數學分析教程（下冊） pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:高等教育齣版社

作者:常庚哲

出品人:

頁數:402

译者:

出版時間:2003-6

價格:26.90元

裝幀:簡裝本

isbn號碼:9787040119213

叢書系列:

圖書標籤:

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• 極限理論
• 連續函數

好的，這是一份針對一本名為《數學分析教程（下冊）》的圖書，但內容不包含該書所述內容的圖書簡介。這份簡介將圍繞其他數學分支或不同側重點的分析學內容展開，力求詳實且具有專業性。 --- 《拓撲空間與泛函分析導論》 —— 深度探究現代數學的結構與極限 第一部分：現代幾何與度量空間的基石 本書旨在為讀者提供一套嚴謹而富有洞察力的工具，用以理解和操作抽象空間的概念，這是從經典微積分（如您提到的《數學分析教程（下冊）》所側重的 $mathbb{R}^n$ 上的分析）邁嚮更高級、更抽象數學領域的關鍵橋梁。我們不再局限於歐幾裏得空間及其上的連續函數，而是將視野投嚮更廣闊的拓撲世界。 第一章：預備知識與集閤論基礎的再審視 在深入探討現代分析之前，我們首先對集閤論、邏輯結構以及必要的實數係統性質進行一次精煉的迴顧。重點不在於重復構造實數軸，而在於強調序關係、完備性如何在更一般的序結構中被替代或推廣。我們將探討良序原理、選擇公理及其在構造抽象集閤上的潛在影響，為後續的拓撲結構奠定堅實的邏輯基礎。 第二章：拓撲空間的概念與構造 本章是全書的基石。我們從直觀的度量空間（如 $mathbb{R}^n$ 上的標準範數空間）齣發，逐步抽象化“鄰域”和“收斂性”的概念，引入拓撲空間的正式定義——一組開集的集閤族。我們將詳細分析拓撲的五大基本性質（開閉集的對偶性、交集與並集的性質）。 重要專題： 我們會深入剖析幾種重要的拓撲結構：子空間拓撲、商拓撲（如何通過等價關係構造新空間）、積拓撲（Tychonoff 定理的引入）。 拓撲的度量化： 區分哪些拓撲可以由某個度量誘導（可度量性），以及那些無法被任何度量描述的純拓撲性質。 第三章：連續性、分離性和緊緻性 在拓撲空間中，連續函數的定義自然推廣為原像保持開集性的映射。我們將詳盡討論拓撲同胚（Homeomorphism）的概念，它是現代幾何學中‘形狀’等價的嚴格定義。 分離公理： 從 $T_1$ 空間到豪斯多夫空間（Hausdorff Space, $T_2$），再到正則性和完全正則性。豪斯多夫空間的完備性是後續泛函分析中許多收斂定理的先決條件。 緊緻性： 緊緻性被重新定義為“任意開復蓋存在有限子復蓋”。我們將證明在有限維歐氏空間中， Heine-Borel 定理的拓撲版本，並討論緊緻性在乘積空間上的性質（Tychonoff 定理的證明）。 第四章：連通性、連通分支與度量空間的完備化 連通性描述瞭空間作為一個整體是否可以被分割。我們探討路徑連通性與連通性的區彆，並研究拓撲空間的連通分支。 隨後，我們將迴到一個更具體的結構——度量空間。雖然我們已經介紹瞭拓撲，但度量空間允許我們引入“距離”的概念。本章將重點解決度量空間中的柯西序列和完備性問題。我們將通過著名的 Cantor 序列法或 Hausdorff 可分化的概念，詳細闡述如何對一個非完備的度量空間進行“補全”，構造其完備化空間，這是處理諸如巴拿赫空間等問題的關鍵步驟。 --- 第二部分：從度量到範數——泛函分析的初步 在第二部分，我們把分析的視角從一般的拓撲空間，聚焦到那些具有綫性結構的嚮量空間上，從而進入泛函分析的核心領域。 第五章：賦範嚮量空間與巴拿赫空間 本章將綫性代數中的嚮量空間與度量空間的概念相結閤，引入範數的概念，並在此基礎上定義賦範嚮量空間。 收斂性的重新定義： 在賦範空間中，範數誘導齣拓撲結構。我們將研究範數收斂性與拓撲收斂性之間的關係。 巴拿赫空間： 完備的賦範嚮量空間被稱為巴拿赫空間（Banach Space）。我們將舉例說明 $mathbb{R}^n$ 上的 $L^p$ 空間（作為函數空間）是如何成為巴拿赫空間的實例，並強調其完備性在求解微分方程初值問題中的重要性。 第六章：有界綫性算子與等距同構 泛函分析的核心在於研究函數空間之間的綫性映射，即算子。我們首次引入有界綫性算子的概念，這替代瞭傳統分析中對導數或積分的局部性質考察。 算子範數： 我們將定義算子範數，並證明有界綫性算子在巴拿赫空間之間構成一個完備的空間——算子空間，它本身也是一個巴拿赫空間。 開映射定理與閉圖像定理： 這兩個被譽為泛函分析的“基本定理”將得到詳盡的證明和應用。它們建立瞭算子在巴拿赫空間之間保持拓撲性質（如開性或閉性）的內在聯係，是處理綫性算子性質的強大工具。 第七章：對偶空間與基本有界綫性泛函 本章探討綫性泛函，即作用於函數空間並返迴標量的綫性映射。 Hahn-Banach 定理： 這是泛函分析中最重要的“擴張”定理。我們將從其在實數域上的版本開始，逐步過渡到更一般的賦範空間版本，並展示它如何在構造分離泛函和證明存在性問題中發揮作用。 強對偶與弱對偶： 介紹一個巴拿赫空間 $X$ 的連續對偶空間 $X^$。我們會探究在有限維空間中 $X cong X^{}$ 的事實，並在無限維空間中討論何時 $X = X^{}$（自反性），這是衡量空間“良好行為”的關鍵指標。 --- 結論：從點集拓撲到無限維分析的飛躍 本書（《拓撲空間與泛函分析導論》）的結構旨在引導讀者係統地擺脫對 $mathbb{R}^n$ 幾何的依賴，掌握在任意抽象集閤上定義結構和分析收斂性的能力。它關注的重點是拓撲結構、空間的完備性、以及綫性映射的性質，這些都是研究偏微分方程的理論基礎、概率論中的隨機過程，以及現代數學物理學所必需的抽象框架。本書的讀者將獲得比傳統微積分更廣闊的數學視野，為未來深入研究調和分析、測度論的高級應用或微分幾何打下堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

說實話，這本書的難度是擺在那裏的，尤其對於基礎不太紮實的同學來說，可能會有些吃力。我記得在學習泛函分析的初步內容，比如賦範綫性空間和巴拿赫空間時，我不得不反復查閱綫性代數和拓撲學的補充材料。但正是這種挑戰性，讓這本書的價值凸顯齣來。它不像市麵上一些“速成”教材，把復雜的概念簡單化到失去其本質。相反，它堅持瞭數學分析應有的深度和廣度。作者在處理稠密性、完備性和連續性這些核心問題時，展現齣一種近乎苛刻的嚴謹性。我特彆欣賞它對反例的討論，每一個精心構造的反例，都像一把精準的手術刀，剖開瞭我們思維中的盲區和誤解。比如，關於一緻連續性與點態連續性的區彆，書中給齣的那個例子，我至今還會時不時地想起，它時刻提醒我，在做任何推導前，必須先確保所有條件都已滿足。這本書不是讓你“學會做題”，而是讓你“學會思考數學的本質”。

评分☆☆☆☆☆

這本書的排版和圖示設計，我必須點個贊。在處理多變量微積分和微分形式的部分時，清晰的圖解是至關重要的。我之前看的很多教材，要麼圖畫得過於簡化，讓人看不齣空間關係，要麼乾脆沒有圖，全靠文字描述，讀起來非常晦澀。而這本《教程》，在引入麯麵積分和通量概念時，配的那幾頁彩圖，簡直是救星。它們不僅是裝飾，更是輔助理解的工具。尤其在討論斯托剋斯定理和高斯公式時，作者巧妙地用箭頭和區域劃分，將高維空間中的嚮量場流動具象化瞭。這讓我明白瞭為什麼這些定理的公式形式會如此優雅——它們本質上是對自然界中守恒定律的數學刻畫。雖然推導過程依然需要硬啃，但有瞭視覺上的錨點，理解起來的效率提高瞭不止一個檔次。這本書的用心程度，從細節處可見一斑。

评分☆☆☆☆☆

這本書最讓我感到驚喜的是它對數學史和思想演變的穿插介紹。在每一章節的開頭或結尾，作者總會簡短地介紹某個重要概念的提齣背景，或者某個偉大數學傢是如何一步步推導齣現在的結論的。這使得冰冷的數學符號充滿瞭人情味和曆史的厚重感。例如，在討論黎曼-斯蒂爾切斯積分時，它不僅僅是給齣瞭定義，還提及瞭物理學中對非光滑係統建模的需求是如何推動這一理論發展的。這種“帶著故事去學習”的方式，極大地激發瞭我的好奇心和求知欲。它讓我意識到，數學並非是真空中的創造，而是人類應對復雜世界的智慧結晶。因此，這本書不僅僅是一本教科書，更像是一部濃縮的數學思想史，讓人在學習技術的同時，也領略瞭數學傢們的探索精神和浪漫情懷。

评分☆☆☆☆☆

與其他偏嚮應用或純理論的教材相比，這本書的平衡感做得極好。它沒有過度沉溺於抽象的代數結構，也沒有被繁瑣的計算細節所淹沒。它像是搭建瞭一座橋梁，連接著初等微積分的直觀性和高等代數、拓撲學的嚴密性。我個人對它在傅裏葉分析和留數定理的處理方式印象深刻。它沒有把傅裏葉級數當作一個孤立的工具來介紹，而是將其置於函數空間的背景下討論其收斂性和完備性，這使得我們對信號處理等應用的理解更加深刻。而在復變函數部分，作者對柯西積分定理的闡釋，那種層層剝繭、逐步逼近的論證方法，使得原本看起來“神奇”的結論變得順理成章。讀完這一部分，你會感覺自己真正掌握瞭一個可以解決復雜問題的強大工具箱，而不是僅僅背誦瞭一些積分公式。

评分☆☆☆☆☆

這套書真是太經典瞭，我從大一開始就接觸瞭高數，但真正體會到數學的嚴謹和美妙，還是從這本“下冊”開始的。我記得當時剛接觸到勒貝格積分那塊時，腦子裏一片漿糊，感覺跟之前的黎曼積分完全是兩個世界的東西。但作者的敘述方式非常巧妙，他沒有直接把你扔進那些復雜的定義裏，而是通過一些非常直觀的例子和幾何背景來鋪墊。比如，講解測度時，他會花大量篇幅去討論為什麼我們需要更精細的“可測集”概念，這比單純的公式堆砌要有效得多。等到真正進入積分理論，你會發現，那些看似抽象的極限和收斂性討論，其實都是為瞭讓積分這個工具更可靠、更強大。特彆是對積分的收斂定理，如B.L.T.（布朗-利布曼定理）的證明過程，行雲流水，邏輯鏈條清晰得讓人拍案叫絕。讀完這部分，我纔真正理解瞭什麼是“微積分的推廣”，那種豁然開朗的感覺，至今難忘。可以說，這本書不僅是知識的傳授，更是一種思維方式的重塑。

評分☆☆☆☆☆

評分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

重溫（2/2），感覺比上冊差瞭點。不太喜歡傅立葉那章的寫法，感覺太亂瞭；以及感覺麯麵積分那章寫的匆匆忙忙的，同樣不太舒服。除此以外都很好，課後題仍然質量很高，每次重溫都收獲蠻多的～

评分☆☆☆☆☆

5/5.

评分☆☆☆☆☆

超級大愛

评分☆☆☆☆☆

5/5.

评分☆☆☆☆☆

是本好教材！以後都沒有數分課瞭……