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出版者:科學齣版

作者:鬍健偉 湯懷民

出品人:

頁數:505

译者:

出版時間:1999-1

價格:24.00元

裝幀:

isbn號碼:9787030069627

叢書系列:

圖書標籤:

• 微分方程
• 數值方法
• 數學
• 計算數學
• 科學計算
• 工程數學
• 數值分析
• 算法
• 高等教育
• 理工科

《計算方法基礎與應用》 內容提要 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的計算方法理論框架與實踐指南，尤其側重於那些在現代科學與工程領域中不可或缺的數值技術。全書內容組織嚴謹，邏輯清晰，從最基本的數值逼近理論齣發，逐步深入到復雜的偏微分方程求解技術，內容涵蓋瞭代數方程組的迭代方法、函數逼近與插值、數值積分、常微分方程的數值解法，以及有限元方法等核心主題。 第一部分：數值計算的基石 第一章：誤差分析與浮點運算 本章首先建立瞭數值計算的理論基礎，詳細闡述瞭誤差的來源、分類（截斷誤差與捨入誤差）及其量化方法。深入探討瞭浮點數的錶示標準（IEEE 754），分析瞭浮點運算的精度損失機製，並介紹瞭如何通過閤理的算法設計來控製和最小化計算誤差。理解浮點數的特性是保證數值計算穩定性的前提。 第二章：非綫性方程的求解 本章聚焦於求解單變量和多變量非綫性方程 $f(x) = 0$ 的數值技術。係統介紹瞭牛頓法、割綫法（Secant Method）和不動點迭代法。對每種方法的收斂性進行瞭嚴格的數學分析，包括局部收斂速度的評估（綫性收斂、超綫性收斂和二次收斂）。同時，討論瞭如何選擇閤適的初始猜測值以確保算法的有效性，並探討瞭欠定和超定非綫性係統的最小二乘解法。 第三章：綫性方程組的數值解法 綫性代數方程組是數值計算的核心。本章首先討論瞭直接法，包括高斯消元法、LU分解、Cholesky分解及其在求解大型稀疏係統中的應用。隨後，重點介紹瞭迭代法，如雅可比迭代（Jacobi）和高斯-賽德爾迭代（Gauss-Seidel）。對於大規模問題，本章深入探討瞭Krylov子空間方法，包括共軛梯度法（CG）和廣義最小殘量法（GMRES），並分析瞭預處理技術（Preconditioning）對迭代加速的關鍵作用。此外，還涉及瞭矩陣的條件數、穩定性分析以及特徵值問題的數值解法（如QR算法）。 第二部分：函數逼近與離散化 第四章：插值與數據擬閤 本章探討瞭如何使用有限的采樣點來近似一個連續函數。詳細介紹瞭拉格朗日插值、牛頓插值以及分段插值，特彆是三次樣條插值（Cubic Spline），分析瞭樣條插值的光滑性和局部性優勢。隨後，轉嚮非精確擬閤，全麵講解瞭最小二乘法（Least Squares Fitting），包括綫性最小二乘和非綫性最小二乘問題，以及正交多項式在擬閤中的應用。 第五章：數值積分（Quadrature） 本章關注如何精確或近似計算定積分 $int_a^b f(x) dx$。從牛頓-科茨公式（Newton-Cotes Formulas）的基礎（如梯形法則和辛普森法則）入手，逐步過渡到更高效的復化公式和高斯求積法（Gaussian Quadrature）。重點分析瞭高斯求積的代數精度特性及其在提高計算效率方麵的優越性。同時，也討論瞭高維積分的濛特卡洛方法。 第三部分：常微分方程的數值解法 第六章：常微分方程初值問題的數值方法 本章專門解決形如 $y'(t) = f(t, y(t)), quad y(t_0) = y_0$ 的初值問題。詳細闡述瞭單步法，如歐拉法（Euler's Method）及其改進形式（隱式歐拉法），以及龍格-庫塔（Runge-Kutta, RK）方法族，特彆是經典的四階RK方法。討論瞭局部截斷誤差、全局誤差和區域截斷誤差的理論。對於剛性（Stiff）微分方程，本章將介紹隱式方法的必要性及其穩定性區域分析。 第七章：常微分方程邊值問題的數值解法 本章處理具有邊界條件的常微分方程邊值問題。主要介紹有限差分法（Finite Difference Method），即如何利用差商來近似導數，並將微分方程轉化為綫性或非綫性代數方程組求解。同時，簡要介紹射擊法（Shooting Method）如何將邊值問題轉化為初值問題求解。 第四部分：偏微分方程的數值逼近 第八章：偏微分方程的有限差分法 本章是求解偏微分方程（PDEs）的經典數值工具。重點研究拋物型方程（如熱傳導方程）、雙麯型方程（如波動方程）和橢圓型方程（如泊鬆方程）的離散化。詳細推導瞭顯式和隱式有限差分格式，並對它們的穩定性和收斂性（如Von Neumann穩定性分析）進行嚴格論證。 第九章：偏微分方程的有限元方法導論 本章為讀者引入更強大的偏微分方程求解框架——有限元方法（FEM）。從變分原理和弱形式（Weak Formulation）的建立開始，解釋瞭形函數（Shape Functions）的選擇、單元的組裝過程以及剛度矩陣的構建。本章重點關注如何利用FEM求解拉普拉斯方程和泊鬆方程，並討論其在處理復雜幾何邊界上的優勢。 附錄：MATLAB/Python 編程實踐 附錄提供瞭上述核心算法的實現指導和代碼示例，幫助讀者將理論知識轉化為實際的計算能力，並側重於如何利用現代數值計算軟件庫進行高效求解。 本書特色 本書的特點在於理論推導的嚴謹性與實際應用的緊密結閤。每章均配有豐富的算例和習題，不僅要求讀者理解算法的原理，更要求掌握其在工程實踐中的局限性與魯棒性設計。本書適閤高等院校數學、物理、力學、化學、電子工程及計算機科學等專業的高年級本科生和研究生作為教材或參考書，對從事科學計算和工程模擬的專業人員亦具重要參考價值。

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令人驚喜的是，本書在理論闡述的深度與廣度之間找到瞭一個近乎完美的平衡點。在保證核心數值方法（如有限差分法、有限元法等）講解透徹的基礎上，作者還花費瞭相當的篇幅來討論現代計算中的關鍵議題，例如算法的穩定性和收斂性分析，這部分內容往往是很多教材中一筆帶過或過於簡化的。書中對這些嚴謹分析的呈現方式，非常注重理論的嚴密性，但同時又穿插瞭大量圖示來輔助說明復雜的數學現象，比如網格剖分的質量如何影響誤差分布的圖解，直觀易懂。這種對計算科學底層原理的堅持，使得讀者在麵對新的或未曾學過的數值模型時，能夠迅速抓住其本質，而不是僅僅停留在套用既有公式的層麵。它培養的不是計算的熟練工，而是能夠理解和設計算法的思考者。

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這本書的習題部分設計得堪稱典範，充分體現瞭編者對教學目標深刻的把握。習題的梯度設置非常科學閤理，從最基礎的直接應用定義和公式的鞏固練習，到需要整閤多個章節知識點纔能解決的綜閤分析題，再到最後幾章那些真正考驗洞察力和創新思維的開放式研究問題，構成瞭一個完整的學習反饋閉環。我尤其贊賞那些帶有“案例分析”標記的習題，它們往往引用瞭近年來工業界或科研前沿中的真實問題背景，要求讀者不僅僅是計算齣數值解，還要對結果的物理可行性和誤差來源進行深入探討。這種將練習題提升到“小課題”層麵的做法，極大地激發瞭我主動探索和批判性思考的欲望，遠超齣瞭傳統教材中那些孤立的數值計算練習的水平。

评分☆☆☆☆☆

從整體結構來看，這本書的結構具有極強的自洽性和連貫性，似乎是作者多年教學經驗的沉澱與提煉。它並沒有像一些參考書那樣，將各種方法一股腦地堆砌，而是有主次之分，重點突齣瞭那些在工程實踐中應用最為廣泛且具有深厚理論基礎的方法體係。比如，對某一特定類型的偏微分方程，書中會首先深入剖析一到兩種最經典的解法，詳細展開每一步的推導和誤差分析，然後再將其他變種方法作為補充或對比。這種“聚焦核心，輻射拓展”的編排方式，使得讀者可以穩紮穩打地建立起堅實的知識框架，避免瞭在初期就被過多選擇所淹沒的睏擾。這種精心組織的學習路徑，使得這本書非常適閤作為係統學習該領域知識的權威教材，而非僅僅是一本零散的參考手冊。

评分☆☆☆☆☆

初次翻閱這本書時，最讓我眼前一亮的便是它對概念的闡述方式。作者似乎采用瞭多層次的講解策略，對於同一個數學對象，會先給齣直觀的幾何解釋，接著是嚴謹的代數定義，最後再補充一些相關的物理或工程背景。這種由淺入深、多維度的切入點，極大地降低瞭抽象概念的學習門檻。例如，在引入某個核心定理時，書中不僅僅是堆砌公式，而是用瞭一整段文字來描繪其背後的物理意義，仿佛在講述一個關於變化和平衡的故事。我發現，很多其他教材中晦澀難懂的證明過程，在這裏被巧妙地分解成瞭若乾個小步驟，每一步都有清晰的動機說明，讀起來不再是單純的記憶，而是一種理解的順理成章。對於我這樣需要將理論應用於實際建模的工程師來說，這種注重“為什麼”而不是僅僅關注“是什麼”的敘述風格，無疑是更具價值的。

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這本書的裝幀設計非常彆緻，封麵采用瞭一種略帶磨砂質感的深藍色調，配以燙金的書名和作者信息，整體給人一種沉穩而又不失現代感的感覺。內頁紙張的選取也頗為講究，觸感細膩，在長時間閱讀時能有效減輕眼睛的疲勞。至於內容的排版，邏輯清晰，章節間的過渡自然流暢，即便是初次接觸這個領域的讀者，也能在閱讀過程中找到清晰的脈絡。特彆是那些復雜的數學公式，排印得極為工整清晰，這對於需要反復對照和推導的專業書籍來說，是至關重要的細節。我很欣賞作者在保持學術嚴謹性的同時，注重瞭閱讀體驗的優化，讓一本技術性很強的書籍讀起來也成為一種享受。作者似乎深諳讀者的需求，將理論與實際應用的結閤點標注得非常到位，使得學習過程中的睏惑點能得到及時的解答和印證，這一點讓我對後續的學習充滿瞭期待。

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有限元NB

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比李榮華那本強太多瞭

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