵活运用所学定理来推导。它的价值在于它能够培养你的数学洞察力，让你在面对新的数学对象时，能够快速捕捉到其核心特征，并运用已有的知识体系来分析。它不仅仅是知识的传递，更是一种思维的启迪，一种对数学真理的探索和追求。

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作为一名正努力啃读《高等学校教材•抽象代数》的学生，我必须承认，这本书在我看来，更像是一场需要极大耐心和毅力的“数字考古”之旅。它不像一些入门读物那样，能够用生动的故事或者通俗的比喻来“劝说”你接受某些概念，而是直接将你抛入一个高度抽象的逻辑世界。书中对于环、域、理想的定义，以及它们之间的层层递进关系，就像是在描绘一个精密的数学“城市规划图”。每一个定义都至关重要，每一个定理的出现都像是为了解决之前定义的某种“不完备性”或“潜在冲突”。我印象最深刻的是关于多项式环的部分，如何通过构造商环来完成域的扩张，这一过程的严谨性和创造性，让我为之惊叹。作者在这一部分的处理，虽然逻辑链条清晰，但对于初学者来说，需要反复推敲才能真正领会其中的奥妙。它不仅仅是代数的概念，更是一种思维方式的训练，训练你如何在一个预设的公理体系下，进行严密的逻辑推理，并从中发现新的规律。书中的习题也颇具挑战性，有些题目需要你不仅理解概念，还要能够灵活运用定理，甚至需要自己去“创造”证明过程。这些习题是我进步的关键，每一次独立完成一道难题，都能给我带来巨大的成就感，也让我对书本内容的理解更加深刻。我个人认为，这本书的价值在于它提供了一种“自下而上”的深入理解方式，让你在掌握基本概念后，能够逐步构建起对抽象代数整体的认知框架。它培养的不仅仅是知识，更是解决问题的能力和严谨的逻辑思维。

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《高等学校教材•抽象代数》这本书，就像是数学世界的一扇“精密之门”，需要你用逻辑和耐心去敲开。作者的叙述方式非常严谨，一步步地构建起抽象代数的宏伟蓝图。我被书中对“模”（module）的介绍所吸引，它巧妙地结合了群论和线性代数的思想，展现了数学的统一性。例如，学习模的表示理论时，我体会到了如何用代数工具来研究更一般的代数结构。书中的例子虽然精炼，但都恰到好处地说明了所讲的概念，例如，在讲解“自由模”（free module）时，作者用向量空间作为类比，这极大地帮助了我理解抽象的定义。这本书的难度在于它要求读者不仅要理解概念，更要掌握证明的技巧。我曾为一道关于“弗里德曼定理”（Friedman's Theorem）的推导而反复琢磨，作者的证明过程堪称数学的艺术，每一个推理都严丝合缝。这本书也让我认识到，数学研究的深度往往隐藏在那些看似微不足道的细节之中。它的价值在于它提供了一种“由内而外”的理解方式，让你在掌握了基本概念后，能够逐渐领略到抽象代数那令人着迷的数学之美。它塑造的不仅仅是知识，更是一种严谨的治学态度和深入探究的精神。

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《高等学校教材•抽象代数》这本书，对我来说，是一次深入数学“骨髓”的体验。它不像一些通俗读物那样，用华丽的辞藻来包装枯燥的概念，而是直接、纯粹地展现数学的本质。书中对于抽象代数结构（如群、环、域）的定义，是那么的简洁而又深刻，如同精心雕琢的艺术品。作者对于每一个概念的引入，都经过了深思熟虑，并且在后续的章节中不断地被深化和拓展。我特别欣赏书中关于“上同调”的初步介绍，虽然只是触及了皮毛，但已经让我窥见了代数结构背后更深层次的联系。那些看似晦涩的符号和定义，在作者的笔下，逐渐显露出它们内在的逻辑美感。例如，在讲解域扩张（field extensions）的时候，我体会到了数学家们如何通过构建新的代数结构来解决旧的数学问题，这是一种令人敬畏的智慧。这本书的阅读过程，更像是在进行一场“思想的冒险”，每一步都需要我投入百分百的专注和思考。那些习题，往往是理解概念的关键，它们迫使我从不同的角度去审视那些定义和定理，并从中找到解决问题的突破口。我曾花费数天的时间去攻克一道关于伽罗瓦理论（Galois Theory）的习题，虽然过程艰辛，但最终的豁然开朗，让我对抽象代数的理解上升到了一个新的高度。它不仅仅是知识的传递，更是一种思维的启迪，让我学会如何以一种更加抽象和严谨的方式来认识世界。

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《高等学校教材•抽象代数》这本书，对于我而言，是一次艰苦卓绝但收获颇丰的数学探索之旅。作者的写作风格非常严谨，直接深入到抽象代数的内核。我尤其被书中关于“二次域”（quadratic field）的讨论所吸引，它将数论与代数巧妙地结合起来，展现了数学的跨领域魅力。例如，在学习二次域的理想类群时，我体会到了数论问题是如何通过代数工具来解决的。这本书的挑战性体现在它需要读者具备很强的抽象思维能力和耐心。有时，一个定理的证明会涉及多层逻辑推理，每一个环节都需要仔细审视，才能确保理解的准确性。我曾为一道关于“戴德金环”（Dedekind domain）性质的习题反复推敲，作者的讲解虽然简洁，但逻辑链条却异常严密，这迫使我深入思考每一个定义和定理的内在含义。它的价值在于它提供了一种“由表及里”的理解方式，让你在掌握了基本的代数结构后，能够逐渐领悟到抽象代数那深刻而又优美的数学理论。它培养的不仅仅是知识，更是一种严谨的逻辑分析能力和解决复杂数学问题的能力。

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这本《高等学校教材•抽象代数》在我手中已经陪伴了我几个月，从最初的仰视到如今的些许亲近，它的分量不只体现在纸张的厚实上，更在于其内容所能激起的思维涟漪。初翻开时，那些抽象的符号、严谨的定义，以及看似无章可循的定理，确实让我在深夜里感到一丝迷茫，仿佛置身于一片用逻辑构建的迷宫。然而，随着一点点地深入，我开始能辨认出那些“路径”，理解那些“标志”。尤其是群论部分，从对称性到置换群，再到正规子群和商群，每一步的推导都像是在为构建一个更宏大的数学结构添砖加瓦。作者的讲解风格，虽然在某些篇章略显跳跃，但整体而言，力求清晰明了，并在恰当的地方穿插了历史背景和实际应用，这极大地帮助我理解了这些抽象概念的“为什么”。例如，在讲解有限单群分类的时候，那种跨越多个数学分支的精妙联系，让我对数学的统一性和深刻性有了更直观的感受。虽然我在学习过程中也曾遇到过不少难以理解的细节，需要反复查阅资料，甚至请教同学，但正是这些挑战，让我对抽象代数的掌握更加牢固。那些看似枯燥的证明，背后蕴含着数学家们不懈探索的精神，这本身就是一种激励。我尤其欣赏的是书中关于代数结构与几何直观之间联系的阐述，虽然篇幅不多，但足以开启我的另一扇思考之门。它让我明白，数学并非只存在于纸面上的符号游戏，而是能够描绘和解释我们周围世界的深刻规律。总而言之，这本书为我提供了一个坚实的起点，让我得以窥探抽象代数那令人着迷的领域，也让我对数学学习的深度和广度有了全新的认识。

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不得不说这个比很多教材写得清楚很多，是不可多得的参考资料。

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