NUMERICAL LINEAR ALGEBRA AND OPTIMIZATION pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:YA-XIANG YUAN

出品人:

页数:296

译者:

出版时间:2004-10

价格:120.00元

装帧:

isbn号码:9787030142160

丛书系列:

图书标签:

• 数值线性代数
• 优化
• 算法
• 矩阵计算
• 数值方法
• 最优化
• 计算数学
• 工程数学
• 科学计算
• 应用数学

《现代数学方法与应用：理论、算法与实践》 图书简介 本书旨在为读者提供一个深入而全面的现代数学方法框架，特别侧重于理论基础的严谨性、算法设计的有效性以及在实际科学与工程问题中的广泛应用。全书结构清晰，内容循序渐进，覆盖了从基础概念到前沿研究方法的多个重要领域，旨在培养读者利用先进数学工具解决复杂问题的能力。 第一部分：基础理论与分析 本部分着重于建立坚实的数学分析基础，为后续高级主题的学习打下坚实的地基。 第1章：实分析与度量空间 本章从集合论和拓扑初步出发，系统地介绍了度量空间的定义、性质及其重要例子（如欧几里得空间、函数空间）。重点讨论了收敛性、完备性、紧致性和连续性的概念。通过对开集、闭集、稠密集的深入分析，为函数空间上的分析奠定理论基础。特别探讨了巴拿赫空间和希尔伯特空间的基本结构及其在函数逼近中的作用。 第2章：勒贝格积分理论 本章全面阐述了勒贝格积分的构造过程，取代了传统的黎曼积分。从可测集、可测函数开始，逐步引入简单函数、非负可测函数，最终构造出勒贝格积分。重点分析了积分的性质，如单调收敛定理（MCT）、法图定理（Fatou's Lemma）和占优收敛定理（DCT），这些是泛函分析和概率论中的核心工具。通过对比，清晰地展示了勒贝格积分相较于黎曼积分的优越性。 第3章：泛函分析导论 泛函分析是连接几何直觉与分析严谨性的桥梁。本章首先复习了线性空间和内积空间，然后深入探讨了有界线性算子和无界线性算子。核心内容包括巴拿赫空间和希尔伯特空间上的谱理论基础，特别是自伴随算子的性质。本章还引入了Hahn-Banach定理和开映射定理等强有力的存在性定理，并简要讨论了它们的几何意义。 第二部分：离散结构与组合优化 本部分转向离散数学结构，聚焦于图论、组合优化及其在网络科学和资源分配中的应用。 第4章：图论的结构与算法 本章详细介绍了图的代数表示（如邻接矩阵、拉普拉斯矩阵）和组合结构。内容涵盖了连通性、匹配理论（最大匹配、完美匹配）、流网络（最大流最小割定理）。重点解析了遍历性问题，如欧拉回路和哈密顿回路的存在性条件及求解算法。通过具体的应用案例，如最短路径算法（Dijkstra, Floyd-Warshall）的严谨推导，展示了离散结构分析的威力。 第5章：组合优化与整数规划 本章探讨了在有限集合上寻找最优解的理论和方法。首先，对线性规划（LP）进行了回顾，然后深入到整数规划（IP）和混合整数规划（MIP）。关键内容包括割平面法、分支定界法、分支切割法的基本原理。此外，本章还专题讨论了NP-难问题的背景，并介绍了一些启发式和近似算法（如局部搜索、模拟退火）在处理大规模组合优化问题时的有效性。 第6章：动态规划与网络流 本章将动态规划作为一种强大的建模工具进行系统性介绍。通过贝尔曼方程和最优子结构原理，展示了如何将复杂问题分解为可管理的子问题。随后，将视角转向网络流问题，深入研究最小费用最大流、多商品流等变体，并结合最小割理论，展示了其在资源调度和通信网络优化中的应用。 第三部分：随机过程与统计推断 本部分涵盖了处理不确定性和随机性现象的数学工具，强调从数据中提取有效信息的方法。 第7章：概率论与随机变量 本书对概率论的介绍建立在测度论的基础上，保证了理论的严谨性。详细讨论了连续和离散随机变量的联合分布、期望和条件期望。核心内容包括大数定律（弱收敛与强大数定律）和中心极限定理的多种形式，这些是统计推断的基石。 第8章：马尔可夫链与随机过程 本章重点介绍离散时间马尔可夫链，包括状态空间分类、平稳分布的存在性和唯一性，以及遍历性定理。对于连续时间马尔可夫链，讨论了其生成元和无穷小生成元。此外，对布朗运动（维纳过程）的构造、性质及其在金融数学中的初步应用进行了介绍。 第9章：统计推断的基础 本章从随机样本的角度出发，探讨如何从有限数据中对未知参数做出合理推断。内容包括点估计（如矩估计、最大似然估计）的性质（无偏性、一致性、渐近有效性）。随后，引入了假设检验的框架（零假设、备择假设、I类和II类错误），并详细阐述了基于检验统计量的原理进行统计决策的方法。 第四部分：应用模型与计算方法 本部分将理论知识应用于实际问题的建模，并介绍了解析和数值求解策略。 第10章：微分方程中的应用模型 本章关注常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）在物理、生物和工程中的经典应用。对热传导方程、波动方程和泊松方程的物理意义、解的唯一性和基本性质进行了探讨。重点在于如何利用傅里叶分析和分离变量法求解齐次和非齐次边界条件下的定性解。 第11章：插值、逼近与数值积分 本章侧重于对函数和数据的数值处理。从插值理论出发，介绍了拉格朗日插值、牛顿差商和样条插值（特别是三次样条），并分析了插值误差。随后，详细讨论了最小二乘逼近，以及牛顿-柯特斯公式、高斯求积等数值积分方法，并对它们的收敛性和稳定性进行了评估。 第12章：微分方程的数值解法 本部分是连接理论与工程实践的关键。针对常微分方程，介绍了欧拉法、龙格-库塔法（RK4）等单步法，以及多步法的基本思想，并分析了方法的稳定性和收敛阶。对于偏微分方程，引入了有限差分法（FDM），特别是隐式和显式格式在求解扩散问题中的应用，强调了稳定性和收敛性的数值判断标准。 本书内容全面、论述严谨，适合高年级本科生、研究生以及需要掌握高级数学工具的科研人员和工程师阅读。通过对理论的深入挖掘和对算法的详细阐述，读者将能够构建起一个坚实的跨学科数学思维体系。

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