数学分析教程（下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:常庚哲

出品人:

页数:402

译者:

出版时间:2003-6

价格:26.90元

装帧:简裝本

isbn号码:9787040119213

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好的，这是一份针对一本名为《数学分析教程（下册）》的图书，但内容不包含该书所述内容的图书简介。这份简介将围绕其他数学分支或不同侧重点的分析学内容展开，力求详实且具有专业性。 --- 《拓扑空间与泛函分析导论》 —— 深度探究现代数学的结构与极限 第一部分：现代几何与度量空间的基石 本书旨在为读者提供一套严谨而富有洞察力的工具，用以理解和操作抽象空间的概念，这是从经典微积分（如您提到的《数学分析教程（下册）》所侧重的 $mathbb{R}^n$ 上的分析）迈向更高级、更抽象数学领域的关键桥梁。我们不再局限于欧几里得空间及其上的连续函数，而是将视野投向更广阔的拓扑世界。 第一章：预备知识与集合论基础的再审视 在深入探讨现代分析之前，我们首先对集合论、逻辑结构以及必要的实数系统性质进行一次精炼的回顾。重点不在于重复构造实数轴，而在于强调序关系、完备性如何在更一般的序结构中被替代或推广。我们将探讨良序原理、选择公理及其在构造抽象集合上的潜在影响，为后续的拓扑结构奠定坚实的逻辑基础。 第二章：拓扑空间的概念与构造 本章是全书的基石。我们从直观的度量空间（如 $mathbb{R}^n$ 上的标准范数空间）出发，逐步抽象化“邻域”和“收敛性”的概念，引入拓扑空间的正式定义——一组开集的集合族。我们将详细分析拓扑的五大基本性质（开闭集的对偶性、交集与并集的性质）。 重要专题： 我们会深入剖析几种重要的拓扑结构：子空间拓扑、商拓扑（如何通过等价关系构造新空间）、积拓扑（Tychonoff 定理的引入）。 拓扑的度量化： 区分哪些拓扑可以由某个度量诱导（可度量性），以及那些无法被任何度量描述的纯拓扑性质。 第三章：连续性、分离性和紧致性 在拓扑空间中，连续函数的定义自然推广为原像保持开集性的映射。我们将详尽讨论拓扑同胚（Homeomorphism）的概念，它是现代几何学中‘形状’等价的严格定义。 分离公理： 从 $T_1$ 空间到豪斯多夫空间（Hausdorff Space, $T_2$），再到正则性和完全正则性。豪斯多夫空间的完备性是后续泛函分析中许多收敛定理的先决条件。 紧致性： 紧致性被重新定义为“任意开复盖存在有限子复盖”。我们将证明在有限维欧氏空间中， Heine-Borel 定理的拓扑版本，并讨论紧致性在乘积空间上的性质（Tychonoff 定理的证明）。 第四章：连通性、连通分支与度量空间的完备化 连通性描述了空间作为一个整体是否可以被分割。我们探讨路径连通性与连通性的区别，并研究拓扑空间的连通分支。 随后，我们将回到一个更具体的结构——度量空间。虽然我们已经介绍了拓扑，但度量空间允许我们引入“距离”的概念。本章将重点解决度量空间中的柯西序列和完备性问题。我们将通过著名的 Cantor 序列法或 Hausdorff 可分化的概念，详细阐述如何对一个非完备的度量空间进行“补全”，构造其完备化空间，这是处理诸如巴拿赫空间等问题的关键步骤。 --- 第二部分：从度量到范数——泛函分析的初步 在第二部分，我们把分析的视角从一般的拓扑空间，聚焦到那些具有线性结构的向量空间上，从而进入泛函分析的核心领域。 第五章：赋范向量空间与巴拿赫空间 本章将线性代数中的向量空间与度量空间的概念相结合，引入范数的概念，并在此基础上定义赋范向量空间。 收敛性的重新定义： 在赋范空间中，范数诱导出拓扑结构。我们将研究范数收敛性与拓扑收敛性之间的关系。 巴拿赫空间： 完备的赋范向量空间被称为巴拿赫空间（Banach Space）。我们将举例说明 $mathbb{R}^n$ 上的 $L^p$ 空间（作为函数空间）是如何成为巴拿赫空间的实例，并强调其完备性在求解微分方程初值问题中的重要性。 第六章：有界线性算子与等距同构 泛函分析的核心在于研究函数空间之间的线性映射，即算子。我们首次引入有界线性算子的概念，这替代了传统分析中对导数或积分的局部性质考察。 算子范数： 我们将定义算子范数，并证明有界线性算子在巴拿赫空间之间构成一个完备的空间——算子空间，它本身也是一个巴拿赫空间。 开映射定理与闭图像定理： 这两个被誉为泛函分析的“基本定理”将得到详尽的证明和应用。它们建立了算子在巴拿赫空间之间保持拓扑性质（如开性或闭性）的内在联系，是处理线性算子性质的强大工具。 第七章：对偶空间与基本有界线性泛函 本章探讨线性泛函，即作用于函数空间并返回标量的线性映射。 Hahn-Banach 定理： 这是泛函分析中最重要的“扩张”定理。我们将从其在实数域上的版本开始，逐步过渡到更一般的赋范空间版本，并展示它如何在构造分离泛函和证明存在性问题中发挥作用。 强对偶与弱对偶： 介绍一个巴拿赫空间 $X$ 的连续对偶空间 $X^$。我们会探究在有限维空间中 $X cong X^{}$ 的事实，并在无限维空间中讨论何时 $X = X^{}$（自反性），这是衡量空间“良好行为”的关键指标。 --- 结论：从点集拓扑到无限维分析的飞跃 本书（《拓扑空间与泛函分析导论》）的结构旨在引导读者系统地摆脱对 $mathbb{R}^n$ 几何的依赖，掌握在任意抽象集合上定义结构和分析收敛性的能力。它关注的重点是拓扑结构、空间的完备性、以及线性映射的性质，这些都是研究偏微分方程的理论基础、概率论中的随机过程，以及现代数学物理学所必需的抽象框架。本书的读者将获得比传统微积分更广阔的数学视野，为未来深入研究调和分析、测度论的高级应用或微分几何打下坚实的基础。

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这本书最让我感到惊喜的是它对数学史和思想演变的穿插介绍。在每一章节的开头或结尾，作者总会简短地介绍某个重要概念的提出背景，或者某个伟大数学家是如何一步步推导出现在的结论的。这使得冰冷的数学符号充满了人情味和历史的厚重感。例如，在讨论黎曼-斯蒂尔切斯积分时，它不仅仅是给出了定义，还提及了物理学中对非光滑系统建模的需求是如何推动这一理论发展的。这种“带着故事去学习”的方式，极大地激发了我的好奇心和求知欲。它让我意识到，数学并非是真空中的创造，而是人类应对复杂世界的智慧结晶。因此，这本书不仅仅是一本教科书，更像是一部浓缩的数学思想史，让人在学习技术的同时，也领略了数学家们的探索精神和浪漫情怀。

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与其他偏向应用或纯理论的教材相比，这本书的平衡感做得极好。它没有过度沉溺于抽象的代数结构，也没有被繁琐的计算细节所淹没。它像是搭建了一座桥梁，连接着初等微积分的直观性和高等代数、拓扑学的严密性。我个人对它在傅里叶分析和留数定理的处理方式印象深刻。它没有把傅里叶级数当作一个孤立的工具来介绍，而是将其置于函数空间的背景下讨论其收敛性和完备性，这使得我们对信号处理等应用的理解更加深刻。而在复变函数部分，作者对柯西积分定理的阐释，那种层层剥茧、逐步逼近的论证方法，使得原本看起来“神奇”的结论变得顺理成章。读完这一部分，你会感觉自己真正掌握了一个可以解决复杂问题的强大工具箱，而不是仅仅背诵了一些积分公式。

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这本书的排版和图示设计，我必须点个赞。在处理多变量微积分和微分形式的部分时，清晰的图解是至关重要的。我之前看的很多教材，要么图画得过于简化，让人看不出空间关系，要么干脆没有图，全靠文字描述，读起来非常晦涩。而这本《教程》，在引入曲面积分和通量概念时，配的那几页彩图，简直是救星。它们不仅是装饰，更是辅助理解的工具。尤其在讨论斯托克斯定理和高斯公式时，作者巧妙地用箭头和区域划分，将高维空间中的向量场流动具象化了。这让我明白了为什么这些定理的公式形式会如此优雅——它们本质上是对自然界中守恒定律的数学刻画。虽然推导过程依然需要硬啃，但有了视觉上的锚点，理解起来的效率提高了不止一个档次。这本书的用心程度，从细节处可见一斑。

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说实话，这本书的难度是摆在那里的，尤其对于基础不太扎实的同学来说，可能会有些吃力。我记得在学习泛函分析的初步内容，比如赋范线性空间和巴拿赫空间时，我不得不反复查阅线性代数和拓扑学的补充材料。但正是这种挑战性，让这本书的价值凸显出来。它不像市面上一些“速成”教材，把复杂的概念简单化到失去其本质。相反，它坚持了数学分析应有的深度和广度。作者在处理稠密性、完备性和连续性这些核心问题时，展现出一种近乎苛刻的严谨性。我特别欣赏它对反例的讨论，每一个精心构造的反例，都像一把精准的手术刀，剖开了我们思维中的盲区和误解。比如，关于一致连续性与点态连续性的区别，书中给出的那个例子，我至今还会时不时地想起，它时刻提醒我，在做任何推导前，必须先确保所有条件都已满足。这本书不是让你“学会做题”，而是让你“学会思考数学的本质”。

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这套书真是太经典了，我从大一开始就接触了高数，但真正体会到数学的严谨和美妙，还是从这本“下册”开始的。我记得当时刚接触到勒贝格积分那块时，脑子里一片浆糊，感觉跟之前的黎曼积分完全是两个世界的东西。但作者的叙述方式非常巧妙，他没有直接把你扔进那些复杂的定义里，而是通过一些非常直观的例子和几何背景来铺垫。比如，讲解测度时，他会花大量篇幅去讨论为什么我们需要更精细的“可测集”概念，这比单纯的公式堆砌要有效得多。等到真正进入积分理论，你会发现，那些看似抽象的极限和收敛性讨论，其实都是为了让积分这个工具更可靠、更强大。特别是对积分的收敛定理，如B.L.T.（布朗-利布曼定理）的证明过程，行云流水，逻辑链条清晰得让人拍案叫绝。读完这部分，我才真正理解了什么是“微积分的推广”，那种豁然开朗的感觉，至今难忘。可以说，这本书不仅是知识的传授，更是一种思维方式的重塑。

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哎，这本不是攀攀教的，所以没激情。书本编得挺一般的，按照攀攀的说法，写书的老师也有点糊涂。

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适合自学，内容深刻而且容易理解，讲的比较清楚

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中科大的数学分析教材，还不错

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超级大爱

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